高等数学难点总结（上册）
函数（高等数学的主要研究对象）
要着重掌握的常见函数类型：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数
极限：数列的极限（特殊）——函数的极限（一般）
函数极限的可能情况有24种（自变量6种，因变量4种），对于这其中任一种情形，都应该熟练掌握其分析定义（严格的数学表述）
极限的本质是：已知某一个量（自变量）的变化趋势，去考察另外一个量（因变量）的变化趋势
由极限的概念可以推得的一些性质：局部有界性、局部保号性等等，应当注意到，由极限概念所得到的性质通常都是只在局部范围内成立
趋于零的极限称之为无穷小量，不同的无穷小量之间有阶的区别，类似可定义无穷大量 两个判断极限的重要准则：
1、夹逼原理；
2、单调有界数列必有极限。它们分别对应两个重要极限。
各种典型极限的计算
在提出极限概念的时候并未涉及到函数在该点的具体情况，所以函数在某点的极限与函数在该点的取值并无必然联系
连续：函数在某点的极限值 等于 函数在该点的取值 连续的本质：自变量无限接近，因变量无限接近
连续的概念相当于给我们提出了一种求极限的方法：代入法 闭区间上连续函数的性质。
不连续的情形：间断。其分类可根据连续不成立的条件逐一分析
导数的概念
本质是函数增量与自变量增量的比值在自变量增量趋近于零时的极限，更简单的说法是变化率
微分的概念：函数增量的线性主要部分，这个说法有两层意思，
一、微分是一个线性近似，
二、这个线性近似带来的误差是足够小的，实际上所有函数在某点的增量我们都可以线性关系去近似它，但并不是任何时候这个近似都足够好，只有当误差足够小时，才能说该函数在该点可微分
对一元函数，连续不一定可导，可导必连续，可导等价于微分 各种典型导数和微分的计算
导数反映了函数在某点附近的变化快慢程度，因此可用来作为研究函数某些性质的工具，尤其是那些涉及讨论函数变化情况的性质。 极值的概念，极值是局部而非整体性质的体现
费尔马定理：一个函数的极值点，要么不可导，要么导数为零
微分中值的三个定理：罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理。它们是同一个数学事实在不同的坐标系中的表达：对一个闭区间连续、开区间可导的函数来说，必存在区间内的一点，该点切线的斜率等于两端点连线的斜率。 用导数研究函数的极值情况
用导数研究函数的增减性和凹凸性
泰勒定理：本质是用多项式来逼近连续函数。要学好这部分内容，需要考虑几个问题：
1、一个函数能够用多项式来近似的条件是什么？
二、这个多项式的各系数如何求？
二、即使求出了这个多项式的系数，如何去评估这个多项式逼近连续函数的精确程度，即还需要求出误差（余项），一般来说，余项的选取不同，对函数的要求也不同，常见的有皮亚诺和拉格朗日两种余项
不定积分：导数的逆运算 什么样的函数有不定积分
求不定积分的若干典型方法：凑微分、换元和分部 各种典型不定积分的计算。
定积分：由具体例子引出，本质是先分割、再综合，其中分割的作用是把不规则的整体划作规则的许多个小的部分，然后再综合，最后求极限，当极限存在时，近似成为精确 什么样的函数有定积分 积分上限函数及其导数
微积分基本定理，其最重要的作用是将定积分（一个复杂和式的极限）与不定积分（导数的逆运算）相联系
积分中值定理，其对应的意义是变量的平均值
定积分的几何应用和物理应用
高等数学里最重要的数学思想方法：微元法
