推荐第1篇：离散数学试卷
诚信应考,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试 《离散数学》试卷A 注意事项：1.考前请将密封线内填写清楚；2.所有答案请直接答在试卷上；3．考试形式：闭卷；4.本试卷共五大题，满分100分， 考试时间120分钟
一、填空题(本大题共12小题，每小题2分，共24分) 1．求合式公式xP(x)→xQ(x,y)的前束范式________________。 2．设集合A={a, b, {a,b}, }, B = {{a,b}, }，求B-A=_____________． 3．设p与q的真值为0,r,s的真值为1则命题(s(q(rp)))(rp)的真值是__________.4．设R是在正整数集合Z上如下定义的二元关系Rx,y(x,yZ)(xy1，0) 则它一共有个有序对，且有自反性、对称性、传递性、反自反性和反对称性各性质中的性质。 5．公式x(P(x)→Q(x,y))→S(x)中的自由变元为________________，约束变元为________________。 6．设有命题T(x): x 是火车，C(x): x是汽车，Q(x, y): x跑得比y快，那么命题“有的汽车比一些火车跑得快”的逻辑表达式是______________________.7．设G是n阶m条边的无向图，若G连通且m=__________则G是无向树.8．设X={1，2，3}，f：X→X，g：X→X，f={,,},g={,,}，则f-1g=________________，gf=________________。9.不能再分解的命题称为________________，至少包含一个联结词的命题称为《离散数学》试卷A
________________．
10.连通无向图G含有欧拉回路的充分必要条件是 11．设集合A={,{a}}，则A的幂集P(A ，|P(A)|=_____________________________。
12.设G = , G’ = 为两个图(同为无向图或有向图), 若E’ E且_______________, 则称G’是G的子图, 若E’ E且_______________, 则称G’是G的生成子图。
二、单选题 (本大题共12小题，每小题2分，共26分)
1．下列命题公式为重言式的是（）
A.(p∨┐p)→q．B．p→ (p∨q)C．q∧┐qD．( p→p)→q
2．下列语句中为命题的是( )
A．你好吗？
B．人有6指.C．我所说的是假的.
D．明天是晴天.
3.设D=为有向图，V={a, b, c, d, e, f}, E={, , , ,}是（）
A．强连通图
C．弱连通图 B．单向连通图 D．不连通图
4．集合A＝{a，b，c}上的下列关系矩阵中符合偏序关系条件的是()
10
1011A．
001
11001011011110 B．010C．110D．010 11010010111
5．设A={1，2，3}，A上二元关系S={，，，}，则S是（）
A．自反关系 B．传递关系C．对称关系D． 反自反关系
6.设A={a,b,c,d}，A上的等价关系R={, , , }∪IA，则对应于R的A的划分是（）
A．{{a},{b, c},{d}}
C．{{a},{b},{c},{d}} B．{{a, b},{c}, {d}} D．{{a, b}, {c,d}}
7.以下非负整数列可简单图化为一个欧拉图的是()
A.{2, 2, 2, 2, 0}B.{4, 2, 6, 2, 2}
C.{2, 2, 3, 4, 1}D.{4, 2, 2, 4, 2}
8.设论域D＝{a，b }，与公式xA(x)等价的命题公式是( )
A．A(a)∧A(b)B．A(a)→A(b)C．A(a)∨A(b)D．A(b)→A(a)
9.一棵树有3个4度顶点，4个2度顶点其余都是树叶，求这棵树有多少个树叶顶点()
A.12B.8C.10D.1
310.有ABC三个人猜测甲乙丙三个球队中的冠军.各人的猜测如下:
A: 冠军不是甲,也不是乙.B: 冠军不是甲,而是丙.C: 冠军不是丙,而是甲.已知其中有一个人说的完全正确.一个人说的都不对,而另外一人恰有一半说对了.据此推算,冠军应该是()
A．甲B.乙C.丙D.不确定
11．如第11题图所示各图，其中存在哈密顿回路的图是 ()
12．设C(x): x是国家级运动员，G(x): x是健壮的，则命题“没有一个国家级运动员不是健壮的”可符号化为 ()
(A)x(C(x)G(x))(B)x(C(x)G(x))
(C)x(C(x)G(x))(D)x(C(x)G(x))
三．计算题(30分)
1．用等值演算法求取求下列公式：(PQ)(P∨Q)的合取范式（5分）
2．图G如下图所示，求图G的最小生成树.（5分）
3．有向图D如图所示，求D的关联矩阵M(D) （5分）
4.化简表达式(((A(BC))
A)(B(BA)))(CA)（7分）
5．设R={，，，，，}，求r(R)和s(R)，并作出它们及R的关系图(8分)
五．证明题(22分)
1．构造下面推理的证明(5分)
前提：pq，pr，st ，sr，t
结论：q
2．设A={1, 2, 3, 4}, 在AA定义的二元关系R，
u,v,x,yAA, uRxuy +xv
证明R是AA上的等价关系。(5分)
3．已知A、B、C是三个集合，证明A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C) （6分）
4． 无向图G = ，且|V|=n, |E|=m, 试证明以下两个命题是等价命题
1）G中每对顶点间具有唯一的通路，
2）G连通且n=m+1。（6分）
推荐第2篇：离散数学试题
中央电大离散数学试题
月
一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）
1．若集合A={1，{2}，{1，2}}，则下列表述正确的是()．
A．2AB．{1}A
C．1AD．2 A
2．已知一棵无向树T中有8个顶点，4度、3度、2度的分支点各一个，T的树叶数为
()．
A．6B．4C．3D．
53．设无向图G的邻接矩阵为
0111110011100001100111010
则G的边数为()．
A．1B．7C．6D．14 4．设集合A={a}，则A的幂集为()．
A．{{a}}B．{a，{a}}
C．{，{a}}D．{，a}
5．下列公式中 ()为永真式．
A．AB ABB．AB (AB)
C．AB ABD．AB (AB)
二、填空题（每小题3分，本题共15分）
6．命题公式PP的真值是
7．若无向树T有5个结点，则T的边数为．
8．设正则m叉树的树叶数为t，分支数为i，则(m-1)i
9．设集合A={1，2}上的关系R＝{,}，则在R中仅需加一个元素，就可使新得到的关系为对称的．
10．(x)(A(x)→B(x，z)∨C(y))中的自由变元有．
三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）
11．将语句“今天上课．”翻译成命题公式．
12．将语句“他去操场锻炼，仅当他有时间．”翻译成命题公式．
四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）
判断下列各题正误，并说明理由．
13．设集合A={1，2}，B={3，4}，从A到B的关系为f={}，则f是A到B的函数．
14．设G是一个有4个结点10条边的连通图，则G为平面图．
五．计算题（每小题12分，本题共36分）
15．试求出（P∨Q）→（R∨Q）的析取范式．
16．设A={{1}, 1, 2}，B={ 1, {2}}，试计算
（1）（A∩B）（2）（A∪B）（3）A （A∩B）．
17．图G=，其中V={ a, b, c, d }，E={ (a, b), (a, c) , (a, d), (b, c), (b, d), (c, d)}，对应边的权值依次为
1、
2、
3、
1、4及5，试
（1）画出G的图形；
（2）写出G的邻接矩阵；
（3）求出G权最小的生成树及其权值．
六、证明题（本题共8分）
18．试证明：若R与S是集合A上的自反关系，则R∩S也是集合A上的自反关系．
中央电大2010年7月离散数学
试题解答
(供参考)
一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）
