第六节二阶常系数齐次线性微分方程
教学目的:使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法,了解二阶常系数非齐
次线性微分方程的解法
教学重点:二阶常系数齐次线性微分方程的解法
教学过程:
一、二阶常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性微分方程 方程
ypyqy0
称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p、q均为常数
如果y
1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么yC1y1C2y2就是它的通解
我们看看能否适当选取r 使yerx满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将yerx代入方程
ypyqy0
得
(r 2prq)erx 0
由此可见 只要r满足代数方程r2prq0 函数yerx就是微分方程的解
特征方程 方程r2prq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程 特征方程的两个根r
1、r2可用公式
r1,2
求出
特征方程的根与通解的关系
(1)特征方程有两个不相等的实根r
1、r2时 函数y1er1x、y2er2x是方程的两个线性无关的解
这是因为
函数y1er1x、y2er2x是方程的解 又
因此方程的通解为
yC1er1xC2er2x
(2)特征方程有两个相等的实根r1r2时 函数y1er1x、y2xer1x是二阶常系数齐次线性微分y1y2er1xe(r1r2)x不是常数r2xep2p24q
《二阶微分方程解法.doc》
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