高等数学综合练习题集六

综合练习六

01A设zyf(1),若当y1时,zx,则z(

).

(A)xy1;(B)yx1;(C)

x

y1;

(D)

xy1.

01B求函数zarcsin(xy2)ln[ln(10x24y2)]的定义域.01C求下列极限:(1)

xlim(x2y2)x2y2;

(2)

xlim(

x21

1xy

y00

ya

(a0);

3

(3)

2|

y|2

(x,ylim

x)(0,0)

x4y2

;

(4)

xlim

xy2y2

y

(x2y2x.

01D证明下列极限不存在:(1)lim

xy2

x0x2y4

;

(2)x3yxy4x2y

y0

xlim

y00

xy

.

01E证明x2y2

xlim

y00

x2y2

0.

01F讨论函数u

xy

x3y3

的连续性.

02A设zf(x,y)满足2f

y2

2x,f(x,1)0,

fysinx,y0

求f(x,y).

2

2

02B设f(x,y)x2arctanyx

ffffy2arctan,求x,y,x2,

xy.02C求函数zln(xy2)的一阶和二阶偏导数.

02D2

2

设zyxln(xy),求zx

2

,zxy.02E求函数zxy

x2y2

当x2,y1,x0.01,y0.03时的全增量

和全微分.

2xy02F考察函数f(x,y)

x2y2

,x2y20在点(0,0)处可导性,



0,(x,y)(0,0)

.32.

连续性与可微性.

x3y02G设f(x,y)

xy3

x2y2

,(x,y)(0,0)0,(x,y)(0,0)(1)求fx(0,0);

(2)求fxy(0,0).

02H设f(x,y)x2y2(x2y2)3/2,x2y20,证明:f(x,y)在点(0,0)

处0,x2y20,连续且偏导数存在,但不可微分.

xy(x2y2)02I设f(x,y)

x2y2

,x2y20,求

f

0,x2y20,

x,f

y

,并证明:fxy(0,0)fyx(0,0).

xysin1x2y20

02J设f(x,y)

x2y2,,

证明f(x,y)在原点



0,x2y20

(0,0)可微.

02K某函数的全微分为:

(xay)dxydy

(xy)2

,求a值.03A通过变换x2,x2(y0)一定可以把方程

2zx2y2zy



1z

22y(y0)

化为(

).22(A)

z2z0;(B)

2zz2



2



2





2

0;

(C)

2z



2z

2z



2

z

0;

(D)



0.03B设uu(x,y)为可微分的函数,且当yx2时,有u(x,y)1及ux

x;则当yx2(x0)时,

uy

().(A)

12

;(B)12

;

(C)0;

(D)1.

.33.

03C设zx3f(xy,y)

z2z2z

x,(f具有二阶连续偏导数),求y,y2,xy

.

03D设函数f(u,v),uu(x,y),vv(x,y),xx(r,),yy(r,)均满足复合函数求偏导数之条件,求

r,

.03E设f(x,y)可微,且f(x,2x)x,fx(x,2x)x2,求fy(x,2x).03F求下列复合函数的二阶混合偏导数2z

xy(已知f具有二阶连续偏导数).

(1)zf(xy,xy);(2)zf(exsiny,x2y2).

(3)uf

(x,y)

(4)zf[x2y,(xy)]((u)二阶可导).

03G设uxy,而x(t),y(t)都是可微函数,求dudt.03H设zx2yf(x2y2,xy),其中f有连续偏导数,求zzx,y

.03Imn设u(xx0)m(yy0)n,求

u

xmyn

(m,n为正整数).

03J设zf(u,v,w)具有连续偏导数,而u,v,w,求

z,zz,

.03K试用变换xcost,将方程(1x2)d2ydx

2xdy

dx0中的自变量x换成t,求变换后所得的方程.

03L要求通过线性变换xy

xy

,将方程

A2ux22B2u2uxy2Cy2

0(,B,C)2

其中A为常数,且ACB20化简成u

0.求,的值.

03M设uf(x,xy),vg(xxy),求uv

xx

.

03N设F(x,y(x),z(x))(x,y(x))z(x)(x,y(x)),其中出现的函数是连续可微的,试计算

FdydxF

z

.03O设uf(xy,yz,tz),求

uxuuuyzt

.03P设xucosvvuvuv

,yusin,求x,x,y,y

.

