高数知识点总结(上册)

高数知识点总结（上册） 函数：

绝对值得性质： (1)|a+b||a|+|b|

(2)|a-b||a|-|b|

(3)|ab|=|a||b|

a|a|(b0)(4)|b|=|b|

函数的表示方法：

（1）表格法

（2）图示法

函数的几种性质：

（1）函数的有界性（2）函数的单调性

（3）函数的奇偶性（4）函数的周期性 反函数：

（3）公式法（解析法）

1yf(x)yf(x)存在，且是单定理：如果函数在区间[a,b]上是单调的，则它的反函数值、单调的。

基本初等函数：

（1）幂函数

（3）对数函数

（5）反三角函数 复合函数的应用 极限与连续性： 数列的极限：

（2）指数函数 （4）三角函数

定义：设xn是一个数列，a是一个定数。如果对于任意给定的正数（不管它多么小），总存在正整数N，使得对于n>N的一切xn，不等式

limxnxn极限，或称数列收敛于a，记做naxna都成立，则称数a是数列xn的

，或xna（n）

收敛数列的有界性： 定理：如果数列xn收敛，则数列xn一定有界

推论：（1）无界一定发散（2）收敛一定有界（3）有界命题不一定收敛

函数的极限：

定义及几何定义 函数极限的性质：

limf(x)Axx0 （1）同号性定理：如果，而且A>0(或A

limf(x)limf(x) （3）如果xx0存在，则极限值是唯一的

（4）如果存在，则在f(x)在点x0的某一邻域内（xx0）是有界的。 无穷小与无穷大：

注意：无穷小不是一个很小的数，而是一个以零位极限的变量。但是零是可作为无穷小xx0f(x)的唯一的常数，因为如果f(x)0则对任给的0，总有，即常数零满足无穷小的定义。除此之外，任何无论多么小的数，都不满足无穷小的定义，都不是无穷小。 无穷小与无穷大之间的关系：

1（1）如果函数f(x)为无穷大，则f(x)为无穷小

1（2）如果函数f(x)为无穷小，且f(x)0，则f(x)为无穷大

具有极限的函数与无穷小的关系：

（1）具有极限的函数等于极限值与一个无穷小的和

（2）如果函数可表为常数与无穷小的和，则该常数就是函数的极限 关于无穷小的几个性质：

定理：

（1）有限个无穷小的代数和也是无穷小 （2）有界函数f(x)与无穷小a的乘积是无穷小

推论：

（1）常数与无穷小的乘积是无穷小 （2）有限个无穷小的乘积是无穷小 极限的四则运算法则：

定理：两个函数f(x)、g(x)的代数和的极限等于它们的极限的代数和 两个函数f(x)、g(x)乘积的极限等于它们的极限的乘积

极限存在准则与两个重要极限：

准则一（夹挤定理）

设函数f(x)、g(x)、h(x)在xx0的某个邻域内（点x0可除外）满足条件：

（1）g(x)f(x)h(x) （2）xx0xx0limg(x)A，

xx0limh(x)A

则 准则二

单调有界数列必有极限

定理：如果单调数列有界，则它的极限必存在 limf(x)A

重要极限：

sinx1x0x（1） lim

1cosx12x02 x（2）

lim11xlim(1)elim(1x)xex（3）x或x0

无穷小阶的定义： 设、为同一过程的两个无穷小。

lim

（1）如果0，则称是比高阶的无穷小，记做o() ，则称是比低阶的无穷小

（2）如果lim

（3）如果limc(c0,c1)，则称与是同阶无穷小 1，则称与是等阶无穷小，记做~

（4）如果lim几种等价无穷小：

对数函数中常用的等价无穷小： x0时，ln(1x)~x(x0)

loga(1x)~1x(x0)lna

三角函数及反三角函数中常用的等价无穷小： x0时，sinx~xtanx~x1cosx~12x2arcsinx~xarctanx~x

指数函数中常用的等价无穷小： x0时，ex1~xax1exlna1~lna

xn 二项式中常用的等价无穷小：

x0时，(1x)1~axan1x1~函数在某一点处连续的条件：

limf(x)f(x0)xx0 由连续定义可知，函数f(x)在点x0处连续必须同时满足下列三个条件： （1）f(x)在点x0处有定义

limf(x)xxf(x)xx00（2）当时，的极限存在 （3）极限值等于函数f(x)在点x0处的函数值f(x0)

