§7 2 可分离变量的微分方程
观察与分析
1 求微分方程y2x的通解 为此把方程两边积分 得 yx2C
一般地 方程yf(x)的通解为yf(x)dxC(此处积分后不再加任意常数)
2 求微分方程y2xy2 的通解
因为y是未知的 所以积分2xy2dx无法进行 方程两边直
接积分不能求出通解
1dy2xdx 两边积分 得
y211
x2C 或y2yxC1是原方程的通解 可以验证函数y2xC
为求通解可将方程变为
一般地 如果一阶微分方程y(x, y)能写成
g(y)dyf(x)dx
形式 则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程
G(y)F(x)C
由方程G(y)F(x)C所确定的隐函数就是原方程的通解
对称形式的一阶微分方程
一阶微分方程有时也写成如下对称形式
P(x y)dxQ(x y)dy0 在这种方程中 变量x与y 是对称的
若把x看作自变量、y看作未知函数 则当Q(x,y)0时 有
dyP(x,y)
dxQ(x,y)若把y看作自变量、x看作未知函数 则当P(x,y)0时 有
dxQ(x,y)
dyP(x,y)
可分离变量的微分方程
如果一个一阶微分方程能写成
g(y)dyf(x)dx (或写成y(x)(y)) 的形式 就是说 能把微分方程写成一端只含y的函数和dy 另一端只含x的函数和dx 那么原方程就称为可分离变量的微分方程
讨论 下列方程中哪些是可分离变量的微分方程? (1) y2xy
是 y1dy2xdx (2)3x25xy0
是 dy(3x25x)dx (3)(x2y2)dxxydy=0
不是
(4)y1xy2xy2 是 y(1x)(1y2) (5)y10xy
是 10ydy10xdx (6)yxy
不是 yx
可分离变量的微分方程的解法
第一步
分离变量 将方程写成g(y)dy f(x)dx的形式
第二步
两端积分g(y)dyf(x)dx 设积分后得G(y)F(x)C
第三步
求出由G(y)F(x)C所确定的隐函数y(x)或x(y) G(y)F(x)C y (x)或x(y)都是方程的通解 其中G(y)F(x)C称为隐式(通)解
例1 求微分方程dy2xy的通解
dx
解
此方程为可分离变量方程 分离变量后得
1dy2xdx
y两边积分得
ydy2xdx
21即
ln|y|x2C1
从而
yexC1eC1ex
2因为eC1仍是任意常数 把它记作C 便得所给方程的通解
yCex
例2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比 已知t0时铀的含量为M0 求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t变化的规律 2
解 铀的衰变速度就是M(t)对时间t的导数
dM
dtdMM
dtdM0 其中(>0)是常数 前的曲面号表示当t增加时M单调减少 即
dt
由于铀的衰变速度与其含量成正比 故得微分方程由题意 初始条件为 M|t0M0
将方程分离变量得
两边积分 得dMdt
MdM()dt
M即
lnMtlnC 也即MCet
由初始条件 得M0Ce0C
所以铀含量M(t)随时间t变化的规律MM0et
例3 设降落伞从跳伞塔下落后 所受空气阻力与速度成正比 并设降落伞离开跳伞塔时速度为零 求降落伞下落速度与时间的函数关系
解
设降落伞下落速度为v(t) 降落伞所受外力为Fmgkv( k为比例系数) 根据牛顿第二运动定律Fma 得函数v(t)应满足的方程为
mdvmgkv
dt初始条件为
v|t00
方程分离变量 得
dvdt
mgkvmdvdt两边积分 得 mgkvm
ln(mgkv)1ktC
m1kC1ktmgemCe即
v(C)
kk将初始条件v|t00代入通解得Cmg
kktmg(1em)
于是降落伞下落速度与时间的函数关系为vk
例4 求微分方程
解 方程可化为 dy1xy2xy2的通解
dx
dy(1x)(1y2)
dx分离变量得
1dy(1x)dx
1y2两边积分得
1y2dy(1x)dx 即arctany2x2xC
1211于是原方程的通解为ytan(x2xC)
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