1．B2．D3．B4．C5．B
二、填空题（每小题3分，本题共15分）
6．假（或F，或0）
7．
48．t-
19．
10．z，y
三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）
11．设P：今天上课，（2分）则命题公式为：P．（6分）
12．设 P：他去操场锻炼，Q：他有时间，（2分）则命题公式为：P Q．（6分）
四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）
13．错误．（3分） 因为A中元素2没有B中元素与之对应，故f不是A到B的函数．（7分）
14．错误．（3分） 不满足“设G是一个有v个结点e条边的连通简单平面图，若v≥3，则e≤3v-6．”（7分）
五．计算题（每小题12分，本题共36分）
15．（P∨Q）→（R∨Q） ┐(P∨Q)∨（R∨Q）（4分）
(┐P∧┐Q)∨（R∨Q）（8分）
(┐P∧┐Q)∨R∨Q（析取范式）（12分）
16．（1）（A∩B）={1}（4分）
（2）（A∪B）={1, 2, {1}, {2}}（8分）
（3） A（A∩B）={{1}, 1, 2}（12分）
17．（1）G的图形表示如图一所示：
3 ad1
5b c（3分） 图一
（2）邻接矩阵：
01101111（6分） 1101
1110
（3）最小的生成树如图二中的粗线所示：
a 3d
1 5
b图二1c
权为：1+1+3=5
六、证明题（本题共8分）
18．证明：设xA，因为R自反，所以x R x，即R；
又因为S自反，所以x R x，即S．即R∩S故R∩S自反．
10分） 12分） （4分） （6分） （8分）（ （
推荐第3篇：离散 2
集合
一、知识点（建议看书）
1、集合（类、族、搜集）的定义：能作为整体论述的事物的整体。
元素（成员）：组成集合的每个事物。
基数（势）：有限集合的元素个数，记为A
2、集合的表示方法：①列举法A={1，2，3}、②描述法A={a|aI0a5}、③归纳定义法。
3、区别{A}与A、{空集}与空集。
4、集合间的包含关系。（P55-P56）
5、并、交和差运算的定义及运算律。（P59-P60）
6、补运算定义、性质。德-摩根定律。（P61-P62）
7、并和交运算的扩展。（P63）
8、环和（对称差）与环积的定义、性质。（P64）
9、幂集合：A是一集合，A的幂集合p(A)，是A的所有子集的集合。
n个元素的集合A，其幂集的元素个数是2n。
10、集合的归纳定义：（1）基础条款；（2）归纳条款；（3）极小性条款。
归纳证明的步骤：（1）基础步骤；（2）归纳步骤。
数学归纳法第一原理（P74）；数学归纳法第二原理（P76）
11、自然数的归纳定义。（P72）
12、二重组（序偶）：两个元素a
1、a2组成的序列记作。a
1、a2分别称为二重组的第一分量和第二分量。
=当且仅当a=c,b=d;。
n重组的定义（P84）
13、叉积（笛卡尔乘积）的定义、运算律。（P84）
二、练习题
1、列出下列每一集合的元素和全部子集。（知识点4）
{a,b,c}、{a,{b,c}}、{{a,{b,c}}}
2、证明下列各式。
（a）(AB)BAB
（b）C(AB)(CA)(CB)
（c）A(AB)AB
3、证明如果CA且CB，那么CAB（也就是AB是包含在A和B中的最大集合）
4、设A、B、C和D是任意集合，试证明：
(AB)(CD)(AC)(BD)
5、设A={0,1}，构成集合p(A)A。
推荐第4篇：离散心得体会
离散数学心得体会
在学习离散数学之前，就听学过的学长学姐说：“离散数学特别难，老师上课用Ppt，一学期下来感觉会像天书一般被逻辑推理、各种关系公式以及图论彻底弄糊涂，但是这门课有特别重要尤其是对于计算机专业，所以要好好学习。”对于刚刚学过难懂的高数的我，心中很是没有底气学习这门学科，但是在这学期对于离散数学的学习之后，感觉与学长学姐所说的还是有相当大的差异。
离散数学本身对绝大多数学生来说是一门十分困难的课程，这个不可否认，但是通过这一学期的学习，我对这门课程有一些初步的了解，现在的心情和当初也很不相同。对于所有的学科而言都不会是很容易就能够很轻松的学懂并掌握，因此难于不难也是因人而异的。这其中很大一部分决定性原因则是在于对于一门学科的努力程度与投入时间的相对比例，在离散数学中概念绝对性的多，也非常的抽象难以理解，所以不经过多次反复的练习与巩固知识点，想在短时间内有飞速的提高是比非常还困难的。我认为离散数学的学习就应该按照预习听课复习并多次回顾的流程学习的基础上面，掌握一定的学习技巧和认真听取老师讲解时总结的方法，这样脚踏实地，离散数学也一定会学好，这门对记忆力、理解力和能力高度挑战的学科也自然会被更多的人喜爱。
通过这学期的学习，我对于离散数学的几点小总结是，离散数学一定要带着问题进行概念的学习和理解，这就有别于其他学科可以不预习直接听课，也会达到一定的学习效果，但是离散数学其中的概念如果不事先进行预习熟悉，直接上课听讲，一定会被弄的晕头转向，犹如老虎吃天无从下口，自然不会达到认真听讲的作用，所以预习是必不可少的对于离散数学；就像数理逻辑这部分的抽象知识一样，如果仅仅是上课听一下老师的讲解，然后置之不理，所学的知识点没有几天就会全部还给课本，这主要在于我们没有掌握离散数学中一些概念定理的实质，因此我们应该在听课的同时反复斟酌课本中的例子，再结合概念定理进行理解，这样才会做到知识的深入理解和较长期的记忆；离散数学学习中也一定要积极思考问题，尤其是在老师停下课程，让大家进行思考或者做练习时，这不仅说明这个知识点需要做更进一步的理解或者这个知识点的重要性，而更重要的是要锻炼培养我们的课堂思维能力，因此我们一定要认真仔细的跟着老师的引导积极思考；温故而知新，最后一定要有条理的进行定期总结回顾，这样不仅可以复习前面学习过可能忘记的知识点，还可以做到新旧知识点的融合，能够加深对于前面遗留问题的解决且为新知识的理解铺路；另一方面，我觉的我们学生必须掌握离散数学这门课程的重点和难点，一门课程肯定有其重难点，只有明确了重难点，我们才能更好的掌握该门课程。这仅仅是我一学期以来学习离散数学的几个属于自己的小总结，但是我认为在业精于勤荒于嬉是永远的真谛的同时，我们更应该加强现在学科方法的总结与思考里的锻炼。
我认为对于离散数学的学时确实有点少，高数课程一周要学习三节课，然而学习难度更胜一筹的离散数学却一周仅有两节课，大量的新知识点在有限的时间内全部抛出，让本来就对离散数学感觉恐慌的同学更加无法接受，自然学习的效果会有所降低，教学的目的在一定程度上面也不会达到。总之，这样相对较少的学时安排繁重的教与学的任务，不仅使老师增加授课压力，也使大多数同学们感觉学习离散数学的挑战性更大，也更加害怕学习，但是离散数学作为一门很重要的学科，如果学习不好，会对以后其他学科的学习造成一些隐性的阻碍。
对于我们的教材选用，我认为还是非常的好，但有点小问题就是例题太少，这也可能会减少授课时的学时，但对于部分难理解的章节，还是希望有更多的例题作为大家学习的引导，这样对于大家的课前预习与下课后的自主学习可能会好点，然后结合后面的作业题，大家反复练习可能会更容易理解与学习。
张老师手写板书为主、电子教案为辅的教学方式非常适用于离散数学这门课。在上了这学期的课之后，再重新与学长学姐的话进行对比，我认为像离散数学这门概念既多又抽象的学科，采取这种的教学方式，大家都更加容易理解知识点，能够更的上老师的讲课节奏、有思考的时间，更容易让大家产生学习兴趣。离散数学是我们计算机学科的一门很重要的专业基础课程,它在计算机科学中有着广泛的应用。面对学习离散数学概念较多，理论性强，定义、定理比较多,一时难以理解和记忆,不过张老师总能用容易能使学生接受的定义方式,对不同的定义、定理找出它们之间的相互联系，便于我们理解。兴趣是学习之母,学习任何一门科学,都需要有兴趣。有了兴趣,自然也就有了动力。张老师的教学，让我们在学习的同时也培养了我们的学习兴趣，有利于我们更好的理解概念定理。另外，离散数学概念繁杂，学起来难免有些枯燥，张老师也适当穿插介绍一些知识点在计算机学科专业中的应用,具有非常大的启发性。可以让我们了解离散数学的实际应用，增加学习兴趣。学习好一门课要老师和学生的配合，老师可以多多了解我们的学习状况，多多互动，活跃课堂气氛，有利于我们更好的相关知识定理。总之，学好离散数学课要双方的努力，更要双方的配合。张老师这次让全班同学都写建议，就是一个很好的互动，相信以后学习离散数学课的同学们会感觉到更加精彩的离散数学教学方式。
