双曲线及其标准方程
湖北省大冶市第一中学
江猛
435100
课
型：新 课 课
时：第一节 教学目标：
知识目标：理解双曲线的概念及其标准方程。
能力目标：培养学生动手能力、自主探究能力、抽象概括能力、知识迁移能力、类比椭圆来分析问题、解决问题的能力。
情感目标：通过学生之间的讨论和交流，培养学生的团结协作精神。让学生在问究中感悟数学的魅力，享受探究的乐趣，体验成功的欢悦，收获情感的升华。引发学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是，理论与实践相结合的科学态度，增强学生的应用意识。激发学生爱国热情。
教学重点：双曲线的定义及标准方程。
教学难点：双曲线定义的准确理解及标准方程的建立。 学法指导：动手实践、自主探究、合作交流、类比猜想。 教学方法：探究体验式教学法。
教学手段：探究体验、小组合作、借助多媒体演示和幻灯机实物投影。
课堂构思：课堂结构分为三部分，其一，动手实验，折出双曲线，并从折纸过程中探究其内涵，这是主体总分；其二，方程指导；其三，实际应用。以巧设情境，妙立问题，以问促究，问究结合，师导生演的方式演绎课堂。 教学过程：
折纸实验导入：
1.1 T：大家经常做物理实验、化学实验、生物实验，可是你们做过数学实验吗？ S：没有。T：那么，我们今天一起来做一个数学实验。请拿出刚发下来的印有定⊙F1白纸，按如下步骤操作：第一步：在⊙F1外取一定点F2；第二步：在⊙F1上任取一点P1；第三步：将白纸对折，使P1和F2重合，并留下一条折痕；第四步：连接P1和F1，并延长交折痕于点M1；第五步：再在圆周上任取其他点，将上述步骤2～4步重复4～6次，便可得到一个点列M
1、M
2、M3„等，这个点列能连成一个很美的图形，大家想欣赏它吗？请迅速动手折纸，看谁折得又快又好；（5分钟后）第六步：请大家将所得点列,用平滑的曲线连接起来。 1.2 学生活动：学生动手操作，高效参与。 1.3 预期成果：（5分钟后用幻灯机展示学生成果）第一位同学将点列连成的图形是开口向左的一支曲线(如图1)、第二位同学将点列连成的图形是开口向右的一支曲线(如图2)，噫，怎么不同呢？T：第三位同学怎么又连成了两支曲线(如图3)？第四位同学怎么也连成了两支曲线(如图4)
图1
图2
图3
图4 1.4 探究“问题1”：除此之外，还有没有同学连成了其它图形？（全都拿上来。）这些不同的图形到底哪个更准确呢？ 预案1：学生沉默，T：“是不是拿不准？”预案2：学生都说自己连的图形才是正确的；对预案1或预案2老师可引导如下：我们知道对于知式作图问题，取点越多，所作的图形就越精确。要能知道正确答案，我们就只有遍取圆周上所有的点，但这非人力所能及，我们还是请电脑帮忙检验结果。（出示动画如图5）看来S
3、S4同学连成的两支曲线更全面。那么，以第
一、第二位同学为代表的其他作图结果，为什么不够全面
图5 呢？我们对比这四位同学的作图痕迹， S
1、S2在⊙F1上取点时，把所取的点都密集在⊙F1的一段弧上，不象S
3、S4同学那样在圆的四周都取了点。
预案3：学生都说第
三、第四位同学连成的图形正确。则老师可设问诱思如下：那么，以第
一、第二位同学为代表的其他作图结果，为什么不够全面呢？我们对比这四位同学的作图痕迹，S
1、S2在⊙F1上取点时，把所取的点都密集在⊙F1的一段弧上，不象S
3、S4同学那样在圆的四周都取了点。那么，S
3、S4同学的结果是否就不具有片面性？我们知道对于知式作图问题，取点越多，所作的图形就越精确。要能知道正确答案，我们就只有遍取圆周上所有的点，但这非人力所能及，我们还是请电脑帮忙检验结果。（出示动画如图5） 2
定义：
由课件显示的图形看，连成两支曲线是对的，引导学生对比两支曲线的特征，并给它们取个名称。
2.1 探究“问题2”：类比椭圆定义，用一个数量关系来刻画双曲线上动点M的属性。
2.2 探究方式：自主探究与合作交流相结合，让学生广泛参与；教师主导，营建探究氛围，引导学生思维方向，调控探究过程。
2.3 学生活动：小组合作交流，奇数排同学向后，偶数排同学不动，4～6人一组，回顾折纸全过程，从中挖掘出动点M所满足的数量关系。并展示探究成果，小组间相互补充，充分进行生生交流和师生交流。
预案1：若学生回答：设双曲线上动点为M，则|MF2|=|MF1|+r。则老师可分步问究如下：
第一问：好！说说你们是怎么得到这个结论的。
第二问：大家还有没有不同的意见？（预案：面对全班提示：差是有顺序的，是不是双曲线上所有的点到定点F2的距离比到定点F1的距离都大r?稍停：当动点M位于双曲线左支时呢？）
第三问：数学讲究简洁、和谐、统一，能将以上两位同学的结果统一成一个等量关系式吗？ 第四问：请回顾折纸全过程，在折纸活动中，还有什么位置限制吗？（预案：面对个别提示：我们已经分析了折纸第
2、
3、4，甚至第5步，得到了（1）式，还有哪步没分析？S：第一步。T：由第一步可知点F2的位置有什么限制呢？）
预案2：若学生答不出或直接答出定义，又答不出原由，则T：你提前预习的习惯很好，但数学定义光靠死记不行，要了解它的形成过程，理解定义的本质，让我们一起来解决这个问题。则可分步问究如下：
