同济六版上册高数总结(一些重要公式及知识点)

同济六版上册高数总结

微分公式与积分公式

(tgx)secx

(ctgx)csc2x

(secx)secxtgx(cscx)cscxctgx(ax)axlna

1(logax)xlna2(arcsinx)1x21(arccosx)x21(arctgx)1x21(arcctgx)1x2tgxdxlncosxCctgxdxlnsinxCsecxdxlnsecxtgxCcscxdxlncscxctgxCdx1xarctgCa2x2aa

dx1xalnx2a22axaCdx1axa2x22alnaxCdxxarcsinCa2x2a



2ndx2cos2xsecxdxtgxCdx2csc2sinxxdxctgxCsecxtgxdxsecxCcscxctgxdxcscxCaxadxlnaCxshxdxchxCchxdxshxCdxx2a2ln(xx2a2)C

2Insinxdxcosnxdx00n1In2n







x2a22xadxxaln(xx2a2)C22x2a2222xadxxalnxx2a2C22x2a2x222axdxaxarcsinC22a22

三角函数的有理式积分：

2u1u2x2du

sinx，　cosx，　utg，　dx

21u21u21u2

两个重要极限：

公式1lim

sinx

1公式2lim(1x)1/xe

x0x0x

有关三角函数的常用公式

和差角公式：

和差化积公式：

sinsin2sin

sin()sincoscossincos()coscossinsintg()

tgtg1tgtgctgctg

1ctg()

ctgctg



22

sinsin2coin

22

coscos2coscos

22

coscos2sinsin

22

cos



三倍角公式:半角公式：

sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)sin(α/2)=±√(1-cosα)/2cos(3α)=4cos^3(α)-3cosαCos(α/2)=±√(1+cosα)/2

降幂公式:万能公式：

sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

推导公式

tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2

abc

2R正弦定理：

sinAsinBsinC

余弦定理： c2a2b22abcosC反三角函数性质：arcsinxarccosx



arctgxarcctgx



(特别要注意这两个恒等式，证明的话，只需做出左边的函数的导数为0即可）

高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：

(uv)

(n)

k(nk)(k)

Cnuvk0n

u(n)vnu(n1)v

n(n1)(n2)n(n1)(nk1)(nk)(k)

uvuvuv(n)

2!k!

中值定理与导数应用：

拉格朗日中值定理：f(b)f(a)f()(ba)f(b)f(a)f()



F(b)F(a)F()

当F(x)x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。

曲率：

弧微分公式：dsy2dx,其中ytg平均曲率：K



:从M点到M点，切线斜率的倾角变化量；s：MM弧长。s

yd

M点的曲率：Klim.23s0sds(1y)

直线：K0;1

半径为a的圆：K.

a

定积分的近似计算：

b

f(x)

ab

ba

(y0y1Lyn1)n

ba1

[(y0yn)y1Lyn1] n2

f(x)

a

定积分应用相关公式：

功：WFs

水压力：FpA

mm

引力：Fk122,k为引力系数

r

b1

函数的平均值：yf(x)dxbaa12f(t)dtbaa

b

微分方程的相关概念：

一阶微分方程：yf(x,y)　或　P(x,y)dxQ(x,y)dy0

可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g(y)dyf(x)dx的形式，解法：

g(y)dyf(x)dx得：G(y)F(x)C称为隐式通解。

dyy

f(x,y)(x,y)，即写成的函数，解法：dxx

ydydududxduy设u，则ux，u(u)，代替u，

xdxdxdxx(u)ux齐次方程：一阶微分方即得齐次方程通解。

一阶线性微分方程：

dy

1P(x)yQ(x)

dx

P(x)dx

当Q(x)0时,为齐次方程，yCe

当Q(x)0时，为非齐次方程，y(Q(x)edy

2P(x)yQ(x)yn，(n0,1)

dx

P(x)dx

dxC)e

P(x)dx

全微分方程：

如果P(x,y)dxQ(x,y)dy0中左端是某函数的全微分方程，即：

uu

du(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy0P(x,y)Q(x,y)

xyu(x,y)C应该是该全微分方程的通解。

二阶微分方程：

f(x)0时为齐次d2ydy

P(x)Q(x)yf(x) 2

dxdxf(x)0时为非齐次

二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

(*)ypyqy0，其中p,q为常数；求解步骤：

1、写出特征方程：()r2prq0，其中r2，r的系数及常数项恰好是(*)式中y,y,y的系数；

2、求出()式的两个根r1,r

23、根据r1,r2的不同情况，按下表写出(*)式的通解：

二阶常系数非齐次线性微分方程

ypyqyf(x)，p,q为常数f(x)exPm(x)型，为常数；f(x)ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]型

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