高数上册归纳公式篇(完整)

公式篇

目录

一、函数与极限 1.常用双曲函数 2.常用等价无穷小 3.两个重要极限

二、导数与微分

1.常用三角函数与反三角函数的导数公式 2.n阶导数公式

3.高阶导数的莱布尼茨公式与牛顿二项式定理的比较 4.参数方程求导公式 5.微分近似计算

三、微分中值定理与导数的应用 1.一阶中值定理 2.高阶中值定理

3.部分函数使用麦克劳林公式展开 4.曲率

四、定积分

1.部分三角函数的不定积分 2.几个简单分式的不定积分

五、不定积分

1.利用定积分计算极限 2.积分上限函数的导数

3.牛顿-莱布尼茨公式和积分中值定理 4.三角相关定积分

5.典型反常积分的敛散性 6.Γ函数(选)

六、定积分的应用 1.平面图形面积 2.体积

3.弧微分公式

七、微分方程 1.可降阶方程

2.变系数线性微分方程

3.常系数齐次线性方程的通解

4.二阶常系数非齐次线性方程(特定形式)的特解形式 5.特殊形式方程(选)

一、函数与极限

1.常用双曲函数( sh(x).ch(x).th(x) )

2.常用等价无穷小(x→0时)

3.两个重要极限

二、导数与微分

1.常用三角函数与反三角函数的导数公式

(凡是“余”求导都带负号)

2.n阶导数公式

特别地,若n

3.高阶导数的莱布尼茨公式与牛顿二项式定理的比较

函数的0阶导数可视为函数本身

4.参数方程求导公式

5.微分近似计算(x很小时)

(注意与拉格朗日中值定理比较) 常用:

(与等价无穷小相联记忆)

三、微分中值定理与导数的应用

1.一阶中值定理

(f(x)在[a,b]连续,(a,b)可导 ) 罗尔定理 ( 端点值相等f(a)f(b) )

拉格朗日中值定理

柯西中值定理 (g\'(x)0≠0 )

2.高阶中值定理 (f(x)在(a,b)上有直到(n1)阶导数 ) 泰勒中值定理

Rn为余项

(ξ在x和x0之间) 令x00,得到麦克劳林公式

3.部分函数使用麦克劳林公式展开(皮亚诺型余项)

4.曲率

四、不定积分

1.部分三角函数的不定积分

2.几个简单分式的不定积分

五、定积分

1.利用定积分计算极限

2.积分上限函数的导数

推广得

3.牛顿-莱布尼茨公式和积分中值定理 (1)牛顿-莱布尼茨公式(微积分基本公式)

(2)积分中值定理 函数f(x)在[a,b]上可积

f()称为f(x)在[a,b]上的平均值

4.三角相关定积分

三角函数系的正交性

5.典型反常积分的敛散性 (1)无穷限的反常积分

推论1

(2)瑕积分(无界函数的反常积分)

推论2

Convergence:收敛,Divergence:发散

6.Γ函数(选)

(1) 递推公式:推论:(2)欧拉反射公式(余元公式)

六、定积分的应用 1.平面图形面积 (1)直角坐标: 由曲线yf(x)0及xa,xb与x轴围成图形

(2)极坐标: 有曲线()及,围成图形

2.体积

(1)绕x轴旋转体体积

(2)平行截面面积已知的立体的体积

平行截面(与x轴垂直)面积为A(x)

3.弧微分公式 (1)直角坐标:

(2)极坐标:

七、微分方程 1.可降阶方程 (1)y(n)

f(x)型

n次积分得

(2)y\"f(x,y\')型

作换元py\'得p\'f(x,p) 得通解p(x,C1) 则y(x,C1)dxC2 (3)y\"f(y,y\')型

dpdpdpp,pf(y,p) dxdxdxdy得通解p(y,C1)

dx作换元py\',y\"则dy(y,C1)xC2

2.变系数线性微分方程

(1)一阶线性微分方程:y\'P(x)yQ(x)

P(x)dx对应齐次方程: y\'P(x)y0的通解为YCe

原方程y\'P(x)yQ(x)的通解为

y(Q(x)eP(x)dxP(x)dxdxC)e

一阶线性非齐次方程的通解等于相应齐次方程的通解和非齐次方程一个特解的和

(2)高阶线性微分方程

(n1)y(n)P(x)yPn1(x)y\'Pn(x)yQ(x) 1(n1)对应齐次方程为y(n)PPn1(x)y\'Pn(x)y0 1(x)y若y1(x),y2(x),,yn(x)为齐次方程n个线性无关解

则齐次方程的通解为Y(x)C1y1(x)C2y2(x)Cnyn(x) 若y*(x)为非齐次方程的一个特解 则非齐次方程的通解为yY(x)y*(x)

3.常系数齐次线性方程的通解 (1)二阶方程y\"pyq0 特征方程为rprq0 2①0,两个不等实根r1通解为yC1e1C2e2 rxrxbb,r2 2a2a②0,两个相等实根r1r2通解为y(C1C2x)e1 rxp 2③0,一对共轭复根r1i,r2i,通解为yex(C1cosxC2sinx)

(2)高阶方程y(n)p1y(n1)pn1y\'pny0 特征方程为rnp1rn1pn1rpn0 对于其中的根r的对应项 ①实根r 一个单实根:Ce

一个k重实根: (C1C2xCkxk1)erx ②复根r1,2i

一对单复根:ex(C1cosxC2sinx) rxp,2 2一对k重复根: ex[(C1C2xCkxk1)cosx(D1D2xDkxk1)sinx] 通解为对应项之和

4.二阶常系数非齐次线性方程(特定形式)的特解形式

y\"py\'qyf(x),对应的特征方程为r2prq0

(1)f(x)exPm(x)

Pm(x)为x的m次多项式 特解形式为y*xkQm(x)ex

k0(非特征根) 1(为特征单根) 2(为特征重根)

Qm(x)是x的m次多项式

(1)(2)(2)f(x)e[Pl(x)cosxPn(x)sinx]

Pl(x),Pn(x)分别为x的l,n次多项式 x(1)(2)特解形式为y*x[Qm(x)cosxRm(x)sinx]e kxmmax{l,n},Qm(x),Rm(x)为x的m次多项式 记zi

k0(z非特征根) 1(z为特征复根)

5.特殊形式方程(选) (1)伯努利方程

dyP(x)yQ(x)yn

(n0,1) dxdyynP(x)y1nQ(x)

dxdzdy(1n)yn令zy1n, dxdxdz(1n)P(x)z(1n)Q(x)

dx得通解z(x,C)

y[(x,C)]

(2)欧拉方程 11n

xny(n)p1xn1y(n1)pn1xy\'pnyf(x)

t作变换xe或tlnx,记Dd dtdydydtdyxDydxdtdxdt2d2ydy22dyxy\"x2D(D1)y 2dtdxdtxy\'xxky(k)D(D1)(Dk1)y将上各式代入原方程得到

Dnya1Dn1yan1Dyanyf(t)

此为常系数线性微分方程 可得通解y(t,C1,C2,,Cn)

即可得原方程通解y(x,C1,C2,,Cn)

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