2.3数学归纳法

理：§2.3数学归纳法(1)

1.了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤;

2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并

能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写; 3.数学归纳法中递推思想的理解.反思：数学归纳法是一种特殊的证明方法,主要用于研究与正整数有关的数学问题.

关键：从假设n=k成立，证得n=k+1成立.

※ 典型例题

例1 用数学归纳法证明

122232n2

n(n1)(2n1)

,nN*

6一、课前准备

（预习教材P104~ P106，找出疑惑之处） 复习1：在数列{an}中，

a

a11,an1n,(nN*)，先算出a2，a3，a4的

1an值，再推测通项an的公式.复习2：f(n)n2n41，当n∈N时，f(n)是否都为质数？

二、新课导学

※ 学习探究

探究任务：数学归纳法 问题：在多米诺骨牌游戏中,能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么?

新知：数学归纳法两大步：

（1）归纳奠基：证明当n取第一个值n0时命题成立;

（2）归纳递推：假设n=k（k≥n0， k∈N*）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.原因：在基础和递推关系都成立时，可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立.

试试：你能证明数列的通项公式an这个猜想吗?

n

变式：用数学归纳法证明

1427310n(3n1)n(n1)2,nN*

小结：证n=k+1时，需从假设出发，对比目标，分析等式两边同增的项，朝目标进行变形.

例2 用数学归纳法证明:

首项是a1,公差是d的等差数列的通项公式是anan项和的公式是1(n1)d,前

n(n1)

Snna1d.

2变式：用数学归纳法证明:

首项是a1,公比是q的等差数列的通项公式是

ana1q

n

1a1(1qn)

,前n项和的公式是Sn.(q1)

1q

小结：数学归纳法经常证明数列的相关问题.

※ 动手试试

练1.用数学归纳法证明:当n为整数时, 135(2n1)n

2练2.用数学归纳法证明:当n为整数时, 12222n12n1

三、总结提升

※ 学习小结

1.数学归纳法的步骤

2.数学归纳法是一种特殊的证明方法,主要用于研究与正整数有关的数学问题.※ 知识拓展

意大利数学家皮亚诺总结了正整数的有关性质,并提出了关于正整数的五条公理,后人称之为“皮亚诺公理”.数学归纳法的理论依据是皮亚诺公理.

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1.用数学归纳法证明：

1an22n

11aaa(a1)，在验证n1

1a

时，左端计算所得项为

A.1B.1aa2C.1aD.1aa2a3 2.用数学归纳法证明

(n1)(n2)(n3)(nn)2n13(2n1)(nN*)

时，从n=k到n=k+1，左端需要增加的代数式为

2k12k

3A.2k1 B.2(2k1)C.k1 D.k1 3.设

111

f(n)(nN*)，那么

n1n22n

f(n1)f(n)等于（）

11

A.2n1B.2n

21111



C.2n12n2D.2n12n2

4.已知数列{an}的前n项和Snnan(n2)，而a11，通过计算a2,a3,a4，猜想an

1122

5.数列{xn}满足x11,x2，且

xn1xn1xn3（n2），则xn

1.用数学归纳法证明: 1111n 133557(2n1)(2n1)2n1

2.用数学归纳法证明:

1n2(n1)3(n2)n1n(n1)(n2)

6理：§2.3数学归纳法(2)

1.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能

严格按照数学归纳法证明问题的格式书写;

2.数学归纳法中递推思想的理解.

一、课前准备

（预习教材P107~ P108，找出疑惑之处） 复习1：数学归纳法的基本步骤？

复习2：数学归纳法主要用于研究与有关的数学问题.二、新课导学

※ 学习探究

探究任务：数学归纳法的各类应用 问题：已知数列 1111,,,,，猜想Sn的1447710(3n2)(3n1)表达式，并证明.新知：数学归纳法可以应用于：(1)数列的先猜后证;(2)证明不等式;(3)证明整除性问题;(4)证明几何问题.

试试：已知数列

1111,,,,,,计算S1,S2,S3,由1223314n(n1)

此推测计算Sn的公式.

反思：用数学归纳法证明时,要注意从nk时的情形到nk1的情形是怎样过渡的.

※ 典型例题

例1平面内有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任何三个圆都不相交于同一点，求证这n个圆将平面分成f(n)=n2－n+2个部分

变式：证明凸n边形的对角线的条数

1f(n)n(n3)n(4)

小结：用数学归纳法证明几何问题的关键是找项,即几何元素从k到k1所证的几何量增加多少.

例2 证明:n35n(nN*)能被6整除.

变式：证明:x2n1y2n1能被xy整除.

小结：数学归纳法证明整除性问题的关键是凑项,而采用增项、减项、拆项和因式分解的手段，凑出nk的情形，从而利用归纳假设使问题获证.

※ 动手试试

练1.已知f(n)1

11

1,求证: 23n

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

n

21.使不等式2n1对任意nk的自然数都

n

f(2n)(nN*)

练2.证明不等式|sinn|n|sin|(nN*)

三、总结提升

成立的最小k值为（）

A.2B.3C.4D.5 2.若命题p(n)对n=k成立，则它对nk2也成立，又已知命题p(2)成立，则下列结论正确的是 A.p(n)对所有自然数n都成立 B.p(n)对所有正偶数n成立 C.p(n)对所有正奇数n都成立

D.p(n)对所有大于1的自然数n成立

3.用数学归纳法证明不等式111127

成立，起始值至少应取为 1n1

2426

4A.7B.8C.9D.10

4.对任意nN*,34n2a2n1都能被14整除,则最小的自然数a=.5.用数学归纳法证明等式

123(2n1)(n1)(2n1)时,当n1时左边表达式是;从kk1需增添的项的

1.给出四个等式: 1=11-4=-(1+2)

1-4+9=1+2+31-4+9-16=-(1+2+3+4)„„

猜测第n个等式，并用数学归纳法证明.2.用数学归纳法证明:

1

1(11)(1)(1)nN*)

32n1

※ 学习小结

1.数学归纳法可以证明不等式、数列、整除性等问题;

2.数学归纳法是一种特殊的证明方法,主要用于研究与正整数有关的数学问题.

※ 知识拓展

不是所有与正整数有关的数学命题都可以用数学归纳法证明,例如用数学归纳法证明

(1)n(nN*)的单调性就难以实现.

n

2.3教子有方

试卷2.3

2.3自我鉴定

2.3与人为善

2.3《民主管理》

2.3民主管理

2.3 等比数列

培训总结2.3

优秀团员申报材料2.3

§2.3数学归纳法

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