盈亏问题
盈亏问题，顾名思义有剩余就叫盈，不够分就叫亏，不同的方法分配物品时，经常会产生这种盈亏现象．盈亏问题的关键是抓住两次分配时盈亏总量的变化．
盈亏问题分为5类：⑴有盈有亏； ⑵都是盈；⑶都是亏；（4）一个盈，一个刚好分完；（5）一个亏，一个刚好分完。
盈亏问题常用公式： （1）（盈+亏）÷两次分配的差=参与分配的数量 （2）（盈-盈）÷两次分配的差=参与分配的数量 （3）（亏-亏）÷两次分配的差=参与分配的数量 （4）盈÷两次分配的差=参与分配的数量
（5）亏÷两次分配的差=参与分配的数量
例1 某校参加数学竞赛，原定考场若干个。如果每个考场坐22人；则多出18人，如果每个考场坐25人正好坐满。参加这次竞赛的学生共有多少人？
分析：本题为盈亏问题中只盈不亏的类型。根据题目条件“如果每个考场坐22人；则多出18人，如果每个考场坐25人正好坐满。”可知：考场共有18÷（25-22）=6（个），考生人数为25×6=150（人） 解：18÷（25-22） =18÷3 =6（人）
25×6=150（人）
答：参加这次竞赛的学生人数为150人。
说明：本题运用公式 盈÷两次分配的差=参与分配的数量
随堂练习学校组织体操比赛。四（2）班同学站成若干排，如果每排5人，则多出6人，如果每排站6人，则刚好站完。问四（2）班一共有多少人？
解：6÷（6-5）
=6（排）
6×6=36（人）
答：四年级2班一共有36人。
例2 五年级在植树节组织学生植树，如果每人栽5棵。则缺20棵，如果每人栽3棵，则刚好栽完。问五年级一共植树多少棵？
分析：根据题目“如果每人栽5棵。则缺20棵，如果每人栽3棵，则刚好栽完。”可知，本题属于只亏不赢的情况。根据条件有20÷（5-3）=10（人）10×3=30（棵） 解：20÷（5-3）
=10（人）
10×3=30（棵） 答：一共植树30棵。
说明：本题运用公式 亏÷两次分配的差=参与分配的数量
随堂练习解放军某部队举行阅兵仪式。如果每车坐40人。则缺100人，如果每车坐30人，则刚好坐完。问这支部队一共有多少人？
解100÷（40-30） 100÷10 =10（辆） 30×10=300（人）
答：这支部队一共有300人。
例3 学校为某班新生分宿舍，每间住5人则多12人，每只住6人则多2人。问：有多少间宿舍？多少名新生？
分析：本题属于都是盈的情况，由题意可知，新生的人数和房间的间数是不变的。比较两种分配方案，结果相差12－2=10人，即第一种方案的结果比第二种多10人。这是因为每间房间比原来多住了6－5=1人，所以房间的数量为：（12-2）÷（6-5）=10（间），人数为5×10+12=62（人） 解：房间：（12-2）÷（6-5）
=10（间）
人数：5×10+12 50+12 =62（人）
答：房间有10间，新生人数为62人。
说明：本题运用公式：（盈-盈）÷两次分配的差=参与分配的数量
随堂练习张老师带了一些钱去文具店买练习本，如果买40本还剩15元，如果买50本还剩5元，问：张老师一共带了多少钱？ 解：（15-5）÷（50-40） =10÷10 =1（元） 40×1+15=55（元） 答：张老师共带了55元。
例4 露露从家到学校如果每分钟60米的速度走，那么要迟到5分钟；如果每分钟走70米，那么仍迟到3分钟。她应以每分钟多少米的速度走才能准时到达？
分析：根据题目条件，我们可以判断出本题属于都是亏的情况。“每分钟60米的速度走，要迟到5分钟；每分钟走70米，仍迟到3分钟。”根据公式直接求解问题不大，但是本题要注意的是亏到底是什么，如果直接以亏5分钟和3分钟计算，则会出现错误。所以，分析题目的“亏”是很关键的一步，以每分钟60米的速度走要迟到5分钟，说明距离学校还有60×5=300（米），以每分钟70米的速度走要迟到3分钟，说明距离学校还有70×3=210（米）所以 亏-亏=300-210=90（米）即90÷（70-60）=9（分钟）距离为：60×（9+3）=720（米）720÷9=80（米/分） 解：（60×5-70×3）÷（70-60） =90÷10 =9（分钟） 60×（9+5） 60×14 =840（米）
840÷9=？（米/分）
答：她应该以每分钟80米的速度走才能准时到达。
说明：本题运用公式： （亏-亏）÷两次分配的差=参与分配的数量 随堂练习妈妈用袋子装报纸，如果每个袋子放20张则有一个袋子只有2张。如果每个袋子放16张，则有一个袋子里有14张。问一共有多少张报纸？ 解：第一种方案亏为：20-2=18（张）
第二种方案亏为：16-14=2（张） （18-2）÷（20-16） =16÷4 =4（个） 20×4-18 =80-18 =62（张）
答：报纸一共有62张。
例5 四年级一班数学组买了一些水果糖分给学生，如果每人分4粒就多9粒；如果每人分5粒就少6粒。四年级一班数学组有多少名学生？老师买了多少粒水果糖？
