勾股定理的证明及应用
【重点】：
学习勾股定理的文化背景，欣赏历史上经典的勾股定理证明方法，体会其蕴含的创新思维，初步运用勾股定理分析处理具体问题
【难点】：
通过图示欣赏，还原推测图示所含的证明方法
【勾股文化学习】
勾股定理是欧式平面几何的一个核心结果，是三角学的出发点，与“黄金分割”一起被开普勒称为“几何学两个宝藏”。它在‘RT△的三条边之间建立了固定关系’，使人们对原来几何学的感性认识精确化，其中体现出来的“数形统一”的思想方法，启发了人类对数学的深入思考，促成了解析几何与三角学的建立，使数学的两大门类代数和几何结合起来，许多大科学家都认为勾股定理以及处理数据的数学方法深深地影响了现在许多学科的思考模式。
千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家、画家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单又实用，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。
在西方国家，一般称勾股定理为毕达哥拉斯（前500）定理，因为人们相信是毕达哥拉斯最早提出并证明了这一定理。并且据说，他在发现这一结论时，欣喜若狂，杀牛百只以供奉神灵。因而这一定理又有了“百牛定理\"的称法。在法国和比利时这个定理被称为“驴桥定理”。在中世纪的阿拉伯国家和印度，这一定理还有一个绰号，叫“新娘图”。至于绰号由来，现代人众说纷纭，莫衷一是。
在我国以前也称这一定理为毕达哥拉斯定理。五十年代初，曾展开过关于这一定理命名的讨论。有人主张叫“商高定理”。因这一结论的在我国最早是由西周初的商高提出的。在数学著作《周髀算经》(前1世纪)一书中，记载有商高(前1120)与周公的对话，其中商高提出了“勾三股四弦五\"的说法。不过据推断，他还只是了解三边满足3：4：5关系的特例情况，普遍性的结论，由陈子(前716)提出。他说：“„„勾股各自乘，并而开方除之„„”这是普遍勾股定理在我国的最早记载。故有人主张应称为“陈子定理”。后来决定不用人名，而称为“勾股定理”。单就名称之多，勾股定理就可创下一项平面几何之最了。
今天有人戏称，勾股定理为‘宇宙大定理’，因为现在看来，世界上各民族都在差不多接近的时间内独立地发现了勾股定理及其逆定理。目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。据说我国著名数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种“语言”的。
勾股定理在每一个时代都会被当代的精英们给出新的内涵外延，从柏拉图寻求不定方程通解到费马大定理，到今天的分形勾股树(如右上两图)，每每读到这些智慧的创造都会让人神往。
„„
【勾股定理的证明】
观察下列图形，推测勾股定理的证明方法
1、下图是《几何原本》（公元前4世纪前后）中提供的一种证明方法，过A作AH⊥BC于H延长交FK于G．
可证明：
证明思路很多，较简捷的是过F作FP⊥AB于P
易证△FPB≌△CBA进而可知
而
2、下图最早是由我国三国时期数学家赵爽（东汉末至三国东吴人）提出的一种证法．
该图叫弦图，由图示可知
．
3、下图最早是由我国三国时魏国的数学家刘徽（公元三世纪）为注释《九章算术》时提出的一种证法“青朱入出图”， 由图示．
边长为a、b的两个正方形，如图示裁割．
M补入 处，N补入处，Q补入
处
4、下图最早是由古代印度数学家婆什迦罗提出的一种证法．
图示的裁割线索很清晰，你试试给出解释．
„„
【勾股定理的应用】
1、已知在△ABC中，a，b，c分别是∠A、∠B，∠C的对边，且a=3，b=4，且b 错解：由勾股定理可得
分析：上面的解法受“勾
三、股
四、弦五”的影响，没有认真审题，错在没有注意到题目中的三角形是否为直角三角形。
正解：，又
，∴
，即4