在这学期学习了离散数学这门课程，对于一个爱好数学的我来说，我是非常受益的。同时，离散数学作为一门与计算机学科相关的专业基础课，对我学专业知识也有很大的帮助。学习离散数学，可以培养我们的逻辑思维方式，对于我们学习计算机方向的学生来说是非常有用的。尤其是在计算机编程方面对逻辑思维就有一定的要求。离散数学这门课程，是一门比较难学的课程，它有太多的概念、定义，需要我们有很好的记忆力，但是要完全记住这么多的概念、定义是非常困难的。所以说我们在有好的记忆力之外，还要运用理解记忆的方法来解决，这样我们就不必花费过多的时间和精力去记忆这么多的概念和定义了。离散数学作为一门理科学科，在我看来最好的学习方法就是多动手、多做题，在做题得过程中，慢慢积累做题得经验，同时也可以对概念和定义有一个更深层次的理解。学习各个学科都有其各自的学习方法与思维方式，只有运用对了学习方法才能更好的学习这门课程。学习一门课程都是为了解决实际问题，学习离散数学也不例外。学通了一门课程才能在解决问题的时候不会走弯路。离散数学是一门比较难学的课程，在学习的过程中，也肯定会遇到许多的问题，但是通过反复的理解概念及做练习题和与其他同学的交流，最后还是会解决这些问题。学习离散数学的过程中，也有许多的乐趣。但在轻松学习的过程中，还得从中学到东西，学到道理。我在学习这门课程之后，对我的专业知识方面有了很大的帮助，让我的思维有了进一步的发散，使我在其他的学科中受益匪浅。
总之，通过这学期张老师讲解的离散数学课程，使我思考抽象问题的思维方式又得到了锻炼，能力有所提高，而且为以后专业课程的学习打下了良好的基础，最后非常感谢张老师这一学期的辛勤教学。
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首先要明确的是，由于《离散数学》是一门数学课，且是由几个数学分支综合在一起的，内容繁多，非常抽象，因此即使是数学系的学生学起来都会倍感困难，对计算科学专业的学生来说就更是如此。大家普遍反映这是大学四年最难学的一门课之一。但鉴于《离散数学》在计算科学中的重要性，这是一门必须牢牢掌握的课程。既 然如此，在学习《离散数学》时，大家最应该牢记的是唐诗“熟读唐诗三百首，不会做诗也会吟。”学习过程是一个扎扎实实积累的过程，不能打马虎眼。离散数学是理论性较强的学科，学习离散数学的关键是对离散数学(集合论、数理逻辑和图论)有关基本概念的准确掌握，对基本原理及基本运算的运用，并要多做练习。
《离散数学》的特点是：
1、知识点集中，概念和定理多：《离散数学》是建立在大量概念之上的逻辑推理学科，概念的理解是我们学习这门学科的核心。不管哪本离散数学教材，都会在每一章节列出若干定义和定理，接着就是这些定义定理的直接应用。掌握、理解和运用这些概念和定理是学好这门课的关键。要特别注意概念之间的联系，而描述这些联系的则是定理和性质。
2、方法性强：离散数学的特点是抽象思维能力的要求较高。通过对它的学习，能大大提高我们本身的逻辑推理能力、抽象思维能力和形式化思维能力，从而今后在学习任何一门计算机科学的专业主干课程时，都不会遇上任何思维理解上的困难。《离散数学》的证明题多，不同的题型会需要不同的证明方法（如直接证明法、反证法、归纳法、构造性证明法），同一个题也可能有几种方法。但是《离散数学》证明 题的方法性是很强的，如果知道一道题用什么方法讲明，则很容易可以证出来，否则就会事倍功半。因此在平时的学习中，要勤于思考，对于同一个问题，尽可能多探讨几种证明方法，从而学会熟练运用这些证明方法。同时要善于总结，
在学习《离 散数学》的过程，对概念的理解是学习的重中之重。一般来说，由于这些概念（定义）非常抽象（学习《线性代数》时会有这样的经历），初学者往往不能在脑海中建立起它们与现实世界中客观事物的联系。这往往是《离散数学》学习过程中初学者要面临的第一个困难，他们觉得不容易进入学习的状态。因此一开始必须准确、全面、完整地记住并理解所有的定义和定理。具体做法是在进行完一章的学习后，用专门的时间对该章包括的定义与定理实施强记。只有这样才可能本课程的抽象能够适应，并为后续学习打下良好的基础。
学数学就要做数学，《离散数学》的学习也不例外。学习数学不仅限于学习数学知识，更重要的还在于学习数学思维方法。要做到这一点，学习者将要面临的第二个困难是需要花费大量的时间做课后习题。但是切记离散数学的题目数量自然是无穷无尽的，但题目的种类却很有限。尤其是在命题证明的过程中，最重要的是要掌握证明的思路和方法。解离散数学的题，方法是非常重要的，如果拿到一道题，立即能够看出它所属的类型及关联的知 识点，就不难选用正确的方法将其解决，反之则事倍功半。例如在命题逻辑部分，无非是这么几种题目：将自然语言表述的命题符号化，等价命题的相互转化（包括化为主合取范式与主析取范式），以给出的若干命题为前提进行推理和证明。相应的对策也马上就可以提出来。以推理题为例，主要是利用P、T规则，加上蕴涵和等价公式表，由给定的前提出发进行推演，或根据题目特点采用真值表法、CP规则和反证法。由此可见，在平常学习中，要善于总结和归纳，仔细体会题目类型和此类题目的解题套路。如此多作练习，则即使遇到比较陌生的题也可以较快地领悟其本质，从而轻松解出。
因此，只要肯下功夫，人人都能有扎实的基础，拥有足够的数学知识，特别是能大大提高本身的逻辑推理能力、抽象思维能力和形式化思维能力，从而今后在学习任何一门计算机科学的专业主干课程时，都不会遇上任何思维理解上的困难。
如何学好离散数学
离散数学是现代数学的一个重要分支，是计算机科学中基础理论的核心课程。离散数学以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标，其研究对象一般地是有限个或可数个元素，因此他充分描述了计算机科学离散性的特点。由于离散数学在计算机科学中的重要性，因此，许多大学都把它作为研究生入学考试的专业课程中的一门，或者是一门中的一部分。
作为计算机系的一门课程，离散数学有与其它课程相通相似的部分，当然也有它自身的特点，现在我们就它作为考试内容时具有的特点作一个简要的分析。
1、定义和定理多。
离散数学是建立在大量定义上面的逻辑推理学科。因而对概念的理解是我们学习这门学科的核心。在这些概念的基础上，特别要注意概念之间的联系，而描述这些联系的实体则是大量的定理和性质。
在考试中的一部分内容就是考察大家对定义和定理的识记、理解和运用。如2002年上海交通大学的试题，问什么是相容关系。如果知道的话，很容易得分；如果不清楚，那么无论如何也得不到分数的。这类型题目往往因其难度低而在复习中被忽视。实际上这是一种相当错误的认识，在研究生入学考试的专业课试题中，经常出现直接考查对某知识点的识记的题目。对于这种题目，考生应该能够准确、全面、完整地再现此知识点。任何的模糊和遗漏，都会造成极为可惜的失分。我们建议读者，在复习的时候，对重要知识的记忆，务必以上面提到的“准确、全面、完整”为标准来要求自己，不能达到，就说明还不过关，还要下工夫。关于这一点，在后续章节中我们仍然会强调，使之贯穿于整个离散数学的复习过程中。
离散数学的定义主要分布在集合论的关系和函数部分，还有代数系统的群、环、域、格和布尔代数中。一定要很好地识记和理解。
2、方法性强。
离散数学的证明题中，方法性是非常强的，如果知道一道题用怎样的方法证明，很轻易就可以证出来，反之则事倍功半。所以在平常复习中，要善于总结，那么遇到比较陌生的题也可以游刃有余了。在本书中，我们为读者总结了不少解题方法。读者首先应该熟悉并且会用这些方法。同时我们还鼓励读者勤于思考，对于一道题，尽可能地多探讨几种解法。
3、有穷性。
由于离散数学较为“呆板”，出新题比较困难，不管什么考试，许多题目是陈题，或者稍作变化的来的。“熟读唐诗三百首，不会做诗也会吟。”如果拿到一本习题集，从头到尾做过，甚至背会的话。那么，在考场上就会发现绝大多数题见过或似曾相识。这时，要取得较好的成绩也就不是太难的事情了。
本书是专门针对研究生入学考试而编写的，适合于读者对研究生入学考试的复习。如果还有时间的话，我们可以推荐两本习题集。一本是左孝凌老师等编写的《离散数学理论、分析、题解》，另一套有三本，是耿素云老师等编写的《离散数学习题集》。这两套书大多数题都是相同的，只是由于某些符号和定义的不同，使得题目的设定和解法有些不同而已。
现在我们就分析一下研究生入学考试有哪些题型，以及我们应如何应付。
1、基础题