分析：由题目条件可知：两次参与分配的人数和糖果数量不变，两次分得的糖果数量一多一少，相差9+6=15（粒），两次分配分别为4粒和5粒，两次分配的差5-4=1（粒）。所以参与分配的人数为15÷1=15（人），糖果的数量为15×4+9=69粒。
解：人数：（9+6）÷（5-4）
=15（人）
水果糖数量：15×4+9
=60+9
=69（粒）
答：四年级一班数学组有15名学生；老师买了69粒水果糖.说明：本题运用了公式1 （盈+亏）÷两次分配的差=参与分配的数量
随堂练习小红的妈妈买回一筐桔子，如果每人吃2个则多3个，每人吃3个则差4个，小红家里有几人？桔子一共有多少个？ 解：人数：（3+4）÷（3-2）
=7（人）
桔子：2×7+3 =14+3
=17（个）
答：小红家里有7人；桔子一共有17个
例6 幼儿园给小朋友分梨，如果大班小朋友每人分5个则多10个，如果小班小朋友每人分8个则少4个，已知大班小朋友比小班小朋友多5人，问这框苹果有多少个？
分析：题目中出现的参与分配的人数在变化，不方便计算。在解答盈亏问题过程中，我们要确保参与分配的人数是定值。仔细观察题目，大班小朋友比小班小朋友多5人，如果大班小朋友每人分5个，则会多出来10+5×5=35个，由公式（1）可知小班小朋友有：（35+4）÷（8-5）=13（人） 13×8-4=100（个） 解：（10+5×5+4）÷（8-5）
=39÷3 =13（人） 13×8-4 =104-4 =100（个）
答：这框苹果有100个.随堂练习老猴子给大小猴子分桃，如果大猴子每只分6个则少3个，如果小猴子每只分3个则多3个，已知小猴子比大猴子多5只，问有多少个桃？ 解：（3+3×5+3）÷（6-3）
=21÷3 =7（只） 7×6-3 =42-3 =39（个）
答：共有桃39个。
例7 上体育课时，老师把全体学生分成若干组，然后分发篮球，若每组分3个，则剩下23个篮球，若每组分5个，则有一组学生没有篮球,。问一共有多少个小组？有多少个篮球？
分析：判断本题是哪一种类型，需要认真分析。“若每组分3个，则剩下23个篮球”是盈余，“若每组分5个，则有一组学生没有篮球,”是亏，亏多少呢？每组分5个， 一组分不到，则亏5个。 解：（23+5）÷（5-3） =28÷2 =14（组） 3×14+23 =42+23 =65 答：一共有14组，65个篮球。
说明：本题运用了公式1 （盈+亏）÷两次分配的差=参与分配的数量
随堂练习劳动小组为新修食堂搬砖。如果每人搬16块，还剩4块；如果每人搬20块，就有一位同学没砖可搬。问共有多少块砖？
解：（4+20）÷（20-16）
=24÷4 =6（人） 6×16+4 =96+4 =100（块）
答：共有100块砖.
例8 解放战争胜利后，解放军给老百姓分粮食。如果其中2户每户分300千克，其余每户分200千克，还多出1500千克，如果一户分400千克，其余每户分300千克，又缺2000千克，这批粮食一共多少千克？
分析：本题为中等难度题目。首先我们要明白一点，就是在分的时候应该以相同的标准分，然后判断题目中的盈亏。根据题目条件：“如果其中2户每户分300千克，其余每户分200千克，还多出1500千克，如果一户分400千克，其余每户分300千克，又缺2000千克”。我们把两种方案中分别不同的分发转化成方案中相同的分发，即不能让人搞特殊。所以在第一个方案中我们让特殊的2户也和别人一样分200千克，则盈余为1500+（300-200）×2=1700（千克），第二个方案中我们也让特殊的一户和别人一样，则亏为2000-（400-300）=1900（千克）
根据盈亏公式（1）可得（1700+1900）÷（300-200）=36（户） 粮食有36×200+1700=8900（千克） 解：盈：1500+（300-200）×2 =1500+200 =1700（千克） 亏；2000-（400-300） =2000-100 =1900（千克）
（1700+1900）÷（300-200） =3600÷100 =36（户）
粮食：36×200+1700 =7200+1700 =8900（千克）
答：这批粮食一共有8900千克。 说明：本题运用公式（1）（盈+亏）÷两次分配的差=参与分配的数量
随堂练习王叔叔去工厂上班，如果先用每分钟60米的速度走2分钟，再改用每分钟50米的速度前进，结果早到1分钟，如果先用70米的速度走1分钟，再以每分钟40米的速度前进，就会迟到3分钟，王叔叔家到工厂的距离是多少？ 解：盈：50×1-（60-50）×2 =50-20 =30（米）
亏：40×3+（70-40）×1 =120+30 =150（米）
（30+150）÷（50-40） =18（分钟） 50×18-30 =900-30 =870（米）
答：王叔叔家到工厂的距离是870米。
