学而思五年级秋季第七讲知识总结
神奇的9（接上讲）
2. 9的整除特征
①一个数能否被9整除，我们只需要看它的各个数位数字之和能否被9整除；并且它除以9的余数与数字和除以9的余数保持一致。
②实际上算除以9的余数，不仅可以看数字和，也可以将原数任意分割后再相加，看这个和除以9的余数。例如：12345„9899除以9的余数，就等于1 + 2 + 3 + 4 + „„ + 98 + 99的和除以9的余数。证明和第①条一样，都是用位值原理。
③弃9法：在算除以9的余数时，如果几个数的和是9或9的倍数，可以直接弃掉。注意等差数列中连续的9个数之和一定是9的倍数。
对应题目：例
4、例
5、提
3、尖3
3. 进位原理与整除特征的综合运用
对应题目：例
6、提
4、尖4
下面以例6为例，再把解题方法复习一下：
例6：下面算式由1~9中的8个组成，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字。那么“数学解题”与“能力”的差的最大值是__________.
【解析】首先判断哪一个数字没有用。在这个算式中，结果2010除以9余3，所以所有加数的数字和除以9也余3。因为1 + 2 + „„ + 9 = 45能被9整除，所以显然数字6没有用。
其次计算进位的次数。加数的数字和为45 – 6 = 39，和的数字和为3，相差36，所以发生了4次进位。
最后根据最值的要求往里填数。现在要求“数学解题”与“能力”的差最大，也就是“数学解题”尽可能大，“能力”尽可能小。显然“数”= 1；“数学解题”最大，那么“学”= 9；此时百位和十位分别发生了一次进位，那么个位进位两次，即“题”+“力”+“示”= 20。现在还有数字
2、
3、
4、
5、
7、8没有用，相加为20，只能是5 + 7 + 8 = 20；所以根据差最大的要求，“题”= 8，“力”= 5；同理，“解”= 4，“能”= 2；即“数学解题”与“能力”的差的最大值为1948 – 25 = 1923。
蝴蝶模型
1. 任意四边形中的蝴蝶模型
（1）①×③ = ②×④
DA②①④SAOS△ACDDO（2）△ABD； S△BCDOCS△ABCOB
对应题目：例1
O③BC2. 梯形中的蝴蝶模型（1）①×③ = ②×④
A②①D④SAOS△ACDDO（2）△ABD； S△BCDOCS△ABCOB③（3）② = ④
（4）若AD : BC = a : b，
则①：②：③：④ = a2：ab ：b2：ab
在各种杯赛里，蝴蝶模型考查最多的就是梯形中的蝴蝶模型，尤其是第（3）和（4）条性质，大家一定要记熟。
OBC
在题目中，看见交叉线一定要想到构造蝴蝶模型
蝴蝶模型这一讲并不算难，关键是熟练掌握并应用蝴蝶模型的几个性质。
下面是第七讲补充习题答案
第七讲 蝴蝶模型
上讲回顾
1.A的数字和是2012，B的数字和是1997，已知A和B作差的时候退了15次位，那么结果的数字和是多少？ 【解析】：2012-1997+15×9=150或者1997-2012+15×9=120．
2.如下图所示的竖式中相同ABCDEF分别表示1-9中7个不同的数字，那么这七个数字的和是多少？
ABCD EFG 2 0 1 3【解析】：共进位3次，所以数字和为2+1+3+9×3=33，而1624+389=2013是其中的一个解．
3. 123×123×1234×99999999结果的数字和是多少？ 【解析】：容易得知123×123×1234
4. 1234567891011…19881989除以9的余数是多少？ 【解析】：1+2+3+…+1989=1990×1989÷2=995×1989，而1989是9的倍数，所以原来的数除以9的余数为0．
5.将0-9中的9个数字填入下列算式中，那么没被选中的数字是多少？
□□□□+□□+□□□=2290 【解析】：左右两边除以9的余数相同，右边除以9余4，所以左边除以9的余数也是4，所以没选中的数字应该是5．
本讲巩固
1.如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？
CBOAD
【解析】：根据蝴蝶定理求得S△AOD3121.5平方千米，公园四边形ABCD的面积是1231.57.5平方千米，所以人工湖的面积是7.56.920.58平方千米．