基础题就是考察对定义的识记，以及简单的证明和推理。题目主要集中在数理逻辑部分和集合论部分。这些题目不需要思考，很容易上手。
这一部分的题目主要问题是要防止粗心大意和对定义记忆似是而非而丢的分数。不重视这一点的人将会在考试中吃大亏。如在主合取范式中，极大项编码对应的指派与真值表对应的指派相反，这一点在许多的参考书里也会犯错误；还有是要防止没有按照一定的方法而引起的错误，如我们在数理逻辑或者集合论里作等价推演，可以省略若干不重要的步骤，只要老师和考生都清楚就可以了，而在推理理论里则不能省略任何步骤，否则被认为是逻辑错误。
我们在学习中，还要注意融会贯通，例如，数理逻辑和集合论是相通的，因此记忆或者总结方法的时候可以综合起来，这样便于比较和理解。
2、定理应用题
本部分是最“死”的一部分，它主要体现了离散数学的方法性强的特点。并且这一部分占了考试内容的大部分，我们必须在这一部分下功夫，记住了各种方法，也就拿到了离散数学的大部分分数。
下面我们就列出常用的几种应用：
●证明等价关系：即要证明关系有自反、对称、传递的性质。
●证明偏序关系：即要证明关系有自反、反对称、传递的性质。（特殊关系的证明就列出来两种，要证明剩下的几种只需要结合定义来进行）。
X，使得f(x)=y。Y，都有xY，即要证明对于任意的y●证明满射：函数f：X X，且x1≠x2，则f(x1)Y，即要证明对于任意的x
1、x2●证明入射：函数f：X ≠f(x2)；或者对于任意的f(x1)=f(x2)，则有x1=x2。
●证明集合等势：即证明两个集合中存在双射。有三种情况：第
一、证明两个具体的集合等势，用构造法，或者直接构造一个双射，或者构造两个集合相互间的入射；第
二、已知某个集合的基数，如果为א，就设它和R之间存在双射f，然后通过f的性质推出另外的双射，因此等势；如果为א0，则设和N之间存在双射；第
三、已知两个集合等势，然后再证明另外的两个集合等势，这时，先设已知的两个集合存在双射，然后根据剩下题设条件证明要证的两个集合存在双射。 ●证明群：即要证明代数系统封闭、可结合、有幺元和逆元。（同样，这一部分能够作为证明题的概念更多，要结合定义把它们全部搞透彻）。
●证明子群：虽然子群的证明定理有两个，但如果考证明子群的话，通常是第二个定理，即设S,则是群，S是G的非空子集，如果对于S中的任意元素a和b有a*b-1是的子群。对于有限子群，则可考虑第一个定理。
●证明正规子群：若H，有a-1G，有aH=Ha，或者对于任意的h是一个子群，H是G的一个子集，即要证明对于任意的a H。这是最常见的题目中所使用的方法。*h*a
●证明格和子格：子格没有条件，因此和证明格一样，证明集合中任意两个元素的最大元和最小元都在集合中。
图论虽然方法性没有前几部分的强，但是也有一定的方法，如最长路径法、构造法等等。
3、难题
难题就是考试中比较难以下手，大多考生作不出来，用来拉开分数档次的题。那么，遇到难题我们怎么下手分析呢？
难题主要有以下四种，我们来逐一进行分析：
①综合题
综合题就是内容涵盖若干章的问题，这样的题大多数是在群论里面的陪集、拉格朗日定理、正规子群、商群这一部分中。这一部分结合的内容很多，而且既复杂又难理解，是整个离散数学中的难点。
首先拉格朗日定理把群和等价关系、划分结合在一起，又与群的阶数相挂钩（在子群中有一部分阶方面的题是比较难的题，它的解法依据就在此处）；然后商群将两个群结合在一起，因为两个群的元素是不同的，因此必须时刻概念清楚才不至于混乱；接着同余关系把群和关系相结合，定义了一种新的关系；自然同态把正规子群和商群相联系，也成为某些证明题的着眼处；核的定义和群同态定理给出了正规子群的另一种证明方法，因为核就是正规子群……
当然，综合题不仅此一处，离散数学是一个融会贯通的学科，像集合论，图论等都可能成为综合题的命题点。
对于综合题，我们可以从两方面下手，首先不管题设如何，看所要证明的问题，按照定理应用的题型着眼，设出所需要的格式，然后进行进一步推演；其次可以先看题设，应用已知条件的性质定理向前推几步，看看哪一个性质更能够接近所问，题目也就迎刃而解了。
②例外题
例外题有两个含义，首先是对于定理应用题而言的，对于一个概念的判定定理和性质定理不是唯一的，而定理应用题是给出的是最常出题的定理，因此有的考题可能考出一个不常用的定理。
其次例外题还有一种题型是与我们平常思维相悖的问题，如：有一些题目给出一个结论，说如果它正确的话请指出来，错误的话则请证明，凭做题经验通常是要选择证明的那条思路。其实也不妨用一些时间看看能不能指出来，从而不用证明。请看下面的例子：
③ 偏题
常常有的参考书会说某某章是非重点，不会考到之类的话，这是非常错误和有害的。其结果是令这些章成为读者复习中的盲点，成为难题的又一种。这些章通常概念少，定理不多，因此题目本身不难。但由于没有好好复习或者根本没有复习，考试中又出了题目，故此拿不到分数则是非常令人懊丧的。所以我们建议读者进行全面复习，除非是所报考院校明确说明不考的部分，其余内容一律要认真复习。即使是复习时间比较少，也必须做到至少是了解了基本概念和定义。对于离散数学而言，函数一章中的基数部分和格和布尔代数一章是人们容易忽略的问题。
我们平时复习的时候，不管是什么课程，一定不能留死角，而这些地方出的题目由于它的本身内容的局限性，又往往是非常简单的。丢了十分可惜。
④ 错题
专业课的题目是由较少老师出的，并不像基础课那样经过多方面的论证，因此出错题也不奇怪（虽然非常非常之少），如果我们遇到了一道题目，经过我们判断和推演得到相悖的答案，不要过分迷信题目的权威性，因为它可能是错题。
下面讲一下离散证明题的证明方法：
1、直接证明法
直接证明法是最常见的一种证明的方法，它通常用作证明某一类东西具有相同的性质，或者符合某一些性质必定是某一类东西。
直接证明法有两种思路，第一种是从已知的条件来推出结论，即看到条件的时候，并不知道它怎么可以推出结论，则可以先从已知条件按照定理推出一些中间的条件（这一步可能是没有目的的，要看看从已知的条件中能够推出些什么），接着，选择可以推出结论的那个条件继续往下推演；另外一种是从结论反推回条件，即看到结论的时候，首先要反推一下，看看从哪些条件可以得出这个结论（这一步也可能是没有目的的，因为并不知道要用到哪个条件），以此类推一直到已知的条件。通常这两种思路是同时进行的。
2、反证法
反证法是证明那些“存在某一个例子或性质”，“不具有某一种的性质”，“仅存在唯一”等的题目。
它的方法是首先假设出所求命题的否命题，接着根据这个否命题和已知条件进行推演，直至推出与已知条件或定理相矛盾，则认为假设是不成立的，因此，命题得证。
3、构造法
证明“存在某一个例子或性质”的题目，我们可以用反证法，假设不存在这样的例子和性质，然后推出矛盾，也可以直接构造出这么一个例子就可以了。这就是构造法，通常这样的题目在图论中多见。值得注意的是，有一些题目其实也是本类型的题目，只不过比较隐蔽罢了，像证明两个集合等势，实际上就是证明“两个集合中存在一个双射”，我们即可以假设不存在，用反证法，也可以直接构造出这个双射。
4、数学归纳法
数学归纳法是证明与自然数有关的题目，而且这一类型的题目可以递推。作这一类型题目的时候，要注意一点就是所要归纳内容的选择。
推荐第6篇：离散数学试题A卷
离散数学试题A卷
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
1．下列命题公式中不是重言式的是（） ．
A．p→(q→r)
C．p→(p→p) B．p→(q→p) D．(p→(q→r))(q→(p→r))
2．设个体域是整数集，则下列命题的真值为真的是（）
A．yx(x·y=1)
C．xy (x·y=y2) B．xy (x·y≠0) D．yx(x·y=x2)
3．关于谓词公式（x）(y)(P(x,y)∧Q(y,z))∧
(x)p(x,y),下面的描述中错误的是（） ．．
A．（x）的辖域是（y）（P（x,y）∧Q(y,z)）
B．z是该谓词公式的约束变元
C．（x）的辖域是P（x,y） D．x是该谓词公式的约束变元
4．设有代数系统G=〈A，*〉，其中A是所有命题公式的集合，*为命题公式的合取运算，则G的幺元是（）
A．矛盾式
C．可满足式 B．重言式 D．公式p∧q
5．设A={Ø}，B=P（P（A）），以下不正确的式子是（） ．
A．{{Ø }，{{Ø }}，{Ø ，{Ø }}}包含于B
C．{{Ø ，{Ø }}}包括于B B．{{{Ø }}}包含于B D．{{Ø }，{{Ø ，{Ø }}}}包含于B
