第6讲 正弦定理和余弦定理

第6讲 正弦定理和余弦定理

一、选择题

1．在△ABC中，C＝60°，AB＝3，BC2，那么A等于()．

A．135°B．105°C．45°D．75°

解析 由正弦定理知BC

sin A＝AB

sin C232sin A＝，sin Asin 60°

2又由题知，BC＜AB，∴A＝45°.答案 C

2．已知a，b，c是△ABC三边之长，若满足等式(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C的大小为()．

A．60°B．90°C．120°D．150°

解析 由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，得(a＋b)2－c2＝ab，

∴c2＝a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2abcos C，

1∴cos C＝－，∴C＝120°.2

答案 C

3．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，且a＝1，b＝3，则S△ABC＝

A.2B.33 C.2()． D．2

解析 ∵A，B，C成等差数列，∴A＋C＝2B，∴B＝60°.

ab又a＝1，b＝3，∴sin A＝sin B

∴sin A＝asin B311＝b23＝2，

13∴A＝30°，∴C＝90°.∴S△ABC＝21×3＝2答案 C

4．在△ABC中，AC7，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于()．

3A.23B.236C.23＋39D.

4解析 设AB＝c，BC边上的高为h.

由余弦定理，得AC2＝c2＋BC2－2BC·ccos 60°，即7＝c2＋4

－4ccos 60°，即

c2－2c－3＝0，∴c＝3(负值舍去)．

333又h＝c·sin 60°＝3×22B.

答案 B

5．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a＝λ，b＝3λ(λ>0)，A＝45°，则满足此条件的三角形个数是()

A．0B．

1C．2D．无数个

解析 直接根据正弦定理可得asin A＝b

sin B，可得sin B＝bsin A＝a3λsin 45°6，没有意义，故满足条件的三角形的个数为0.λ

2答案A

3π6．已知△ABC的面积为2AC＝3，∠ABC3，则△ABC的周长等于

()． A．3＋3C．23B．33 33D.2解析 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，即a2＋c2－ac＝3.又△ABC的面积1π3为2acsin 32ac＝2，所以a2＋c2＋2ac＝9，所以a＋c＝3，即a＋c＋b＝33，故选A.答案 A

二、填空题

7．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝23，点D在BC边上，∠

ADC＝45°，则AD的长度等于________．

31解析 在△ABC中，∵AB＝AC＝2，BC＝3，∴cos C＝sin C＝2

221△ADC中，由正弦定理得，＝， ∴AD＝×2.sin Csin∠ADCsin 45°2

答案 2 ADAC8．已知△ABC的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________．

解析 依题意得，△ABC的三边长分别为a，2a,2a(a>0)，则最大边2a所对a2＋2a2－2a22＝－4.2a2a

2答案

49．在Rt△ABC中，C＝90°，且A，B，C所对的边a，b，c满足a＋b＝cx，则实数x的取值范围是________．

a＋bsin A＋sin Bπππ解析 x＝＝sin A＋cos A＝2sinA＋4.又A∈0，2，∴csin C4

ππ3π2

10．若AB＝2，AC＝2BC，则S△ABC的最大值________．

解析 (数形结合法)因为AB＝2(定长)，可以令AB所在的直线为x轴，其中垂线为y轴建立直角坐标系，则A(－1,0)，B(1,0)，设C(x，y)，由AC＝2BC，

得 x＋2＋y2＝2 x－2＋y2，化简得(x－3)2＋y2＝8，

即C在以(3,0)为圆心，22为半径的圆上运动，

1所以S△ABC＝·|AB|·|

yC|＝|yC|≤22，故答案为22.2

答案 22

三、解答题

11．叙述并证明余弦定理．

解 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍．或：在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝c2＋a2－2cacos B，c2＝a2＋b2－2abcos C， 法一 如图(1)，

图(1)

a2＝→BC·→BC

＝(→AC－→AB)·(→AC－→AB)

→2→→→2＝AC－2AC·AB＋AB

＝→AC2－2|→AC|·|→AB|cos A＋→AB2

＝b2－2bccos A＋c2，即a2＝b2＋c2－2bccos A.

同理可证b2＝c2＋a2－2cacos B，c2＝a2＋b2－2abcos C.

法二

图(2)

已知△ABC中A，B，C所对边分别为a，b，c，以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，如图(2)则C(bcos A，bsin A)，B(c,0)，

∴a2＝|BC|2＝(bcos A－c)2＋(bsin A)2

＝b2cos2A－2bccos A＋c2＋b2sin2A

＝b2＋c2－2bccos A.

同理可证b2＝c2＋a2－2cacos B，

c2＝a2＋b2－2abcos C.

212．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cos A＝3sin B＝5

cos C.

(1)求tan C的值；

(2)若a＝ 2，求△ABC的面积．

2解 (1)因为0＜A＜π，cos A＝3，

得sin A＝ 1－cosA＝5.35cos C＝sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C 523C＋3C.

所以tan C5.

(2)由tan C＝5，得sin C于是sin B5cos C＝5.651cos C＝.66

ac由a＝ 2及正弦定理sin Asin Cc＝ 3.

15设△ABC的面积为S，则S＝2sin B2.

13． 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点(a，b)在直线x(sin A－sin B)＋ysin B＝csin C上．

(1)求角C的值；

(2)若a2＋b2＝6(a＋b)－18，求△ABC的面积．

解 (1)由题意得a(sin A－sin B)＋bsin B＝csin C，

由正弦定理，得a(a－b)＋b2＝c2，

即a2＋b2－c2＝ab，

a2＋b2－c21由余弦定理，得cos C2ab＝2，

π结合0

从而得a＝b＝3，

1π3所以△ABC的面积S＝2×32×sin 3＝4.

ππ14． 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A＝4bsin4C－

πcsin4＋B＝a.

π(1)求证：B－C＝2

(2)若a＝ 2，求△ABC的面积．

πππ(1)证明 由bsin4C－csin4＋B＝a应用正弦定理，得sin Bsin4C－sin 

πCsin4B＝sin A， 

22222sin BC＋C－sin CB＋cos B＝ 22222

整理得sin Bcos C－cos Bsin C＝1，即sin(B－C)＝1.

3π由于0＜B，C＜4，从而B－C2.

3π5ππ(2)解 B＋C＝π－A＝4，因此B＝8C＝8π由a＝ 2，A＝4，

asin B5πasin Cπ得b＝sin A＝2sin 8，c＝sin A2sin 8

15ππ所以△ABC的面积S＝2bcsin A＝ 2sin88ππ1＝ 2cos88＝2.

正弦定理和余弦定理

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4.6正弦定理和余弦定理

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