双曲线及其标准方程教学
沾化一中
郭梅芳
一、教材分析：
《双曲线及其标准方程》是全日制普通高级中学教科书（人教A版）选修2-1第二章第三节内容，双曲线是平面解析几何的又一重要曲线，本节课既是对解析几何学习方法的巩固，又是对运动，变化和对立统一的进一步认识，从整体上进一步认识解析几何，建立解析几何的数学思想。双曲线是三种圆锥曲线中最复杂的一种，传统的处理方法是先学习椭圆，再学习双曲线，通过对比椭圆知识来学习，降低难度，便于学生学习掌握。教材为《双曲线及其标准方程》安排两课时内容，本文是第一课时，本课的主要内容是：（1）探求轨迹（双曲线）；（2）学习双曲线定义；（3）推导双曲线标准方程；
二、教学目标：
1、认知目标：掌握双曲线的定义、标准方程，了解双曲线及相关概念；
2、能力目标：通过学生的操作和协作探讨，培养学生的实践能力和分析问题、解决问题的能力，通过知识的再现培养学生的创新能力和创新意识。
3、情感目标：让学生体会知识产生的全过程，体会解析法的思想。通过画双曲线的几何图形让学生感知几何图形曲线美、简洁美、对称美，培养学生学习数学的兴趣．
三、教学重难点
重点：双曲线中a,b,c之间的关系。
难点：双曲线的标准方程，双曲线及其标准方程的探求；领悟解析法思想．
四、教学方式：
多媒体演示，小组讨论。
五、教学准备：
多媒体课件，
六、教学设想：
1 通过师生的相互“协作”，以提问的形式完成本堂课
七、教学过程：
环节 内容 教学双边活动 设计意图 复习问题
问题1：椭圆的定义是什么？（哪几个关键点） 问题2：椭圆的标准方程是怎样的？ 问题3：如何作椭圆？
问题4：性质： 学生回顾，教师补充纠正 回顾椭圆学习过程，本身具有复习提高价值．此处侧重于类比研究椭圆的思想和方法，期望在双曲线学习中有一种方法引领。
引入新课:到两个定点的距离差为定值的动点轨迹？ 过渡
探求轨迹问题：我们用什么方法来探求（画出）轨迹图形？用几何画板演示拉链的轨迹： 同样的，也有设问：①定点与动点 不在同一平面内，能否得到双曲线？请学生回答：不能．指出必须“在平面内”．② 动点M到定点A 与B 两点的距离的差有什么关系？请学生回答，M 到 A与B 的距离的差的绝对值相等，否则只表示双曲线的一支，即 是一个常数．③这个常是否会大于或者等｜AB｜ ？请学生回答，应小于｜AB｜且大于零．当常数2a=｜AB｜ 时，轨迹是以A、B 为端点的两条射线；当常数2a> ｜AB｜时，无轨迹． 小组讨论实验演示提问 通过提出问题，让学生讨论问题，并尝试解决问题。让学生了解双曲线的前提条件，并培养学生的全面思考的能力。
感受曲线，解读定义:
演示得到的图形是双曲线（一部分）；归纳双曲线的定义：平面内，到两个定点的距离的差的绝对值为常数（小于两定点距离）的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。数学简记： 学生读课本并分析其中的关键点 通过阅读和关键点分析，让学生学会读书，学会分析书，从而理解书。
推导方程，认识特性 :
2 （1）建系以两定点所在直线为x轴，其中点为原点，建立直角坐标系xOy 设 为双曲线上任意一点，双曲线的焦距为 ，则设点M 与A、B 的距离的差的绝对值等于常数 。
（2）点的集合由定义可知，双曲线上点的集合满足｜｜MA｜-｜MB｜｜=2a（3）利用坐标关系化代数方程
（4）化简方程
（5）双曲线的标准方程：方程形式：焦点在x轴上： 焦点在y轴上： 焦点的中点在原点（中心在原点）
（6）数量特征： （2a ） —— （实轴长）,(2c) —— （焦距）指出:a,b,c的含义.注:（1）双曲线方程中 ，a 不一定大于 b；
（2）如果x 的系数是正的，那么焦点在 x轴上，如果y 的系数是正的，那么焦点在 y轴上，有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点的位置.（3）双曲线标准方程中a,b,c 的关系不同于椭圆方程．
交流：建系的任意性与合理性由一位学生上黑板演示，教师巡视， 通过对双曲线方程的化简，提高学生的演算能力。可注意大部分学生写得是否正确。类比椭圆，认识共同点，辨别不同。
应用方程，体验思想 :
例1 ： 说明：椭圆 与双曲线 的焦点相同．
例2：求到两定点 A、B 的距离的差的绝对值为6的点的轨迹方程？如果把上面的6改为10，其他条件不变，会出现什么情况？如果改为12呢？ 教师分析，由学生分析，教师板书及补充。 可以进一步巩固理解双曲线的定义。
回顾过程，归纳小结 双曲线定义的要点，标准方程的形式
课后练习书本习题
八、自我教学评价
在教学过程中注重知识，能力的融合，努力挖掘内容的本质和联系，以学生 3 为主体，沿着学生的思维方向一步步引入新知识，顺利完成知识的吸纳，利用多媒体演示过程，能给学生一种形象上的吸收，寓思想于教学中。
九、教学反思和回顾
在整个教学中，利用类比椭圆方程定义的形成过程自然进入双曲线定义的教学状态中，并采取多提问的形式，让每个学生思考问题，回答问题，给他们思考的空间，培养他们思索的习惯，让学生与老师互动，交流探讨学习过程中的问题，可以充分提高学生的学习主动性与他们的自信心，在今后的教学中，我要更多的让学生来演示，充分发挥学生的主体作用,让学生真正体会知识的形成过程。