6．设Z是整数集，E={…，-4，-2，0，2，4，…}，f：Z→E，f（x）=2x，则f（）
A．仅是满射
C．是双射 B．仅是入射 D．无逆函数
7．设A={1，2，3，4，5}，A上二元关系R={〈1，2〉，〈3，4〉，〈2，2〉}，S={〈2，4〉，〈3，1〉，〈4，2〉}，则S-1R-1的运算结果是（）
A．{〈4，1〉，〈2，3〉，〈4，2〉} C．{〈4，1〉，〈2，3〉，〈2，4〉}
B．{〈2，4〉，〈2，3〉，〈4，2〉} D．{〈2，2〉，〈3，1〉，〈4，4〉}
8．在实数集合R上，下列定义的运算中不可结合的是（） ．A．a*b=a+b+2ab C．a*b=a+b+ab
B．a*b=a+b D．a*b=a-b
9．设无向图中有6条边，有一个3度顶点和一个5度顶点，其余顶点度为2，则该图的顶点数是（） A．3 C．
5B．4 D．6
10．设无向图G的边数为m，结点数为n，则G是树等价于（） A．G连通且m=n+1 C．G连通且m=2n
B．G连通且n=m+
1D．每对结点之间至少有一条通路
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
11．不能再分解的命题称为____________，至少包含一个联结词的命题称为____________。
12．在命题演算中，五个联结词的含义是由其____________表唯一确定的，而不是由其类似的____________
语言的含义确定。
13．使公式（x）（y）（A（x）→B（y））（（x）A（x）→（y）B（y））成立的条件是____________
不含有y，____________不含有x。
14．设A为任意集合，请填入适当的运算符，使式子A____________A=Ø；A____________~A=Ø成立。 15．设A={0，1，2，3，6}，R={〈x,y〉|x≠y∧(x,y∈A)∧y≡x(mod 3)}，则domR=____________，
ranR=____________。
16．称集合S是给定非空集合A的覆盖：若S={S1，S2，…，Sn}，其中SiA，Si≠Ø，i=1，2，…，n，
且____________；进一步若____________，则S是集合A的划分。
17．对实数的普通加法和乘法，____________是加法的幂等元，____________是乘法的幂等元。 18．在代数系统〈A，*〉中，A={a}，*是A上二元运算，则该代数系统的单位元是____________，零元
是____________。
19．设〈A，≢〉是偏序集，若A中____________都有最小上界和____________则称A关于偏序≢构成格。 20．若一条路中，所有边均不相同，则此路称作____________；若一条路中所有的结点均不相同，则称此
路为____________。
三、计算题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 21．求命题公式(PQ)(PQ)的真值表。
22．试求谓词公式x(P(x)xQ(x,y)yR(x,y))A(x,y)中，x,x,y的辖域，试问R(x,y)和A(x,y)
中x,y是自由变元，还是约束变元？
23．求命题公式（p→q）→（q∨p）的主析取范式。
24．设代数系统(Z,*)，其中Z是整数集，二元运算定义为a,bZ,a*bab2，aZ，求a的逆元。
25．已知图D(如下图)的邻接矩阵为
v1v2v3v
40
110
01
求从v2到v4长度为2和从v3到v3长度为2的通路条数，并将它们具体写出。
v10
A(D)=v21
v30v41
10 10
四、证明题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
26．设〈{a,b},*〉是半群，其中a*a=b，证明：（1）a*b=b*a；（2）b*b=b。
27．若一棵树恰有2个结点的度数为1，则它必是一条欧拉路。
五、应用题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
28．设I是整数集，，＝，≢，≣，≠是Ｉ上的二元关系，分别表示小于，大于、等于、小于等于，
大于等于，不等于，那么这些关系会满足什么性质？试填写下表。
29.完成下列推理：只要今天天气不好，就一定有考生不能提前进入考场，当且仅当所有考生提前进入考场，考试才能准时进行。所以，如果考试准时进行，那么天气就好。
30．75个儿童到公园游乐场，他们在那里可以骑旋转木马，坐滑行铁道，乘宇宙飞船，已知其中20人这
三种东西都乘过，其中55人至少乘坐过其中的两种。若每样乘坐一次的费用是0.5元，公园游乐场 总共收入70元，求有多少儿童没有乘坐过其中任何一种。
推荐第7篇：离散数学考试范围
第一部分 简单命题符号化，
求主析取范式，判断公式类型（重言式，矛盾式，可满足式） 量词消去规则。 命题逻辑推理规则
带全称量词和存在量词的命题逻辑推理的构造和证明 第二部分
集合基本运算，文氏图 有序对的基本知识， 笛卡儿积， 特征函数
函数的性质（单射，满射，双射）
集合的基本概念（交集，并集，幂集，定义域，值域）
给出关系图，画出r(R)，s(R)，t(R) 等价关系及等价划分 集合相等证明
从A到B的函数的性质
关系的性质（自反，对称，传递） 偏序关系和哈斯图
A卷
1、选择10题（2*10=20分）
2、填空8题（1*15=15分）
3、综合题（6题，39分） （1）前束范式
（2）偏序关系和哈斯图 （3）文氏图 （4）关系的闭包
（5）用真值表判断公式的成真赋值 （6）量词消去
4、证明题（3题，共26分） 自然推理系统证明（第三章） 集合相等证明
命题逻辑推理证明（第五章）B卷
1、填空10题（2*10=20分）
2、选择10题（1*10=10分）
3、综合题（6题，44分） （1）主析取范式判断公式类型 （2）量词消去，求公式真值 （3）集合计算 （4）量词消去 （5）前束范式
（6）偏序关系和哈斯图
4、推理填空题（8分）
5、证明题（18分） 集合相等证明 命题逻辑推理证明
推荐第8篇：离散数学考试大纲
武汉理工大学2011年博士入学考试《离散数学》考试大纲
一、考试要求共济
要求考生系统地掌握离散数学的基本概念、基本定理和方法，具有较强的逻辑思维和抽象思维能力，能够灵活运用所学的内容和方法解决实际问题。考
二、考试内容济
1、数理逻辑济
1)命题和联结词，谓词与量词，合适公式，赋值，解释与指派，范式共
2) 命题形式化，等价式与对偶式，蕴含式，推理与证明
3) 证明方法3
4)数学归纳法
2、集合论院
1)集合代数，笛卡尔乘积，关系与函数，关系的性质与运算
2)等价关系，划分共济
3)偏序关系与偏序集，格辅导
3、计数336260 37
1) 排列与组合，容斥原理，鸽巢原理共
2) 离散概率正门
3) 函数的增长与递推关系院
4、图论 共济网
1) 欧拉图与哈密顿图，平面图与对偶图，二部图与匹配，图的着色021-
2) 树，树的遍历，最小生成树正门
3) 最短路经，最大流量
5、形式语言与自动机 院
1) 语言与文法，正则表达式与正则集
2) 有限状态自动机，自动机与正则语言
6、代数系统
1) 二元运算，群与半群，积群与商群，同态与同构
2) 群与编码
3) 格与布尔代数，环与域
三、试卷结构
1、考试时间为3小时，满分100分。
2、题目类型：计算题、简答题和证明题。
参考书
1．离散数学，胡新启，武汉大学出版社，2007年。
2．离散数学，尹宝林、何自强、许光汉、檀凤琴等，高等教育出版社，1998年。
3．离散数学及其应用，Kenneth H.Rosen，机械工业出版社，2002年。
推荐第9篇：离散数学课程总结
《离散数学》课程论文
计科系10级 计本
一、对课程的理解
个人认为离散数学是一门综合性非常强的学科。本书分为六个部分。为数理
逻辑、集合论、代数结构、组合数学、图论和初等数论。其中由于课时紧凑我们忽略了部分学习内容。感觉它是一门集理论思维与抽象思维于一身的学科。
开始学习大家可能会觉得很简单，学得很轻松，第一部分的数理逻辑在高中时也
有所接触，只是现在在高中的基础上更深层次的加入一些元素。第二部分集合论
高中也学过一点基本的，多了二元关系之类。据课本介绍，其中的偏序关系广泛
