费马大定理的初等巧妙证明
李联忠
(营山中学四川营山 637700)
费马大定理:一个正整数的三次以上的幂不能分为两正整数的同次幂之和。即不定方程znxnyn当n≥3时无正整数解。
证明:当n=2时,有z2x2y2
∴x2z2y2(zy)(zy)(1)
设 (zy)2m2 则 zy2m2代入(1)得
x2z2y22m2(2y2m2)22m2(ym2)22m2l2
22∴x2mlyl2m2zlm
当n=3时,有z3x3y3
∴x3z3y3(zy)(z2zyy2)(2)
设 (zy)32m3 则 zy32m3代入(1)得
3x3z3y332m[ (y32m3)2(y32m3)yy2]
32m3(3y2332m3y34m6)33m3(y232m3y33m6)
设 (y232m3y33m6)l3(3)
则x3ml(4)
zy32m3(5)
若z,y的公约数为k,即 (z,y)=k ,k>1时,方程x3z3y3两边可以除以k,下面分析k=1 即(z,y)=1 , 方程xzy的正整数解
因为(z,y)=1,分析(2),(3),(4),(5)式,只有m,l为正整数时,x,y,z有正整数解,由(3)得 3333
y(y32m3)l333m6(l3m2)(l23m2l32m4)
∵ y,m,l都取正整数
∴y(l3m)和y3m(l3ml3m)不能同时成立 2232224
∴ y没有形如y(l3m2)或y(l23m2l32m4)32m3的正整数解 若 (l3m2)=ab , (l23m2l32m4)=cd可得相应方程组
222yal3mycl3myacl3m或或这些方程组里的m,l没有正整232323y3mbcdy3mabdy3mbd
数解,因为若有正整数解,则与y没有形如y(l3m2)和y(l23m2l32m4)32m3的正整数解矛盾。
又 ∵ y(l3m2)在m,l取正整数的条件下,y可取到任意正整数 ∴y没有正整数解。
∴当n=3时,方程z3x3y3无正整数解。
当n>3时,同理可证方程znxnyn无正整数解。
定理得证。