第一问：回顾折纸过程，由折纸第三步可得到动点M满足怎样的数量关系？ 第二问：回顾折纸过程，由折纸第四步可得到动点M满足怎样的数量关系？ 第三问：综合以上两步，可得到动点M满足怎样的数量关系？
第四问：折纸前，我们任取了一定点F2，它的位置特征能用一个怎样的数量关系来刻画？ 2.4 预期结论：|MF1|－|MF2|=r„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（1） r
2.5 “问题2”延伸：我们已经揭示了双曲线的内涵，下一步该轮到我们给双曲线下个定义了，谁来试一试？
（预案：学生的回答若不妥，则由全班学生评判、补充，用学生来教育学生！）
预期结论：平面内与两定点F
1、F2距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线.2.6 教师讲解：板书定义，这两个定点叫——双曲线的焦点，记作F
1、F2，两焦点的距离叫——双曲线的焦距，记作：2c，这个常数记作2a。
2.7 定义延伸1：请同学们对比双曲线定义与椭圆定义的差异。 2.8 定义延伸2：课后思考：在折纸“实验”中，我们若将定点F2取在圆周上，则动点M的轨迹是什么图形？若将定点F2取在圆内，则动点M的轨迹又是什么图形呢？科学既要异想天开又要细致入微，当我们将定点F2取在圆外时，虽然，第三第四位同学连成的都是两支曲线，但在我看来，它们仍然有细微的差别，你们能看得出来吗？（老师辅以手势，提示开口大小）S：开口程度不一样。T：我发给大家的是同样大小的白纸，在相同位置印有一个相同的圆，即具有相同的圆心和相同的半径。可是用它折出来的曲线，为什么开口程度却不一样呢（摊开双手）？作为一个思考题，留给同学们课后去研讨。 3
方程推导： 3.1 探究“问题3”：求双曲线的方程。
3.2 探究方式：自主探究，充分进行师生交流和生生交流。 3.3 学生活动：自行推导双曲线的方程。 3.4 分层问究：
第一层问究：求双曲线方程，你准备如何建系？是怎么想到这样建系的？ 学生活动：独立思考，举手枪答。
第二层问究：请同学们自行推导双曲线方程。 学生活动：独立推导双曲线方程。
第三层问究：用幻灯机展示学生推导过程，并追问其思维过程。 第一问：你对„„（3）式是怎么化简的？
第二问：为什么要平方？为什么要移项后再平方？
第三问：移项平方得：(c2－a2)x2－a2y2=(c2－a2)a2，这就是双曲线的方程，却不够简洁，有谁能帮忙作一个技术处理？ 预期结论：可令c2－a2=b2。
第四问：你是怎样想到的？为什么可以这样令？
预期结论：由双曲线的定义可知,2c>2a>0，∴c2－a2>0,可令c2－a2=b2，其中b>0。
第五问：为什么不令c2－a2=b，其中b>0呢？这是因为同椭圆一样令c2－a2=b2不但结构优美，而且还有其优美的几何意义。 预期结论：求得双曲线的两个标准方程：
（a>0,b>0）„„„„„„„„„„„„„„（4） （a>0,b>0）„„„„„„„„„„„„„„（5） 3.5 方程延伸1：双曲线标准方程的特征。它们都是两个完全平方项的差等于1的结构形式，如此简洁的形式正源于我们依据对称美来建系。
3.6 方程延伸2：同学们课后还可以比较椭圆与双曲线标准方程的异同。 4
应用
4.1 探究“问题4”：生活中哪些地方应用了双曲线？这些地方应用双曲线有什么优点？ 4.2 探究方式：作为一个研究性课题，有兴趣的同学可以查阅资料，比如利用互联网、电子图书等，体会这些地方应用双曲线有什么优点？
4.3 学生活动：课后分组合作，利用互联网、电子图书等查阅资料，并分析整理。 4.4 应用举例(多媒体显示)：
4.4.1工业生产中：这是双曲线型冷却塔；将物理的流体力学与数学完美结合。 4.4.2城市交通中：这是北京为缓解城市交通拥堵，正准备修建双曲线形通道。
4.4.3建筑艺术中：这是法国标志性的建筑，埃菲尔铁塔，每个面都是双曲线形线条，简洁而又壮阔的气势征服了全世界。
4.4.4军事战争中：据资料记载，在抗美援朝早期，我志愿军某炮兵团冒着生命危险，侦察出美军阵地，我方当机立断，火速炮击，可不久美军就会将炮弹比较准确地打到我军阵地，美军为何能这样准确呢？
原来他们在阵地旁建有如多媒体显示的A、B、C三个固定的观测站，根据听到我方阵地位置D处打炮声的时间差及声速就能确定我方位置，而不需要冒任何生命危险，大家能用已学的知识解释其中的原因吗？请分组讨论，保持上次分组的组员不变。
4.4.4.1 学生活动：请同学们分组讨论，保持上次分组的组员不变。合作交流3分钟后，展示学生探研成果，小组间相互补充，师生相互交流。
4.4.4.2 预期结论：我军阵地应在以A、B为焦点的双曲线的一支上，同理又在以B、C或以A、C为焦点的双曲线的一支上。所以这两支双曲线的交点就是我方的准确位置。 4.4.4.3 探究延伸：（爱国教育）要是有大家在场，我志愿军就不致如此被动，因为当时我志愿军战士都是工农子弟兵，没有美军士兵的文化程度高。这充分印证了 “落后就要挨打”这句名言。试想，若我国的综合国力和军事技术都是世界第一，你看美国还敢不敢来干涉我国的台湾问题！小泉还敢不敢不顾我们中国人民的感情，屡次去参拜靖国神社！ 同学们，为中华民族之崛起而努力读书吧！