用于实际问题中，调度问题就是典型的实例。第三部分的代数结构是完全新的学习内容，开始带有抽象的色彩。接下来就学习了图论，是个很有意思的部分，不
像之前那么枯燥，可以有图形与关系之间的转换。
搜集有关资料得知《离散数学》的特点是：
1、知识点集中，概念和定理多：《离散数学》是建立在大量概念之上的逻辑
推理学科，概念的理解是我们学习这门学科的核心。不管哪本离散数学教材，都
会在每一章节列出若干定义和定理，接着就是这些定义定理的直接应用。掌握、
理解和运用这些概念和定理是学好这门课的关键。要特别注意概念之间的联系，
而描述这些联系的则是定理和性质。
2、方法性强：离散数学的特点是抽象思维能力的要求较高。通过对它的学习，能大大提高我们本身的逻辑推理能力、抽象思维能力和形式化思维能力，从
而今后在学习任何一门计算机科学的专业主干课程时，都不会遇上任何思维理解
上的困难。《离散数学》的证明题多，不同的题型会需要不同的证明方法（如直
接证明法、反证法、归纳法、构造性证明法），同一个题也可能有几种方法。但
是《离散数学》证明 题的方法性是很强的，如果知道一道题用什么方法讲明，
则很容易可以证出来，否则就会事倍功半。因此在平时的学习中，要勤于思考，
对于同一个问题，尽可能多探讨几种证明方法，从而学会熟练运用这些证明方法。
同时要善于总结。
通过以上特点介绍使我对离散数学有了不一样的认识。我们是学计算机专
业的学生，离散数学的学习给了我们很多的帮助，虽然这门每个部分的联系不是
很紧密。今年我们开设的专业课有《数据库》，其中二元关系这部分与之就有了
很大的联系，听过离散数学后，数据库中这些关系的理解起来就不必那么费事了。
还有专业课《数据结构与算法》，这部分联系的就多了，主要是图论这部分。使
在学习数据结构时节省了不少时间，老师说起来也轻松。
二、对课程的建议
《离散数学》这本书中我们只学了四个部分：数理逻辑、集合论、代数系统、
图论．这四部分内容中每一个部分都可以是一门独立的课程，它们分别作为《离
散数学》课程的一部分，容易造成教学内容繁多与教学课时数偏少相矛盾，使教
学过程具有很大的难度．这几部分的内容我们只是选择性的部分详细讲解，我觉
得在教学过程中对讲授内容的设置上应当有所侧重，比如学生对集合论基础的很
多内容在中学数学中已经有所了解，所以这部分内容只需要简要介绍一下，重点放在用集合论的方法解决实际应用问题上．对于二元关系这部分，侧重点是加强对与二元关系的几个性质相关问题的论证方法的训练．在数理逻辑上通过将一般命题公式和一阶逻辑公式化成范式，达到强化训练学生逻辑演算能力，并通过逻辑推理理论的学习来提高逻辑推理能力．图论部分重点放在基本概念的理解和实际问题的处理上，通过对相关定理及其证明思路的理解来体会图论的研究方法．代数系统这部分内容重点放在群论上，尤其要在代数系统、群、子群、循环群、变换群、正规子群的概念及相关问题的理解上下功夫，特别要掌握同构和同态的概念及应用，对于其它的代数系统如环、域及布尔代数则可以略讲．另外，现行大多数教材，主要是集中在从纯数学理论角度教授基本内容，这也是不利于学生的理解学习的．如果选择了这种教材，在教学过程中，应穿插介绍一些知识点在计算机科学中的应用，将之与离散数学理论结合介绍给学生，使学生重视这一课程的学习，产生学习兴趣，主动地进行学习．这将有利于学生理解理论知识，又为后续课程的学习奠定基础．
三、对老师的建议
想起老师嘴角微微的上扬了，觉得老师很亲切。老师每次课后都会布置作批 改作业也很及时，不懂不会的问题也会集中给我们讲解。是位很细心的老师。有时还会和我们讲讲笑话。有时老师不知道我们在下面说什么，那种懵懂的表情很可爱。个人来说还是很满足的，还有知道老师教的科目很多，站在女性的立场很佩服啊，以后得向老师看齐。老师的课还是很有意思的。后期可能是时间的关系和课时的稀少，感觉后面的内容感觉一味概念灌输。总而言之，对老师没什么不满意。真要说什么建议那就严厉一点，吓吓那些不爱学习的。
推荐第10篇：08离散数学试题
离散数学试题
一、填空（共36分）
1、命题公式PQ的真值为假，当且仅当。
2、设F(x)：x是整数，G(x):x是自然数，则命题“并不是每个整数都是自然数”符号化为。
3、设10阶平面图G有5个面，则G中有条边。
4．设A={1，2，3，4，5，6，7}，R是A上的模4同余关系，则关系R＝
。
5．六阶循环群的所有生成元为，所有子群为。
6．设集合Sa,b,c，S上所有互不相同的等价关系的数目为。
7．R是非空集合上的偏序关系，当且仅当R具有
8．仅用联结词来表示PQ为。
二、解答题（共24分）。
1． 求等价于下面公式的前束合取范式与前束析取范式。（10分） xPxyzQx,y(z)R(y,x)
2． 整数集合Z上的二元运算*定义为x*y判断Z,*是不xy2，
是群？如果是，求出它的单位元以及每个元素的逆元。（8分）
3． 设A,B,C是三个集合，函数f:AB，函数g:BC。若函数
gf:AC是双射，则f和g一定都是双射函数吗？若是，请给出证明；若否，请举例说明。（6分）
三、证明题（共40分）
1． （10分）构造下面推理的证明（个体域取学生的集合）：
每个一年级学生至少有一个高年级学生作他的辅导员。凡理科学生的辅导员皆是理科学生。小王是理科一年级学生。因此，至少有一个理科高年级学生。
2． （8分）证明在至少含有3个节点的简单连通平面图中，至少有一个节点
的度数小于等于5。
3．
4． 证明命题的等价关系：证明在无向完全图Kn
顿图。（6分）
5． 设G为群，PQPQPQ（8分） n3中任意删去3条边后，所得到的图是哈密f:GG，xG有fxx1。证明当且仅当G是
交换群，f是G的自同构。（8分）
第11篇：离散数学一单元
注：离散数学有单选（1’*15），多选（2’*5），简答（2.5’*4），演算（7’*5），推理和证明题（10’*3）
一单元测试题
1.将下列命题翻译成符号逻辑形式
（1） 银行利率一降低，股价随之上扬。
（2） 尽管银行利率降低，股价却没有上升。
（3） 占据空间的、有质量而且不断变化的对象称为物质
（4） 如果一个整数能背6整出，那么它就能被2或3整除。如果一个整数能被3整
除，那么它的各位数字之和也能被3整除。
2.判断下面各语句是否是命题，如果是命题，说出它的真值。
（1） 可导的实函数都是连续函数。
（2） 凡是都有例外。
（3） 白天比夜晚时间长
（4） 两个三角形全等当且仅当它们的对应角相等。
3.简述命题的定义。
4.简述原子命题的定义。
5.下列公式中，（）不是永真式。（单选，写清楚每个属于什么公式）
A.(P∧Q)→QB.P→(P∨Q)
C．（P→Q）↔（~Q→~P）D.(~P∨Q)∧(~(~P∨~Q))
5.下列语句，是命题的有（）（多选）
1）美国的首都是纽约。2）你喜欢日本吗？3）我们一定要解放台湾！
4）所有实数都是整数。3） 如果3>2，那么有人不死。
6.构造公式的真值表，判断哪些是永真式，矛盾式，和可满足式
（1） (P→(Q→R)) ↔ ((P∧Q) →R)
（2） (P∧(P∧Q)) ↔~P
（3） ~（P∨Q）→R
7.如果P∨QQ∨R，能否判断PR？如果P∧QR∧Q,能否判断PR？如果~P~R能否判断PR。
8．判断下面等式是否是等价式：P→（Q∨R）（P→Q）∨（P→R）
9．求下列两式的对偶式
（1）（P∧~Q）∨（R∧T）∨F
（2）~（P∨~（Q∨R））∧（R∧~Q）
10．分别利用真值表法和等价变换法求下列公式的主合取范式及主析取范式。
（1）P→（R∧（Q→P））
（2）（P→（Q∧R））∧（~P→（~Q∧~R））
11．证明（P→Q）∧（Q→R）P→R
12．证明R→S是{P→（Q→S），~R∨P，Q}的逻辑结果（使用直接法，CP规则法，和反证法）
13．求公式（P→（R∨P））∧（Q ↔P）的主合取范式和主析取范式。
14．利用消解法证明P→（Q→S）,~R∨P,QR→S；
第12篇：离散数学试卷2
离散数学试题（2）
一、单项选择题(本大题共15小题，每小题1分，共15分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。
1.一个连通的无向图G，如果它的所有结点的度数都是偶数，那么它具有一条()
A.汉密尔顿回路B.欧拉回路
C.汉密尔顿通路D.初级回路
2.设G是连通简单平面图，G中有11个顶点5个面，则G中的边是()
A.10B.12C.16D.1
43.在布尔代数L中，表达式(a∧b)∨(a∧b∧c)∨(b∧c)的等价式是()