如果函数f(x)在点x0处连续，由连续定义可知，当xx0时，f(x)的极限一定存在，反极限与连续的关系：

之，则不一定成立

函数的间断点：

分类：第一类间断点 (左右极限都存在) 第二类间断点(有一个极限不存在) 连续函数的和、差、积、商的连续性： 定理：如果函数f(x)、g(x)在点x0处连续，则他们的和、差、积、商（分母不为零）在点x0也连续 反函数的连续性： 定理：如果函数yf(x)在某区间上是单调增（或单调减）的连续函数，则它的反函数x(y)也在对应的区间上是单调增（或单调减）的连续函数

最大值与最小值定理：

值 推论：如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，则f(x)在a,b上有界

定理：设函数f(x)在闭区间a,b上连续，两端点处的函数值分别为f(a)A,f(b)B(AB)，而是介于A与B之间的任一值，则在开区间(a,b)内至少有一点定理：设函数f(x)在闭区间a,b上连续，则函数f(x)在闭区间a,b上必有最大值和最小介值定理：

，使得

f() (ab)

推论（1）：在闭区间上连续函数必能取得介于最大值与最小值之间的任何值

推论（2）：设函数f(x)在闭区间a,b上连续，且f(a)f(b)0(两端点的函数值异号)，则在(a,b)的内部，至少存在一点，使f()0

导数与微分 导数： 定义：y\'limx0f(xx)f(x)x

导数的几何定义：函数在图形上表示为切线的斜率

函数可导性与连续性之间的表示：

如果函数在x处可导，则在点x处连续，也即函数在点x处连续

一个数在某一点连续，它却不一定在该点可导 据导数的定义求导： （1）y\'|xx0limf(x0x)f(x0)ylimx0xx0x

（2）y\'|xx0limxx0f(x)f(x0)xx0

f(xx)f(x)x （3）y\'|xx0limx0基本初等函数的导数公式：

（1）常数导数为零(c)\'0

nn1(x)\'nx（2）幂函数的导数公式

（3）三角函数的导数公式

(sinx)\'cosx

(cosx)\'sinx 1(cotx)\'csc2x2(secx)\'secxtanx sinx

(cscx)\'cscxcotx

(tanx)\'1sec2x2cosx

（4）对数函数的导数公式： （5）指数函数的导数公式：

xx(e)\'e（6）

(logax)\'11logaexxlna

(ax)\'axlna

（7）反三角函数的导数公式：

1x2

1(arctanx)\'1x2 (arcsinx)\'1

(arccosx)\'11x2 1(arccotx)\'1x2

函数和、差、积、商的求导法则： 法则一（具体内容见书106）

(uv)\'u\'v\'

(uv)\'u\'v\'

函数乘积的求导法则： 法则二（具体内容见书108）

(uv)\'u\'vuv\'

uu\'vuv\'()\'vv2 函数商的求导法则： 法则三（具体内容见书109）

复合函数的求导法则：（定理见书113页）

反函数的求导法则：

反函数的导数等于直接函数导数的倒数 基本初等函数的导数公式：（见书121页）

d2yddy()2dxdx 高阶导数：二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数 dx求n阶导数：（不完全归纳法）