习题
1.某校学生参加劳动,分成若干组,如果12人一组,正好分完,如果10人一组,多10人.参加劳动的有多少人？ 解：10÷（12-10）
=10÷2 =5（组）
12×5=60（人） 答：参加劳动的有60人。
2.农场组织学生卖桔子,如果每人卖出5千克,就刚好卖完;如果每人卖出6千克，则还差300千克,那么有多少学生参与活动,农场有桔子多少千克？
解：300÷（6-5） =300÷1 =300（人）
300×5=1500（千克）
答：有300参加活动，农场有桔子1500千克。
3.村民修公路,如果每人修24米,则超过总长120米,如果每人修30米,则超过总长300米.修路的共有多少人,公路长多少米？ 解：（300-120）÷（30-24） =180÷6 =30（人）
30×24-120 =720-120 =600（米）
答：修路的共有30人，公路长600米。
4.课外活动跳绳比赛,其中2组各借绳4根,其余的组借5根,这样分配最后余下12根;如果每组借6根,这样恰好借完.问有绳多少根? 解：[12-（5-4）×2] ÷（6-5）
=10÷1 =10（组） 6×10=60（根） 答：有60根绳。
5． 小丽读一本书，她每天读10页，在规定天数内还剩25页没读完，如果她每天读12页，
则在规定天数内还剩13页看不完，这本书一共多少页？ 解：（25-13）÷（12-10） =12÷2 =6（天） 6×10+25 =60+25 =85（页）
答：这本书一共有85页。
6.妈妈去商店买布，如果买3米布还缺18元，如果买2米还缺5元，妈妈带了多少钱？
解：（18-5）÷（3-2） =13÷1 =13（元） 13×3-18 =39-18 =21（元）
答：妈妈带了21元。 7.学校组织春游，如果每车坐55人则多35人没座位，如果每车坐60人则还能坐10人。一共有多少名学生？
解：（35+10）÷（60-55） =45÷5 =9（辆） 60×9-10 =540-10 =530（人）
答：一共有530名学生。
8.
小朋友去买东西，如果每人出8块钱则多6块钱，如果每人出6块钱则少4元。有多少个小朋友？东西卖多少元？ 解：（6+4）÷（8-6） =10÷2 =5（人）
8×5-6 =40-6 =34（元）
答：有5个小朋友，东西卖34元。
9.
用一根绳子测量池塘的水深。对折后露出水面60厘米，三折后还差40厘米。问池塘水深多少米？绳子长多少米？ 解：（60×2+40×3）÷（3-2） =240÷1 =240（厘米）
240厘米=2.4米
（240+60）×2=600（厘米） 600厘米=6米
答：池塘水深2.4米，绳子长6米。
10.
老师买小提琴，若买6把，则缺120元，若买4把，则多60元。老师一共带了多少钱？
解：（120+60）÷（6-4） =180÷2 =90（元） 90×4+60 =360+60 =420（元）
答：老师一共带了420元。
11．
小陶给家人分桃子，如果爸爸妈妈各分5个，其余的每人分3个，则剩下9个桃子；如
果 有4人各分3个，其余的各分6个，则剩余10个桃子。问，家里有几人？桃子有几个？
解：盈：9+（5-3）×2=13（个）
亏：（6-3）×4-10=2（个） （13+2）÷（6-3）=5（人） （5-2）×3+5×2=19（个）
答：家例有5人，有19个桃子。 12.老师给美术小组的同学分铅笔。如果每人分6支则缺2支；如果每人分8支还缺12支。问一共有多少支铅笔？
解：（12-2）÷（8-6） =10÷2 =5（人） 5×6-2 =30-2 =28（支）
答：一共有28支铅笔。
13.学校大扫除，老师让一些同学擦玻璃。如果其中3人各擦4块，其余每人擦5块，则余23块；如果每人擦7块，正好擦完。求擦玻璃的人数和玻璃的块数？
解：[23-（5-4）×3] ÷（7-5） =（23-3）÷2 =20÷2 =10（人）
10×7=70（块）
答：擦玻璃的人数为10人，玻璃一共70块。
14． 小华从家地到图书馆如果每分钟走90米，那么要迟到5分钟；如果每分钟走100米，那么仍迟到3分钟。他应以每分钟多少米的速度走才能准时到达？ 解：（90×5-100×3）÷（100-90） =150÷10 =15（分钟） 100×（15+3） =100×18 =1800（米）
1800÷15=120（米）
答：他应以每分钟120米的速度走才能准时到达。
15.有一批故事书分给几个小朋友，如果其中3人每人5本，其余每人4本，那么会剩2本；如果其中1人分3本，其余每人5本，就会刚好分完。这批故事书共有多少本？[北京市第四届“迎春杯”刊赛] 解：盈：（5-4）×3+2=5（本）
亏：（5-3）×1=2（本）
（5+2）÷（5-4） =7÷1 =7（人）
3+（7-1）×5 =3+30 =33（本）
答：这批故事书一共有33本。
