第六章学习小结

发布时间：2020-03-02 21:26:53 来源：范文大全收藏本文下载本文手机版

第6章数值积分

--------学习小结

姓名王富民班级研1302 学号 S20130181

一、本章学习体会

本章为数值积分，是非常重要的一章。一般的计算定积分baf(x)dx，只要求出被积函数f(x)的一个原函数F(x)，再利用牛顿-莱布尼茨公式就可以解决问题。但是，实际工作中，有很多被积函数是很难求出原函数的，甚至不能求出有限形式的原函数。为此本章将要讨论计算定积分的数值方法—数值积分法。

本章最大的收获是1.插值型求积公式：理解插值型求积公式的概念和代数精度的概念，理解插值型求积公式与代数精度的关系，掌握代数精度的求法，熟练使用梯形公式和Simpson公式，能推导梯形公式。2.Simpson公式的截断误差表达式，了解Cotes公式及其截断误差表达式。

3.复化求积公式：深入理解复化求积的思想，掌握复化梯形公式、复化Simpson公式、复化Cotes公式及它们的误差表达形式，理解复化公式阶的概念。

4.Romberg求积法：掌握Romberg算法，了解Richardson外推法的基本思想。

5.Gua求积公式：理解Gua公式的概念，掌握Gau-Legendre求积公式、一般区间上的Gau-Legendre求积公式，熟练使用两点和三点Gua公式，了解Gua公式的截断误差。

二、本章知识梳理

1.插值型求积公式线性和二次求积公式；求积公式的代数精度；求积公式的误差分析；复合求积公式；高斯求积公式； 2.积分方程的数值求解

积分方程的数值求解的思路分析；积分方程的数值求解方法介绍。 nN次代数精度:baf(x)dxAkf(xk)k0

对于任意不超过n次的代数多项式都准确成立, 数多项式不成立。梯形公式:baf(x)dxba2[f(a)f(b)]

辛普森公式：

S=b-a6[f(a)4f(ab2)f(b)]

复化梯形公式:

Thn1n2[f(a)f(b)2f(akh)] k1截断误差： RTba212hf\'\'() 复化辛普森公式:

而对某一个m+1次代 n1n1hSn[f(a)4f(xk1/2)2f(xk)f(b)]

6k0k0(ba)5(4)f() 截断误差：Rs42880m高斯求积公式：

求积公式 f(x)dxAkf(xk) 含有2n2个待定参数xk,Ak(k0,1,,n),ak0bn适当选择这些参数使其具有2n+1次代数精度。这类求积公式称为高斯公式。xk(k0,1,,n)是高斯点。高斯点的确定方法：求解思路用数值积分代替积分由k(x,s)y(s)dsAkk(x,xk)y(xk)

ak1bny(xj)Akk(xj,xk)y(xk)f(xk)

k1n(IK)yf

三、本章思考题

设数值求积公式af(x)dxAkf(xk),代数精度至少为n-1的充分必要

k0bn条件是它为插值型求积公式.证:充分性.设原式是插值型求积公式,则式中的求积系数

Aklkn(x)dxab In余项为 bAf(x)nnkkk1k1balkn(x)dxf(xk)lak1n(x)f(xk)dxknbaLn(x)dx

RnfIInbf(n)()an!n(x)dx

由上可知代数精度至少为n-1。必要性.设原式代数精度至少为n-1,则对次数不超过n-1的多项式pr(x)(rn1)原式成立等号,特别地取

Lagrange插值基函数lkn(x),有

n因为 balkn(x)dxAjlkn(xj),k1,2,,n

j11,ik,lkn(xj) 0,jk.所以

Aklkn(x)dx