(sinx)(n)sin(xn）(cosx)(n)cos(xn）2

2隐函数的导数：（见书126页）

对隐函数求导时，首先将方程两端同时对自变量求导，但方程中的y是x的函数，它的导dy\'ydx数用记号（或表示）

对数求导法：先取对数，后求导（幂指函数）

x(t)(t)y(t)由参数方程所确定的函数的导数：

dydydtdy1\'(t)dxdtdxdtdx\'(t)dt

微分概念：

函数可微的条件

如果函数f(x)在点x0可微，则f(x)在点x0一定可导 函数f(x)在点x0可微的必要充分条件是函数f(x)在点x0可导 dyf\'(x0)x

函数的微分dy是函数的增量y的线性主部（当x0），从而，当

x很小时，有ydy

通常把自变量x的增量x称为自变量的微分，记做dx。即于是函数的微分可记为

dyf\'(x)\'dyf(x)dx，从而有dx

基本初等函数的微分公式： 几个常用的近似公式：

f(x)f(0)f\'(0)x

n

1x11xn

sinxx（x用弧度）

e21x

tanxx（x用弧度）

ln(1x)x

中值定理与导数应用

罗尔定理：如果函数f(x)满足下列条件

（1）在闭区间a,b上连续 （2）在开区间a,b内具有导数

\'（3）在端点处函数值相等，即f(a)f(b)，则在a,b内至少有一点，使f()0

拉格朗日中值定理：如果函数f(x)满足下列条件

（1）在闭区间a,b上连续

（2）在开区间a,b内具有导数，则在a,b内至少有一点，使得f(b)f(a)f\'()(ba) 定理几何意义是：如果连续曲线yf(x)上的弧AB除端点处外处处具有不垂直于x轴的

切线，那么，在这弧上至少有一点c，使曲线在点c的切线平行于弧AB 推论：如果函数f(x)在区间a,b内的导数恒为零，那么f(x)在a,b内是一个常数

柯西中值定理：如果函数f(x)与F(x)满足下列条件

（1）在闭区间a,b上连续 （2）在开区间a,b内具有导数

‘F（3）(x)在a,b内的每一点处均不为零，则在a,b内至少有一点使得f(b)f(a)f\'()\'F(b)F(a)F()

罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例，柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广 洛必达法则：（理论根据是柯西中值定理）

00未定式

1、xa情形

定理：如果 (1)当xa时，f(x)与(x)都趋于零

\'\'\'f(x)(x)（2）在点a的某领域（点a可除外）内，与都存在且(x)0

f\'(x)f(x)f(x)lim\'limlimxaxa(x)xa(x)（3）(x)存在（或为），则极限存在（或为），且f\'(x)lim\'xa(x)=

在一定条件下通过分子、分母分别求导数再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则

2、x情形

推论：如果（1）当x时，f(x)与(x)都趋于零

\'\'\'f(x)(x)（2）当|x|>N时，与都存在且(x)0

f\'(x)f(x)f(x)lim\'limlimx(x)x(x)x（3）(x)存在（或为），则极限存在（或为），且f\'(x)lim\'x(x)=

未定式

1、xa情形

如果（1）xa时，f(x)与(x)都趋于无穷大

\'\'\'f(x)(x)（2）在点a的某领域（点a可除外）内，与都存在且(x)0

f\'(x)f(x)f(x)lim\'limlimxa(x)xa(x)xa(x)（3）存在（或为），则则极限存在（或为），且=f\'(x)lim\'xa(x)

