数列通项及用归纳法证明不等式

发布时间：2020-03-03 00:45:55 来源：范文大全收藏本文下载本文手机版

数列通项及用归纳法证明不等式

例

一、

在1与2间插入n个正数a1,a2,a3,,an，使这n+2个数成等比数列；又在

1、2间插入n个正数b1,b2,b3,,bn，使这n+2个数成等差数列．记Ana1a2a3an,Bnb1b2bn.．求：

（1）数列{An}和{Bn}的通项；

（2）当n7时，比较An与Bn的大小，并证明你的结论．

分析：考查等差数列，等比数列的知识，以及观察、分析、归纳的能力和数学归纳法．解：（1）1,a1,a2,a3,,an,2成等比数列，

a1ana2an1a3an2akank1122,

2An(a1an)(a2an1)(a3an2)(an1a2)(ana1) (12)n2n,An2n.2

1,b1,b2,b3,,bn,2成等差数列， b1bn123,

Bn(b1bn)n3n.22n2所以数列{An}的通项An2，数列{Bn}的通项Bnn23n.2（2）An2,Bn较当n7时，2与n392222的大小，也就是比n,An2n,Bnn2,要比较An与Bn的大小，只需比较An与Bn2492n的大小． 4929192nn当n=7时，2128,n49110，知2n.

44449292nn经验证，n=8,n=9时，均有2n成立，猜想，当n7时有2n,下面用数学归纳法证明：

4492n（ⅰ）n=7时已证2n

492k（ⅱ）假设nk(k7)时不等式成立，即2k，好么

49992k122k2k2[(k1)2k22k1][(k1)2k(k2)1].

444999k7,k(k2)35,k(k2)10,[(k1)2k(k2)1](k1)2,故2k1,(k1)2．即

444nk1时不等式也成立．

92n22根据（ⅰ）和（ⅱ）当n7时，2n成立，即AnBn,AnBn.

4说明：开放题求解要注意观察题目的特点，可以先通过特殊数尝试可能的结果，然后总结归纳出一般规律，利用归纳法证明结论．猜想数列通项、利用归纳法证明不等式

2例

一、设数列{an}满足an1annan1,n1,2,3,,

（1）当a12时，求a2,a3,a4，并由此猜想出an的一个通项公式；（2）当a13时，证明对所有的n1，有（ⅰ）ann2;

（ⅱ）1111.1a11a21an2分析：本小题主要考查数列和不等式等知识，考查猜想、归纳、推理以及分析问题和解决问题的能力．

2解：（1）由a12得a2a1a113,

2由a23,得a3a22a214, 2由a34，得a4a33a315.

由此猜想an的一个通项公式：ann1(n1).（2）（ⅰ）用数学归纳法证明： ①当n1,a1312，不等式成立．

②假设当n=k时不等式成立，即akk2，那么，ak1ak(akk)1(k2)(k2k)1k3,也就是说，当nk1时，ak1(k1)2.

根据①和②，对于所有n1，有ann2.（ⅱ）由an1an(ann)1及（ⅰ），对

k2，有kkak1(ak1k1)1ak1(k12k1)12ak11,……

ak2k1a12k2212k1(a11)1.

于是111k1,k2, 1ak1a12 111 1a1a1ak1k1111 k11a1k22nnn

1221.k11a1132k12说明：证明不等式的题型多种多样，所以不等式证明是一个难点，在由n=k成立，推导n=k+1不等式也成立时，过去讲的证明不等式的方法再次都可以使用，如比较法、放缩法、分析法、反证法等，有时还要考证与原不等式的等价的命题．

数列与归纳法的综合题

例

一、设a0为常数，且an3n12an1(nN) （Ⅰ）证明对任意n1,an[3(1)15nn12n](1)n2na0;

（Ⅱ）假设对任意n1有anan1，求a0的取值范围．

分析：

本小题主要考查数列、等比数列的概念，考查数学归纳法，考考灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．

证明：（Ⅰ）证法一：（1）当n1时，由已知a112a0，等式成立．（ⅱ）假设当nk(k1)等式成立，即ak那么ak132ak3kk1k[3(1)k12k(1)kaka0].52k[3(1)k12k](1)k2k1a.51[3k1(1)k2k1(1)k1a0].5也就是说，当nk1时，等式也成立．

根据（ⅰ）和（ⅱ）可知

证法二：如果设an3n2(an13n1).用an3n12an1代入，可解出a1.533n所以{an}是公比的－2，首项为a1的等比数列．

553n3an(12a0)(2)n1(nN).

553n(1)n22n(1)n2na0.即an5（Ⅱ）解法一：由an通项公式

23n1(1)n132n1anan1(1)n32n1a0.

5anan1(nN)

①

（ⅰ）当n2k1,k1,2,时，①式即为(1)即为a02k23(5a01)()2k3.

2132k31().

② 52513111②式对k1,2,都成立，有a0().

5253（ⅱ）当n2k,K1,2,时，(1)即为a0()2k13(5a01)()2k2.

21.