A.b∧(a∨c)
B.(a∧b)∨(a’∧b)
C.(a∨b)∧(a∨b∨c)∧(b∨c)
D.(b∨c)∧(a∨c)
4.设i是虚数，·是复数乘法运算，则G=是群，下列是G的子群是()
A.B.〈{-1},·〉
C.〈{i},·〉D.〈{-i},·〉
5.设Z为整数集，A为集合，A的幂集为P(A),+、-、/为数的加、减、除运算，∩为集合的交
运算，下列系统中是代数系统的有()
A.〈Z，+，/〉B.〈Z，/〉
C.〈Z，-，/〉D.〈P(A)，∩〉
6.下列各代数系统中不含有零元素的是()
A.〈Q，*〉Q是全体有理数集，*是数的乘法运算
B.〈Mn(R),*〉,Mn(R)是全体n阶实矩阵集合，*是矩阵乘法运算
C.〈Z，〉，Z是整数集，定义为xxy=xy,x,y∈Z
D.〈Z，+〉，Z是整数集，+是数的加法运算
7.设A={1,2,3}，A上二元关系R的关系图如下：
R具有的性质是
A.自反性
B.对称性
C.传递性
D.反自反性
8.设A={a,b,c}，A上二元关系R={〈a,a〉，〈b,b〉〈,a,c〉}，则关系R的对称闭包S(R)是()
A.R∪IAB.RC.R∪{〈c,a〉}D.R∩IA
9.设X={a,b,c},Ix是X上恒等关系，要使Ix∪{〈a,b〉，〈b,c〉，〈c,a〉，〈b,a〉}∪R为X上的
等价关系，R应取()
A.｛〈c,a〉，〈a,c〉｝B.{〈c,b〉，〈b,a〉}
C.{〈c,a〉，〈b,a〉}D.{〈a,c〉，〈c,b〉}
10.下列式子正确的是()
A.∈B.C.{}D.{}∈
11.设解释R如下：论域D为实数集，a=0,f(x,y)=x-y,A(x,y):x ()
A.( x)( y)( z)(A(x,y))→A(f(x,z),f(y,z))
离散数学试题（2）
B.( x)A(f(a,x),a)
C.(x)(y)（A(f(x,y),x))
D.(x)(y)(A(x,y)→A(f(x,a),a))
12.设B是不含变元x的公式，谓词公式(x)(A(x)→B)等价于()
A.(x)A(x)→BB.(x)A(x)→B
C.A(x)→BD.(x)A(x)→(x)B
13.谓词公式(x)(P(x,y))→(z)Q(x,z)∧(y)R(x,y)中变元x()
A.是自由变元但不是约束变元
B.既不是自由变元又不是约束变元
C.既是自由变元又是约束变元
D.是约束变元但不是自由变元
14.若P：他聪明；Q：他用功；则“他虽聪明，但不用功”，可符号化为()
A.P∨QB.P∧┐QC.P→┐QD.P∨┐Q
15.以下命题公式中，为永假式的是()
A.p→(p∨q∨r)B.(p→┐p)→┐p
C.┐(q→q)∧pD.┐(q∨┐p)→(p∧┐p)
二、填空题(每空1分，共20分)
16.在一棵根树中，仅有一个结点的入度为______，称为树根，其余结点的入度均为______。
17.A={1,2,3,4}上二元关系R={〈2，4〉，〈3，3〉，〈4，2〉}，R的关系矩阵MR中
m24=______,m34=______。
18.设〈s,*〉是群，则那么s中除______外，不可能有别的幂等元；若〈s,*〉有零元，则|s|=______。
19.设A为集合，P(A)为A的幂集，则〈P(A)，是格，若x,y∈P(A),则x,y最大下界是______，〉
最小上界是______。
20.设函数f:X→Y,如果对X中的任意两个不同的x1和x2，它们的象y1和y2也不同，我们说f
是______函数，如果ranf=Y，则称f是______函数。
21.设R为非空集合A上的等价关系，其等价类记为〔x〕R。x,y∈A，若〈x,y〉∈R，则 〔x〕R与〔y〕R的关系是______，而若〈x,y〉R，则〔x〕R∩〔y〕R=______。
22.使公式(x)( y)(A(x)∧B(y))(x)A(x)∧(y)B(y)成立的条件是______不含有y，
______不含有x。
23.设M(x):x是人，D(s):x是要死的，则命题“所有的人都是要死的”可符号化为(x)______,
其中量词(x)的辖域是______。
24.若H1∧H2∧„∧Hn是______，则称H1,H2,„Hn是相容的，若H1∧H2∧„∧Hn是______，
则称H1,H2,„Hn是不相容的。
25.判断一个语句是否为命题，首先要看它是否为，然后再看它是否具有唯一
的。
三、计算题 (共30分)
26.(4分)设有向图G=(V,E)如下图所示，试用邻接矩阵方法求长度为2的路的总数和回路总数。
27.(5)设A={a,b},P(A)是A的幂集，是对称差
运算，可以验证是群。设n是正整数，求({a}-1{b}{a})n{a}-n{b}n{a}n
28.(6分)设A={1,2,3,4,5},A上偏序关系
R={〈1，2〉，〈3，2〉，〈4，1〉，〈4，2〉，〈4，3〉，〈3，5〉，〈4，5〉}∪IA;
(1)作出偏序关系R的哈斯图
(2)令B={1,2,3,5}，求B的最大，最小元，极大、极小元，上界，下确界，下界，下确界。
29.(6分)求┐(P→Q)(P→┐Q)的主合取范式并给出所有使命题为真的赋值。
30.(5分)设带权无向图G如下，求G的最小生成树T及T的权总和，要求写出解的过程。
31.(4分)求公式┐((x)F(x,y)→(y)G(x,y))∨(x)H(x)的前束范式。
四、证明题 (共20分)
32.(6分)设T是非平凡的无向树，T中度数最大的顶点有2个，它们的度数为k(k≥2),证明T
中至少有2k-2片树叶。
33.(8分)设A是非空集合，F是所有从A到A的双射函数的集合，是函数复合运算。证明：〈F, 〉是群。
34.(6分)在个体域D={a1,a2,„，an}中证明等价式：
(x)(A(x)→B(x))(x)A(x)→(x)B(x)
五、应用题(共15分)
35.(9分)如果他是计算机系本科生或者是计算机系研究生，那么他一定学过DELPHI语言而
且学过C++语言。只要他学过DELPHI语言或者C++语言，那么他就会编程序。因此如果他是计算机系本科生，那么他就会编程序。请用命题逻辑推理方法，证明该推理的有效结论。
36.(6分)一次学术会议的理事会共有20个人参加，他们之间有的相互认识但有的
相互不认识。但对任意两个人，他们各自认识的人的数目之和不小于20。问能否把这20个人排在圆桌旁，使得任意一个人认识其旁边的两个人?根据是什么?
参考答案
一、单项选择题(本大题共15小题，每小题1分，共15分)
1.B2.D3.A4.A5.D
6.D7.D8.C9.D10.B
11.A12.A13.C14.B15.C
二、填空题
16.0
117.10
18.单位元1
19.x∩yx∪y
20.入射满射
21.［x］R=［y］R
22.A(x)B(y)
23.(M(x)→D(x))M(x)→D(x)
24.可满足式永假式(或矛盾式)
25.陈述句真值
三、计算题
1100
26.M=1010
1011
0011
2110
M2=2111
2121
1011
4
4M2ij18,
i4Mij26 1j1i
1G中长度为2的路总数为18，长度为2的回路总数为6。
27.当n是偶数时，x∈P(A),xn=
当n是奇数时，x∈P(A),xn=x
于是：当n是偶数，(｛a｝-1｛b｝｛a｝)n｛a｝-n｛b｝n｛a｝n
=(｛a｝-1)n｛b｝n｛a｝n=
当n是奇数时，
(｛a｝-1｛b｝｛a｝)n｛a｝-n｛b｝n｛a｝n
=｛a｝-1｛b｝｛a｝(｛a｝-1)n｛b｝n｛a｝n
=｛a｝-1｛b｝｛a｝｛a｝-1｛b｝｛a｝=
28.(1)偏序关系R的哈斯图为
(2)B的最大元：无，最小元：无；
极大元：2，5，极小元：1，
3下界：4， 下确界4；
上界：无，上确界：无
29.原式(┐(P→Q)→(P→┐Q))∧((P→┐Q)→┐(P→Q))
((P→Q)∨(P→┐Q))∧(┐(P→┐Q)∨┐(P→Q))
(┐P∨Q∨┐P∨┐Q)∧(┐(┐P∨┐Q)∨(P∧┐Q))
(┐(P∧┐Q)∨(P∧┐Q))
(P∧Q)∨(P∧┐Q)
P∧(Q∨┐Q)
P∨(Q∧┐
Q)
(P∨Q)∧(P∨┐Q)
命题为真的赋值是P=1,Q=0和P=1,Q=1
30.令e1=(v1,v3),e2=(v4,v6)
e3=(v2,v5),e4=(v3,v6)
e5=(v2,v3),e6=(v1,v2)
e7=(v1,v4),e8=(v4,v3)
e9=(v3,v5),e10=(v5,v6)
令ai为ei上的权，则
