教学准备
1. 教学目标
知识与技能
掌握双曲线的定义，掌握双曲线的四种标准方程形式及其对应的焦点、准线． 过程与方法
掌握对双曲线标准方程的推导，进一步理解求曲线方程的方法——坐标法．通过本节课的学习，提高学生观察、类比、分析和概括的能力．
情感、态度与价值观
通过本节的学习，体验研究解析几何的基本思想，感受圆锥曲线在刻画现实和解决实际问题中的作用，进一步体会数形结合的思想．
2. 教学重点/难点
教学重点
双曲线的定义及焦点及双曲线标准方程． 教学难点
在推导双曲线标准方程的过程中，如何选择适当的坐标系．
3. 教学用具
多媒体
4. 标签
教学过程
教学过程设计
新知探究
探究点一
双曲线的定义 【问题导思】 1．取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2处，把笔尖放于点M，拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线满足什么条件？
【提示】 如图，曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF2|＝常数；如果改变一下位置，使|MF2|－|MF1|＝常数，可得到另一条曲线．
2．双曲线定义中强调平面内动点到两定点的距离差的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什么？ 【提示】 双曲线的一支．
3．双曲线定义中，为什么要限制常数2a＜|F1F2|? 【提示】 只有当2a＜|F1F2|时，动点的轨迹才是双曲线；若2a＝|F1F2|，轨迹是两条射线；若2a＞|F1F2|，满足条件的点不存在．
4 .已知点P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各条件下点P的轨迹是什么图形？
【提示】(1)∵表示点P(x，y)到两定点F1(－5,0)、F2(5,0)的距离之差的绝对值，|F1F2|＝10，∴||PF1|－|PF2||＝6
表示点P(x，y)到两定点F1(－4,0)、F2(4,0)的距离之差，|F1F2|＝8，∴|PF1|－|PF2|＝6
探究点二
双曲线的标准方程 【问题导思】
1．能否用推导椭圆标准方程的方法推出双曲线的方程？怎样推导？ 【提示】 能．
(1)建系：以直线F1F2为x轴，F1F2的中点为原点建立平面直角坐标系． (2)设点：设M(x，y)是双曲线上任一点，且双曲线的焦点坐标为F1(－c,0)，F2(c,0)．
(3)列式：由|MF1|－|MF2|＝±2a， 可得(4)化简：移项，平方后可得 (c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)． 令c2－a2＝b2，得双曲线的标准方程为
2．双曲线的标准形式有两种，如何区别焦点所在的坐标轴？
【提示】 双曲线标准方程中x2与y2的系数的符号决定了焦点所在的坐标轴：当x2系数为正时，焦点在x轴上；当y2的系数为正时，焦点在y轴上，而与分母的大小无关． 双曲线的标准方程
【典例精讲】
命题方向一
双曲线标准方程的理解
例1.方程表示的曲线为C，给出下列四个命题
①曲线C不可能是圆；
②若1＜k＜4，则曲线C为椭圆； ③若曲线C为双曲线，则k＜1或k＞4； ④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则其中正确命题的序号是________． 【解析】 当4－k＝k－1＝0时，即题．对于②，当1＜k＜4且
时，曲线C是圆，∴命题①是假命
时，曲线C是椭圆，则②是假命题．
根据双曲线和椭圆定义及其标准方程，③④是真命题． 【答案】 ③④ 【小结】
1．双曲线焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的系数为正；双曲线焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的系数为正． 2．在曲线方程中，若m＝n＞0，则曲线表示一个圆；若m＞0，n＞0，且m≠n，则曲线表示一个椭圆；若mn＜0，则曲线表示双曲线． 【变式训练】若k∈R，则“k＞3”是“方程( ) A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
表示双曲线”的
【解析】方程表示双曲线的充要条件是(k－3)(k＋3)＞0，即k＜－3或k＞3；当k＞3时，一定有(k－3)(k＋3)＞0，但反之不成立．∴k＞3是方程表示双曲线的充分不必要条件． 【答案】A 命题方向二
求双曲线的标准方程 例2.