2.如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC的面积；⑵AG:GC？
A2BC1G3D
【解析】：⑴根据蝴蝶定理，SBGC123，那么SBGC6
⑵AG:GC1:3
3.（2007年第12届华杯赛决赛）在梯形ABCD中，上底长5厘米，下底长10厘米，SBOC20平方厘米，则梯形ABCD的面积是平方厘米．
AOBD
C【解析】：上底：下底=5：10=1:2，根据梯形蝴蝶模型的结论，
SAOD:SAOB:SBOC:SCOD1:2:4:2，所以SBOC:S梯形ABCD4:9，所以梯形ABCD的面积为20÷4×9=45平方厘米．
4.如图，S22，S34，求梯形的面积．
S1S2S3S4
【解析】：显然S4S22，所以S1S2S4S31，所以梯形面积为1+2+2+4=9．
5.（2009年第14届华杯赛决赛）如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD相交于点O．已知AB=5，CD=3，且梯形ABCD的面积为4，求三角形OAB的面积．
DOCAB 【解析】：根据题意，AB=5，CD=3，CD:AB=3:5，
则根据蝴蝶模型SDOC:SAOD:SAOB:SCOBa2:ab:b2:ab9:15:25:15，令SAOB=25份，
11则梯形ABCD共有：9+15+25+15=64份．所以1份为：4÷64=，则三角形OAB的面积为
161625×25=．
166.已知ABCD是平行四边形，BC:CE3:2，三角形ODE的面积为6平方厘米。则阴影部分的面积是平方厘米．
AOBCED【解析】：连接AC．由于ABCD是平行四边形，BC:CE3:2，所以CE:AD2:3，根据梯形蝴蝶定理，SCOE:SAOC:SDOE:SAOD22:23:23:324:6:6:9，所以SAOC6（平方厘米），SAOD9（平方厘米），又SABCSACD6915（平方厘米），阴影部分面积为61521（平方厘米）．
7.如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG的面积是1004，三角形BCH的面积是1009，求四边形EGFH的面积．
AGDFBHCAGDFBHCEE
【解析】：如图，连结EF，显然四边形ADEF和四边形BCEF都是梯形，于是我们可以得到三角形EFG的面积等于三角形ADG的面积；三角形BCH的面积等于三角形EFH的面积，所以四边形EGFH的面积是1004+1009=2013．
8.在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形ABF的面积为8平方厘米，那么正方形ABCD面积是平方厘米．
ADADFBECBFEC
【解析】：连接DE，BE:AD=1:2，根据梯形的蝴蝶模型，得到SBEF:SEFD:SAFD:SABF1:2:4:2，所以SABF:S梯形ABED2:9，所以梯形ABED的面积为8÷2×9=36平方厘米，所以△DCE的面积为36÷3=12平方厘米，所以正方形面积为36+12=48平方厘米．
9.E是平行四边形ABCD的CD边上的一点，BD、AE相交于点F，已知三角形AFD的面积是12，三角形DEF的面积是8，求四边形BCEF的面积为多少？
AFDECDBAFEB
【解析】：如图，根据梯形的蝴蝶中，△BEF的面积为12，△ABF的面积为12×12÷8=18，所以△ABE的面积为18+12=30，所以梯形的面积为30×2=60，所以△BEC的面积为60-12-12-8-18=10，所以四边形BCEF的面积为12+10=22．
C
10.如图所示两个正方形ABCD和CEFG并排放置，已知BF与CD交于H并且DH=2CH，三角形DHF的面积为24，那么五边形ABEFD的面积是多少？
ADGHFADGHF
【解析】：连BD、CF，那么四边形BCFE是梯形，而CH：DH=1：2，根据梯形中的蝴蝶模型，得到△CHB的面积为24，△CHF的面积为12，△BHD的面积为48，所以△CDB面积为24+48=72，所以大正方形面积为144．那么得到边长CD的长度为12，而△CDF的面积为12+24=36，所以可以得到GF=36×2÷12=6，那么小正方形面积为36，△GDF面积为（12-6）×6÷2=18，所以五边形面积为18+36+144=198． BCEBCE