2、x情形 推论：如果（1）x时，f(x)与(x)都趋于无穷大

\'\'\'f(x)(x)（2）当|x|>N时，与都存在且(x)0

f\'(x)f(x)lim\'limxa(x)xa(x)（3）存在（或为），则则极限存在（或为），且f\'(x)f(x)lim\'limxa(x)xa(x)=

0注意：

1、洛必达法则仅适用于0型及型未定式

2、当泰勒公式（略）

迈克劳林公式（略） 函数单调性的判别法： f\'(x)limxa\'(x)(x)不存在时，不能断定

f(x)xa(x)(x)lim不存在，此时不能应用洛必达法则

必要条件：设函数f(x)在a,b上连续，在a,b内具有导数，如果f(x)在a,b上单调增

\'\'a,bf(x)0f加（减少），则在内，（(x)0）

充分条件：设函数f(x)在a,b上连续，在a,b内具有导数，

\'a,bf（1）如果在内，(x)0，则f(x)在a,b上单调增加 \'a,bf（2）如果在内，(x)0，则f(x)在a,b上单调减少

函数的极值及其求法

极值定义（见书176页） 极值存在的充分必要条件

\'xxf(x)f00必要条件：设函数在点处具有导数，且在点处取得极值，则(x)0

函数的极值点一定是驻点

导数不存在也可能成为极值点

\'f驻点：使(x)0的点，称为函数f(x)的驻点

充分条件（第一）：设连续函数f(x)在点x0的一个邻域（x0点可除外）内具有导数，当x由小增大经过x0时，如果 \'f（1）(x)由正变负，则x0是极大点

\'f（2）(x)由负变正，则x0是极小点 \'f（3）(x)不变号，则x0不是极值点

\';;xf(x)0ff(x)0充分条件（第二）：设函数在点0处具有二阶导数，且，(x0)0

;;f（1）如果(x0)0，则f(x)在x0点处取得极大值 ;;f（2）如果(x0)0，则f(x)在x0点处取得极小值

函数的最大值和最小值（略）

曲线的凹凸性与拐点： 定义：设f(x)在a,b上连续，如果对于a,b上的任意两点x

1、x2恒有f(x1x2f(x1f(x2))22，则称f(x)在a,b上的图形是（向上）凹的，反之，图形是（向上）凸的。

判别法：

定理：设函数f(x)在a,b上连续，在(a,b)内具有二阶导数

;;f(a,b)（1）如果在内(x0)0，那么f(x)的图形在a,b上是凹的 ;;f(a,b)（2）如果在内(x0)0，那么f(x)的图形在a,b上是凸的

拐点：凸弧与凹弧的分界点称为该曲线的拐点。

不定积分

原函数：如果在某一区间上，函数F(x)与f(x)满足关系式： F\'(x)f(x)或dF(x)f(x)dx，则称在这个区间上，函数F(x)是函数f(x)的一个原函数 结论：如果函数f(x)在某区间上连续，则在这个区间上f(x)必有原函数

定理：如果函数F(x)是f(x)的原函数，则F(x)C（C为任意常数）也是f(x)的原函数，且f(x)的任一个原函数与F(x)相差为一个常数 不定积分的定义：

f(x)dx定义：函数f(x)的全体原函数称为f(x)的不定积分，记做

(f(x)dx)\'f(x)d(f(x)dx)f(x)dx不定积分的性质： 性质一：

或

f及\'