评述：运用勾股定理解决问题时，必须是在直角三角形的条件下，不可不加分析就用勾股定理来进行计算。
2、已知：三角形两边的长分别是5和12，如果这个三角形是直角三角形，则其第三边长为_____
，∴ x=13
错解：设第三边长为x，则由勾股定理可得：
分析：由于此题中己知直角三角形的两边长，但没有明确这两条边是直角边还是斜边，故需要分情况讨论
正解：当x为斜边时，x=13；当x为直角边时，
故第三边长为13或
。
评述：在运用勾股定理进行计算时，一定明确哪条是直角边，哪条是斜边，以防止运用不当。
3、利用勾股定理求线段长的简单应用
(1) 在Rt△ABC中，∠C=90°，①若a=7，b=24，则c=________；②若a=5，c=13，则b=________；
③若b=15，c=25，则a=________
(2) 等腰直角三角形的斜边长为
，则此直角三角形的腰长为________________
(3) 在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，则斜边AB=________________，斜边AB上的高线长
为________________。(与面积的结合)
(4) 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且c+a=9，c-a=4，则b=________。
(5) 如果一个直角三角形有一条直角边长为11，另两条边长为自然数，则这个直角三角形的周长是___
解析：（1）①
（2）2 ②
③
（3）AB=10,
（4）
（5）设斜边长为c，另一直角边为a，则
∵ c、a为自然数
∴
∴ 周长为132
4、勾股定理在几何中的应用。
己知：△ABC中AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，且AD⊥AC，求BD的长。
解：过A作AE⊥BC于E。
∵ AB=AC，∴
在Rt△ABE中，AB=20，BE=16，
∴
∴ AE=12
故在Rt△ADE中，设DE=x，则
∵ AD⊥AC于A，
∴
解得 ，即
，
∴ BD=BE-DE=16-9=7
评述：勾股定理是解决直线形中线段计算问题的常用方法，题目中含有直角三角形别忘记使用，题目中没有给出直角三角形可以考虑作垂线构建直角三角形。
5、利用勾股定理解决实际问题
(1)平面上有A、B两点处有甲、乙两只蚂蚁，它们都发现C处有食物，已知点C在A的东南方向，在B的西南方向。甲、乙两只蚂蚁同时从A、B两地出发爬向C处，速度都是30cm／min。结果甲蚂蚁用了2 min，乙蚂蚁2分40秒到达C处分享食物，试问两只蚂蚁原来所处地点相距多远?
解析：首先结合题设画出图形，C在A东南，则A在C西北；C在B西南，则B在C东北
∴ 可知∠ACB=90°，依题设AC=60cm，BC=80cm
∴ AB=100cm
(2)如图A、B为两个村庄，AB、BC、CD为公路，BD为田地，AD为河宽，且CD与AD互相垂直。现要从点E处开设通往村庄A、村庄B的一条电缆，现在共有两种铺设方案：方案一：E→D→A→B；方案二：E→C→B→A。经测量得千米，BC=10千米，∠BDC=45°，∠ABD=15°。已知：地下电缆的修建费为2万元／千米，水下电缆的修建费为4万元／千米。
求：1)河宽AD(结果保留根号)；
2)公路CD的长：
3)哪种方案铺设电缆的费用低?请说明理由。
解析：过B作BF⊥AD交DA延长线于F
在Rt△ABF中可知∠BAF=60°，AB
∴ BF=6，
在Rt△BFD中，知∠BDF=45°
∴ DF=BF=6
∴
过B作BG⊥CD于G，则BG=6，BC=10，有CG=8
∴ DC=CG+DG=14
设CE=x，则方案
一、二费用分别为
由
∴ 当
当0＜CE＜
当CE=
6、画出长为的线段 ，可作图 可解得
，
＜CE＜14时，方案一较省
时，方案二较省 时，方案
一、二均可．
解析：考虑到
线段AB为所求
考虑到，可作图
线段CD为所求
