数学

发布时间：2020-03-02 20:31:44 来源：范文大全收藏本文下载本文手机版

2013年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项：

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.2（1）已知集合Axx2x0，Bxx5，则 

（A）AB∅（B）ABR（C）BA（D）AB

（2）若复数z满足34iz43i

（A）4（B）44（C）4（D） 5

5（3）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是

（A）简单的随机抽样（B）按性别分层抽样

（C）按学段分层抽样（D）系统抽样

x2y2（4）已知双曲线C：221(a0,b0)的离心率为，则C的渐近线方程为 ab

2（A）y

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111x（B）yx（C） yx（D）yx 432

（5）执行右面的程序框图，如果输入的t1，3，则输出的

s属于

（A）3，4

（B）5，2

（C）4，3

（D）2，5

（6）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，

将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时

测得水深为6 cm，如不计容器的厚度，则球的体积为

500π3866π3cm（B）cm 3

31372π2048π3cm3（D）cm（C）33（A）

（7）设等差数列an的前n项和为Sn，若Sm12，Sm0，Sm13，则m

（A）3（B）4（C）5（D）6

（8）某几何体的三视图如图所示，则该几

何体的体积为

（A）168π

（B）88π

（C）1616π

（D）816π

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（9）设m为正整数，xy展开式的二项式系数的最大值为a，xy2m2m1展开式的二

项式系数的最大值为b，若13a7b，则m＝

（A）5（B）6（C）7（D）8

x2y2

（10）已知椭圆E221(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆E于ab

A、B两点。若AB的中点坐标为(1,1)，则E的方程为

x2y2x2y

21（B）1（A）45363627

x2y2x2y2

1（D）1 （C）2718189

x22x，0（11）已知函数f(x)，若f(x)ax，则a的取值范围是

ln(x1),x＞0

（A），0（B），1（C）2，1（D）2，0

（12）设△AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn，△AnBnCn的面积为Sn，n1,2,3……若b1＞c1，b1c12a1，an1an，bn1

（A）Sn为递减数列

（B）Sn为递增数列

（C）S2n1为递增数列，S2n为递减数列

（D）S2n1为递减数列，S2n为递增数列

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cnanban，cn1n，则 22

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题~第24题为选考题，考生依据要求作答。

二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.（13）已知两个单位向量a，b的夹角为60°，cta(1t)b.若bc=0，则

t=____________.

（14）若数列an的前n项和为Sn21an，则数列an的通项公式是an=____________.3

3（15）设当xθ时，函数f(x)sinx2cosx取得最大值，则cos=____________.

（16）若函数f(x)(1x2)(x2axb)的图像关于直线x2对称，则f(x)的最大值为____________.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（17）（本小题满分12分）

如图，在△ABC中，ABC＝90°，AB3，BC1，

P为△ABC内一点，BPC＝90°

（Ⅰ）若PBC1，求PA； 2P

AB（Ⅱ）若APB＝150°，求tanPBA.（18）（本小题满分12分）

如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA.1，BAA1=60°

（Ⅰ）证明AB⊥A1C;

（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，ABCB，求直

线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值。

第4页，共6页 CC1BAA1B

1（19）（本小题满分12分）

一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验.

假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为

是否为优质品相互独立.

（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；

（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望。

（20）（本小题满分12分）

已知圆M：(x1)2y21，圆N：(x1)2y29，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求AB.

（21）（本小题满分12分） 2x已知函数f(x)xaxb，g(x)e(cxd)若曲线yf(x)和曲线yg(x)都1，且各件产品

2过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y4x2.

（Ⅰ）求a，b，c，d的值；

（Ⅱ）若x－2时，f(x)kg(x)，求k的取值范围.

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请考生在第2

2、

23、24题中任选一道作答，并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.

（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，

∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于DB

（Ⅰ）证明：DBDC；

（Ⅱ）设圆的半径为1，BC3，延长CE交AB于

点F，求△BCF外接圆的半径.

（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知曲线C1的参数方程式ECAx45cost（t为参数），以坐标原点为极点，以坐标原

y55sint

点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2sin.

（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；

（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（0,02π）

（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数f(x)2x2xa，g(x)x3.

（Ⅰ）当a2时，求不等式f(x)g(x)的解集；

（Ⅱ）设a1，且当x[a1,)时，f(x)g(x)，求a的取值范围.22

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