04A设zz(x,y)是由方程F(xaz,ybz)0所定义的隐函数,其中F(u,v)是变量u,v的任意可微函数,a,b为常数,则必有(

).

(A)bzxaz

y1;(B)azxbz

y1;(C)b

zzxazy

1;(D)

a

xbzy1.04B设xeucosv,yeusinv,zuv,试求

zx和

z

y

.04C设uf(x,y,z),(x2,ey,z)0,ysinx,其中f,都具有一阶连续偏导数,且

z0,求du

dx

.04D设yg(x,z),而z是由方程f(xz,xy)0所确定的x,y的函数,求dz

dx

.04E设函数z(x,y)由方程F(xzz

,y)

0确定,证明

x

zxyz

y

zxy.04F设由方程F(xy,yz,zx)0确定隐函数zz(x,y),求zz

x,y

及dz.

04G设函数zz(x,y)是由方程

xyzx2y2z22

所确定的,求z在点(1,0,1)处的全微分.

04H设

{uvxy0

xuyv10

,求

ux,vuvx,y,y

.04I设方程组

uecot

vxu

etan

vy

y确定函数uu(x,y),vv(x,y),试求在点x1,y1,u0,v

4处的全微分

du和dv.

04J从方程组{xyuv1

2uv2x

y2u2v22

中求出ux,x2,x,

v

x2

.04K设

{uf(xut,yut,zut),

求

uug(x,y,z)0,

x,y

.05A函数usinxsinysinz满足xyz

(x0,y0,z0)的条件

极值是(

).

(A)1;(B)0;

(C)1/6;

(D)1/8.

05B求由方程2x2y2z22xy2x2y4z40

所确定的函数

zz(x,y)的极值.

05C求zx2y25在约束条件y1x下的极值.

05D某工厂生产两种产品,总成本函数为CQ22

12Q1Q2Q25,两种

产品的需求函数分别为Q126P1,Q210

4P2

,试问当两种产品的产量分别为多少时,该工厂获得最大利润,并求出最大利润.

05E某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告,根据统计资料,销售收入R(万元)与电台广告费用x1(万元)及报纸广告费用x2(万元)之间的关系如下经验公式：

R1514x132x28x1x22x2110x2

(1)在广告费用不限的情况下,求最优广告策略;

(2)若提供的广告费用为1.5(万元),求相应的最优广告策略.06A估计积分I100cos2xcos2y

xdy的值,则正确的是(

).

x

dy10

(A)1

2I1.04;

(B)1.04I1.96;

(C)1.96I2;(D)2I2.14.

06B设f(x,y)是有界闭区域D:x2y2a2上的连续函数,则当a0时,1a2

f(x,y)dy的极限(

).

D

(A)不存在;(B)等于f(0,0);(C)等于f(1,1);

(D)等于f(1,0).

06C判断下列积分值的大小:ji

e

(x2y2)

dxdy,i1,2,3其中

Di

D1{(x,y)|x2y2R2},D2{(x,y)|x2y22R2},D3{(x,y)|x|R,|y|R}.则J1,J2,J3之间的大小顺序为(

).

(A)J1J2J3(B)J2J3J1(C)J1J3J2

(D)J3J2J1

06D设D是有界闭区域,若f(x,y)在D上连续,

f

(x,y)d0,则

D

f(x,y)0((x,y)D)

06E设D是有界闭区域,若f(x)在D上连续,f(x,y)0((x,y)D),则

f(x,y)d0.

D

06F利用重积分的性质判断下列积分的符号:(1)I

ln

(

x2y21)

dxdy;

|x||y|

(2)I

x2y2dxdy,其中D{(x,y)x2y24}.

D

(3)I

|x(x1)dxdy.

|1|y|1

06G计算I

(21x

1De

)

ey2

dxdy,其中D:x1,y1.

06H求I

y2

dxdy,D是由xy2,

yx1,yx1所围成的区域.

D

07A将坐标系中的累次积分转换成直角坐标系中的累次积分或相反:

20

d

cos0

f(rcos,rsin)rdr(

10

).(B)(D)

10

(1)

R2

e

y2

dy

2x1

y0

e

x2

dxy2

dy

R2y20

e

xdx;

(A)(C)

dy

010

yy2

f(x,y)dx;dy

1y20x00x2

f(x,y)dx;f(x,y)dy.

