线性代数模拟试题C及答案

模拟试题C 一．填空或选择填空（每小题4分）

122，B为三阶非零矩阵，且AB0,则4a11．设Aa 3112．已知二次型f2x15x25x34x1x24x1x32tx2x3经正交变换化为标准形fy1y210y3，则t

3．设A,B均为n阶可逆矩阵，则下列结论成立的是 （a）ABBA;

（b）存在可逆矩阵P,使P1APB；

（c）存在可逆矩阵P和Q,使PAQB

（d）存在可逆矩阵C，使CTACB

4．设向量1，2，3线性无关，则下列向量组中线性无关的是 （a）12,23,31; （b）12,23,123; （c）12,23,1223; （d）12,23,31.

5．设m个方程的n次齐次线性方程组为Axb，且rankAr则下列结论中正确的是

（a）rn时，Axb有唯一解； （b）mn时，Axb有唯一解；

Axb有无穷多解； （c）rn时，222222（d）rm时，Axb有解。 二．（10分）已知n阶方阵

1111

A1nn1nn1

11111求detA1

101满足BA2EB2A2,求矩阵B 020三．（10分）已知A301四．（10分）设四维向量空间V的两个基（Ⅰ）：（Ⅱ）：1,2,3,41,2,3,4和满足

122

3

23421223 22341．求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵C：

2．求向量1223344在基（Ⅱ）下的坐标。

x1x20五．（13分）设四元齐次线性方程组（Ⅰ）为，又知一齐次线性方程

xx042组（Ⅱ）的通解为k1(0,1,1,0)Tk2(1,2,2,1)T。

1．求线性方程组（Ⅰ）的基础解系及通解；

2．问线性方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）是否有非零公共解？若有，则求出所有的非零公共解；若没有，则说明理由。

212的一个特征向量为T5a3六．（13分）已知矩阵A。 x(1,1,1)1b21．求a,b之值及特征向量x所对应的特征值； 2．A能否与对角矩阵相似？说明理由。

七．（15分）已知二次型f(x1,x2,x3)5x15x2tx32x1x26x1x36x2x3的秩为2。

1．求参数t；

2．用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换； 3．指出方程f(x1,x2,x3)1表示何种二次曲面。

222八．（9分）

1、设A是n非零实矩阵，AT是A的转置矩阵，A*是A的伴随矩阵。若ATA*,试证：detA0

2、设有矩阵Amn和Anm，且m

答案

一、1．－1；2．4；3．（c）；4．（b）；5．（d）。 二．（－1）n(n1)21 n1(n1)402三．040

604四．1．由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵为

4－2108－421

C＝

1002－21002．在基（Ⅱ）下的坐标为（3，10，9，0）。 五．见例4－14。

六．1．由Axx,得a3,b0,1；

2．－1是A的三重特征值，而对应－1只有一个线性无关的特征向量，从而A不能相似对于角矩阵、七．1．t＝3；

16x112．正交变换x2x63261212013y1122y化二次型为f4y9y23； 231y333．f1为椭圆柱面

八．1．由ATA*知，aijAij，其中Aij是detA中元素aij的代数余子式；又A是非零实矩阵，不防设A中ai0j00，将A按第i0行展开，得

detAai01Ai01ai0j0Aioj0ai0nAi0nai01ai0j0ai0n0

2222．由mrankEmrank(AB)rankAm知，rankAm,故A的行向量组线性无关。

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