(1)已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线过点线的标准方程； (2)求与双曲线解析：
有公共焦点，且过点
的双曲线方程．
求双曲(1)由已知可设所求双曲线方程为解得∴双曲线的方程为 (2)方法一 设双曲线方程为
由题意易求得
又双曲线过点
又∵
故所求双曲线的方程为
方法二 设双曲线方程为k＝4，∴所求双曲线方程为【小结】
(－4
代入得1．求双曲线标准方程一般有两种方法：一是定义法，二是待定系数法． 2．用待定系数法求双曲线标准方程的步骤：
(1)定位：确定双曲线的焦点位置，如果题目没有建立坐标系，一般把焦点放在x轴上；
(2)设方程：根据焦点的位置设相应的双曲线标准方程(当焦点在两个坐标轴上都有可能时，一般设为Ax2＋By2＝1(AB＜0))；
(3)定值：根据题目的条件确定相关的系数的方程，解出系数，代入所设方程． 【变式训练】
(1)与椭圆共焦点且过点Q(2,1)的双曲线方程为________．
(2)设双曲线的焦点为－|PF2|＝4，则双曲线的方程为________．
双曲线上的一点P满足|PF1|【解析】
(1)由题意知双曲线的焦点为
设其方程为双曲线的方程为
，又过Q(2,1)，则
解得a2＝2，则所求(2)由双曲线的定义可知2a＝4，即a＝2，又为双曲线的焦点在y轴上，故其方程为
∴b2＝c2－a2＝3，又因【答案】命题方向三
双曲线定义的应用
例3.已知A，B两地相距2 000 m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚4 s，且声速为330 m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程． 解析：如图
建立直角坐标系xOy，使A，B两点在x轴上，并且坐标原点O与线段AB的中点重合．
设爆炸点P的坐标为(x，y)， 则|PA|－|PB|＝330×4＝1 320， 即2a＝1 320，a＝660.又|AB|＝2 000，
所以2c＝2 000，c＝1 000，b2＝c2－a2＝564 400.因为|PA|－|PB|＝330×4＝1 320>0，所以x>0.因此炮弹爆炸点的轨迹(双曲线)的方程为
小结
(1)解答与双曲线有关的应用问题时，不但要准确把握题意，了解一些实际问题的相关概念，同时还要注意双曲线的定义及性质的灵活应用．
(2)实际应用问题要注意其实际意义以及在该意义下隐藏着的变量范围． 【变式训练】已知圆C1：
和圆C2：
动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
【解】如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B，根据两圆外切的条件，得
|MC1|－|AC1|＝|MA|， |MC2|－|BC2|＝|MB|.∵|MA|＝|MB|，
∴|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，
∴|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝2.这表明动点M与两定点C2，C1的距离的差是常数2.根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支， 则2a＝2，a＝1，c＝3， ∴b2＝c2－a2＝8 因此所求动点M的轨迹方程为当堂检测 1．设P是双曲线
上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，
若|PF1|＝9，则|PF2|＝( ) A．1
B．17 C．1或17
D．以上答案均不对 【解析】由双曲线定义||PF1|－|PF2||＝8，又|PF1|＝9，∴|PF2|＝1或17，但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c－a＝6－4＝2＞1，∴|PF2|＝17.【答案】B 2．若k>1，则关于x，y的方程A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在y轴上的椭圆 C．焦点在y轴上的双曲线 D．焦点在x轴上的双曲线
【解析】将已知方程化为标准形式，根据项的系数符号进行判断．原方程可化为∵k>1，∴k2－1>0,1＋k>0.∴已知方程表示的曲线为焦点在
所表示的曲线是（ ）
y轴上的双曲线．
3．双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为( )
【解析】将双曲线方程化为标准形式
所以a2＝1，
∴右焦点坐标为【答案】C
4．双曲线的一个焦点为(0，－6)，且经过点(－5,6)，求此双曲线的标准方程． 【解】由题意知c＝6，且焦点在y轴上，另一焦点为(0,6)，所以由双曲线的定义有
∴a＝4，∴b2＝62－42＝20， ∴双曲线的标准方程为
课堂小结
1．理解双曲线的定义应特别注意以下两点： (1)距离的差要加绝对值，否则表示双曲线的一支． (2)距离差的绝对值必须小于焦距，否则不是双曲线
2．求双曲线的标准方程包括“定位”和“定量”两个过程．“定位”指确定焦点在哪个坐标轴上，“定量”是指确定a2，b2的大小.
板书