1x2(2)I

21

31

dx

eydy;x

dy2y

42

10

dyf(x,y)

dy;

10

dy

(3)

).

dxsindsin

xxdy.2y

u07B设f(x,y)是连续函数,则二次积分dxf(x,y)dy(

x1

x1

(A)1dyy1f(x,y)dx22y)dx;

011

dy

y11

f(x,(B)1y10dy1f(x,y)dx;(C)12y21

0dyy11f(x,y)dx

dy

1

f(x,y)dx;

(D)

2y21

dy

1

f(x,y)dx.

07C交换下列二次积分的次序:(1)41

dy2(y4)f(x,y)dx.

04y

(2)1dy2yf(x,y)dx3dy3yf(x,y)dx.

001

(3)1d

(x,y)dy.0

(4)

2d

asin2f(r,)dr.0

(5)I

02

df(x,y)dy

2x2dx

40

2xf(x,y)dy

(6)1dy1y2f(x,y)dx.

1y

(7)

1dx

4x2f(x,y)dy

dx

4x2

f(x,y)dy.

11x2

11

07D计算下列累次积分:07E设f(x,y)在D上连续,证明:duf(t)dt

(xu)f(u)du.

00

07Fady

yem(ax)f(x)dxa证明

(ax)em(ax)f(x)dx.

08A由曲线x2y22x,x2y24x,yx,y0所围成的图形的面积

S().(A)

(2);(B)

2(2);(C)34

(2);

(D)2.

08B计算下列二重积分:(1)I

xdxdy

,其中D{(x,y)|y22x,0x2};

D

x2y2

(2)I

(1x)1cos2ydxdy,其中D是yx3,y

x5

,D

22y2

,y



2围成.(3)I



ydxdy,其中D是由曲线

b

1及x轴,y轴所围成的闭区D

域.

08C计算下列二重积分:(1)

yd,其中D是由曲线r2(1cos)的上半部分与极轴所围成的区域;

D

(2)

x2y2dxdy,其中D由yx与yx4围成;D

(3)



R2x2y2dxdy,其中D:x2y2Rx;

D

(4)



(xy)dxdy.x2y2xy

08D设D{(x,y)|x2y2x},求

xdxdy.

D

09A计算下列二重积分:(1)

0

|cos(xy)|dxdy;

x

0y

(2)|sin(xy)|d,其中D:0xy2;

D

(3)

|xy|2dxdy,其中D:0x2,2y2;D

(4)



|xy|dxdy;

|x||y|1

1(5)(|x||

y|)2

d,其中D:0x2,|y|1;

D(6)

sinxsinymax{x,y}dxdy,其中D:0x,0y.

D

09B设f(x,y){

1,0x1,0y1

0,其它,D是由x0,y0及xyt

所围区域.计算F(t)

f(x,y)dxdy.

D

09C计算I

(|x||y|)dxdy,其中D:|x||y|1.

D

10A设f(t)在[1,)上有连续的二阶导数,f(1)0,f(1)1,且二元函数z

(x2

y2)

f(x2

y2)

满足

2zx22z

y2

0,求f(t)在[1,)上的最大值.10B证明:若函数uu(x,y),满足拉普拉斯方程

2u2x2u

y2

0,则函数vu

(xy

x2y2,x2y2

)

也满足上述拉普拉斯方程.

10C设uf(r),rlnx2y2z2满足方程

2u2u2u

22x2y2z

2(xy2z)3/2,求f(x).

10D设p(x),f(x),g(x)是[a,b]上的连续函数,且在[a,b]上,p(x)0,f(x),g(x)为单调递增,试证:

ba

p(x)f(x)dx

ba

p(x)g(x)dx

ba

p(x)dx

ba

p(x)f(x)g(x)dx.

10E试证:抛物面z1x2y2上任意点处的切平面与抛物面zx2y2

所围成立体的体积是一定值.

10F设函数f(x)连续,f(0)1,令F(t)



f(x2y2)dxdy(t0),求F(0).

x2y2t2

10G设f(x,y)在区域D:0x1,0y1上有定义f(0,0)0,且在(0,0)

x2dt

t处f(x,y)可微,求0

xf(t,u)du

xlim0



4.

1e



x4

10H记D(R){(x,y)|x2y2R2},求Rlim





e(x

2y2)

dxdy.

D(R)

10I证明：

ex2

dx

.



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