(x)dxf(x)C或df(x)f(x)C

性质二：有限个函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和。即

[f1(x)f2(x)fn(x)]dxf1(x)dxf2(x)dxfn(x)dx

性质三：被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来，即

kf(x)dxkf(x)dx（k为常数，且k0 kdxkxC基本积分表： （1）（k是常数）

xa1xdxC(a1)a1（2）

a 1dxln|x|Cx（3）

x

e（4）xdxexC

axadxC(a0,a1)lna（5）

（6）sinxdxcosxC

（7）cosxdxsinxC

12dxsecxdxtanxC2（8）cosx

1dxcsc2xdxcotxCsecxtanxdxsecxC2（9）sinx （10）

（11）cscxcotxdxcscxC

（12）

11x2dxarcsinxC

（13）11x2dxarctanxC

\'第一类换元法（凑微分法） f[(x)](x)dxF[(x)]C

tanxdxln|cosx|C

cotxdxln|sinx|C

第二类换元法：变量代换

被积函数若函数有无理式，一般情况下导用第二类换元法。将无理式化为有理式 基本积分表添加公式：

结论：

22ax如果被积函数含有，则进行变量代换xasint化去根式

22如果被积函数含有xa，则进行变量代换xatant化去根式

22xa如果被积函数含有，则进行变量代换xasect化去根式

分部积分法：

对应于两个函数乘积的微分法，可推另一种基本微分法---------分部积分法 udvuvvdu

分部积分公式

三角函数指数函数

1、如果被积函数是幂函数与

令u等于幂函数

的积，可以利用分部积分法

对数函数

2、如果被积函数是幂函数与反三角函数的积，可使用分部积分法

对数函数 令u=反三角函数

3、如果被积函数是指数函数与三角函数的积，也可用分部积分法。 定积分

定积分的定义

定理：如果函数f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积

定理：如果函数在[a,b]上只有有限个第一类间断点，则f(x)在[a,b]上可积 定积分的几何意义：

bf(x)dx

1、在[a,b]上f(x)0，这时a的值在几何上表示由曲线yf(x)、x轴及二直线x=a、x=b所围成的曲边梯形的面积

2、在[a,b]上f(x)0，其表示曲边梯形面积的负值

3、在[a,b]上，f(x)既取得正值又取得负值 几何上表示由曲线yf(x)、x轴及二直线x=a、x=b所围成平面图形位于x轴上方部分的面积减去x轴下方部分的面积 定积分的性质：

性质

一、函数和（差）的定积分等于他们的定积分的和（差），即

aaa

性质

二、被积函数中的常数因子可以提到积分号外面，即

b[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dxkf(x)dxkf(x)dxabbbba（k是常数）

性质

三、如果将区间[a,b]分成两部分[a,c]和[c,b]，那么

baf(x)dxf(x)dxf(x)dxacbcb、

性质

四、如果在[a,b]上，f(x)1，那么af(x)dxdxbaab

f(x)dx0性质

五、如果在[a,b]上，f(x)0，那么a 性质

六、如果在[a,b]上，f(x)g(x)，那么

bbaf(x)dxg(x)dxab

性质

七、设M及m，分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值及最小值，则

f(x)dx

m(b-a)aM(b-a) (a

八、积分中值定理

bab ……估值定理

如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，那么在积分区间[a,b]上至少有一点，使得  f(x)dxf()(ba)微积分基本公式

积分上限的函数：(x)f(t)dtax （axb）

性质：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，那么积分上限的函数‘(x)f(t)dtax在[a,b]上dx(x)f(t)dtf(x)adx具有导数，且

定理：在区间[a,b]上的连续函数f(x)的原函数一定存在

如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，且F(x)是f(x)的任意一个原函数，那么ba牛顿——莱布尼茨公式



f(x)dxF(b)F(a)

定积分的换元法

假设（1）函数f(x)在区间[a,b]上连续；

（2）函数x(t)在区间[,]上单值，且具有连续导数；

x(t)的值在[a,b]上变化，a，（）b，（3）当t在区间[,]上变化时，且（）b则有定积分的换元公式a f(x)dxf[(t)]\'(t)dt

设f(x)在区间[a,a]上连续，则

f(x)dx0f(x)a（1）如果函数为奇函数，则 （2）如果函数f(x)为偶函数，则a20aaf(x)dx2f(x)dx0a

0

定积分的分部积分法 sinxdx2cosnxdxn

\'\'\'\'\'[a,b]u(x)v(x)u(x)v(x)(uv)uvvu设、在上具有连续导数、，那么，在等式的两边

bbb(uv)uv\'dxvu\'dxaaa分别求a到b的定积分得

b……定积分的分部积分公式

bbb\'bb\'uvdx(uv)vudxudv(uv)vduaaaaaa即 或

无穷区间上的广义积分

limf(x)dx定义：设函数f(x)在区间[a,]上连续，取b>a，如果极限ba存在，则称此极

b限为函数f(x)在区间[a,]上的广义积分，记做a无界函数的广义积分（见书279页） 定积分的应用（见书286页）

元素法

在极坐标系中的计算法

f(x)dx即af(x)dxlimf(x)dxbab

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上册高数复习必备

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