a1
取a1的e1∈T,a2的e2∈T,a3的e3∈T,a4的e4∈T,a5的e5∈T,即，
T的总权和=1+2+3+4+5=1
531.原式┐(x1F(x1,y)→y1G(x,y1))∨x2H(x2)(换名)
┐x1y1(F(x1,y)→G(x,y1))∨x2H(x2)
x1y1┐(F(x1,y1)→G(x,y1))∨x2H(x2)
x1y1x2(┐(F(x1,y1)→G(x,y1))∨H(x2)
四、证明题
32.设T中有x片树叶，y个分支点。于是T中有x+y个顶点，有x+y-1 条边，由握手定理知
T中所有顶点的度数之的
xy
d(vi)=2(x+y-1)。
i
1又树叶的度为1，任一分支点的度大于等于
2且度最大的顶点必是分支点，于是
xy
d(vi)≥x·1+2(y-2)+k+k=x+2y+2K-
4i1
从而2(x+y-1)≥x+2y+2k-4
x≥2k-2
33.从定义出发证明：由于集合A是非空的，故显然从A到A的双射函数总是存在的，如A
上恒等函数，因此F非空
(1)f,g∈F,因为f和g都是A到A的双射函数，故fg也是A到A的双射函数，从而集
合F关于运算是封闭的。
(2)f,g,h∈F,由函数复合运算的结合律有f(gh)=(fg)h故运算是可结合的。
(3)A上的恒等函数IA也是A到A的双射函数即IA∈F,且f∈F有IAf=fIA=f,故IA是〈F，
〉中的幺元
(4)f∈F,因为f是双射函数，故其逆函数是存在的，也是A到A的双射函数，且有ff-1=f-1
f=IA,因此f-1是f的逆元
由此上知〈F，〉是群
34.证明(x)(A(x)→B(x)) x(┐A(x)∨B(x))
(┐A(a1)∨B(a1))∨(┐A(a2)∨B(a2))∨„∨(┐A(an)∨B(an)))(┐A(a1)∨A(a2)∨„∨┐A(an)∨(B(a1)∨B(a2)∨„∨(B(an))┐(A(a1)∧A(a2)∧„∧A(an))∨(┐B(a1)∨B(a2)∨„∨(B(an))┐(x)A(x)∨(x)B(x) (x)A(x)→(x)B(x)
五、应用题
35.令p：他是计算机系本科生
q：他是计算机系研究生
r：他学过DELPHI语言
s:他学过C++语言
t:他会编程序
前提：(p∨q)→(r∧s),(r∨s)→t
结论：p→t
证①pP(附加前提)
②p∨qT①I
③(p∨q)→(r∧s)P(前提引入)
④r∧sT②③I
⑤rT④I
⑥r∨sT⑤I
⑦(r∨s)→tP(前提引入)
⑧tT⑤⑥I
36.可以把这20个人排在圆桌旁，使得任一人认识其旁边的两个人。根据：构造无向简单图G=,其中V={v1,v2,„，V20}是以20个人为顶点的集合，E中
的边是若任两个人vi和vj相互认识则在vi与vj之间连一条边。Vi∈V,d(vi)是与vi相互认识的人的数目，由题意知vi,vj∈V有d(vi)+d(vj)20,于是G
中存在汉密尔顿回路。
设C=Vi1Vi2„Vi20Vi1是G中一条汉密尔顿回路，按这条回路的顺序按其排座位即符合要求。
第13篇：离散数学课程总结
离散数学课程总结
姓名：
学号：
班级： 级计科系软件工程（ ）班
近年来，计算机科学与技术有了飞速发展，在生产与生活的各个领域都发挥着越来越重要的作用。离散数学是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科，是现代数学的一个重要分支。它在各学科领域，特别在计算机科学与技术领域有着广泛的应用，同时离散数学也是计算机专业的许多专业课程。
一、课程总结
本书的主要内容有数理逻辑、集合论、代数结构、组合数学、图论以及初等数论六部分，而我们主要学习的有第一部分数理逻辑、第二部分集合论以及第五部分图论，第三部分代数结构也学习了一部分。
第一部分：数理逻辑
数理逻辑是研究推理的数学分支，推理有一些列的陈述句组成。在数理逻辑中，主要学习了命题逻辑的基本概念、命题逻辑的等值演算、命题逻辑的推理理论、一阶逻辑基本概念、一阶逻辑等值演算与推理。
1.在命题逻辑的基本概念中学习了命题的真值及真值表、命题与联结词、命题及其分类、联结词与复合命题、命题公式及其赋值。2.在命题逻辑的等值演算中主要学习了等值式与基本的等值式模式、等值演算与置换规则、析取范式与合取范式，极大值和极小值，主析取范式与主合取范式、联结词完备集。
3.在命题逻辑的推理理论中主要学习了推理的正确与错误、推理的形式结构、判断推理正确的方法、推理定律；自然推理系统P、形式系统的定义与分类、自然推理系统P，在P中构造证明：直接证明法、附加前提证明法、归谬法。
4.在一阶逻辑基本概念中主要学习了一阶逻辑命题符号化、个体词、谓词、量词、一阶逻辑公式及其解释、一阶语言、合式公式及合式公式的解释、永真式、矛盾式、可满足式。
5.在一阶逻辑等值演算与推理中主要学习了一阶逻辑等值式与基本等值式、置换规则、换名规则、代替规则、前束范式、自然推理系统N及其推理规则。
第二部分：集合论
在集合论中，主要学习了集合代数、二元关系和函数。 1.在集合代数中，学习了集合的基本概念：属于、包含、空集、元集、幂集、全集；集合的基本运算：并、交、补相对、对称差等；集合恒等式：集合运算的主要算律、恒等式的证明方法。 2.在二元关系中学习了有序对与笛卡儿积、二元关系的定义与表示法、关系的运算、关系的性质、关系的闭包、等价关系与划分、偏序关系。
第三部分：代数结构
在代数结构中，主要学习了代数系统、群与环。
1、在代数系统中学习了二元运算及其性质：一元和二元运算定义及其实例、二元运算的主要性质、代数系统：代数系统定义及其实例、子代数、积代数。
2、在群与环中学习了群的定义与性质：半群、独异点、群、阶。
第五部分：图论
在图论中主要学习了图的基本概念、欧拉图与哈密顿图、树。 1.在图的基本概念中学习了图、通路与回路、图的连通性，图的矩阵表示、图的运算。
2.在欧拉图与哈密顿图中学习了欧拉图、哈密顿图。3.在树中学习了无向树及其性质、生成树、根数及其应用。
二、对课程的建议
离散数学是建立在大量定义、定理之上的逻辑推理学科，因此对概念的理解是学习这门课程的核心。在学习这些概念的基础上，要特别注意概念之间的联系，而描述这些联系的实体则是大量的定理和性质。在考试中有一部分内容是考查学生对定义和定理的识记、理解和运用，因此要真正理解离散数学中所给出的每个基本概念真正的含义。
另外，离散这门课程我觉得每一个部分之间并没有什么太大的联系，可以说都是独立的，所以我们可以对内容侧重讲解，虽然说这对以后的数据结构有一定的影响。所以更应该对一些有用的内容进行选择性的部分详细讲解。
更重要的一点就是加强实践，因为本书多是概念，我们不能仅仅只是纸上谈兵，例如在数理逻辑中，我们可能对一些命题逻辑公式熟练于心，但是解决实际问题时可能有各种问题。因此我们要加强训练，多做一些证明题，这样才能把理念用于实践之中。后面的图论就更不用说了，只有结合实际的题目才能够掌握和理解。
三、对老师的建议
老师讲课很认真，对每一个知识点讲的也很是详细，但是我觉得老师不够严厉。另外，我希望老师可以穿插介绍一些知识点在计算机科学中的应用，将之与离散数学理论结合介绍给学生，使学生更重视这一课程的学习。
第14篇：离散数学论文（材料）
浅论离散数学的实际应用
摘要：
离散数学是现代数学的重要分支，是研究离散量的结构及相互关系的学科，它在计算机理论研究及软、硬件开发的各个领域都有着广泛的应用。作为一门重要的专业基础课，对于我们电子专业的同学来说，学习离散数学史有其重要现实意义：它不仅能为我们的专业课学习打下基础，也为我们今后将要从事的软、硬件开发和应用研究打下坚实的基础，同时也有助于培养我们的抽象思维、严格的逻辑推理和创新能力。离散数学的应用非常广泛，本文主要研究其在我们所学的重要课程中的应用：数字电路中的门电路设计、软件技术基础中的一些技术以及解决现实生活中的一些问题的应用。
关键字：离散数学、电路设计、软件技术、应用
1.什么是离散数学
1.1简介
离散数学(Discrete mathematics)是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科，是现代数学的一个重要分支。它在各学科领域，特别在计算机科学与技术领域有着广泛的应用，同时离散数学也是计算机专业的许多专业课程，如程序设计语言、数据结构、操作系统、编译技术、人工智能、数据库、算法设计与分析、理论计算机科学基础等必不可少的先行课程。
1.2离散数学的内容
离散数学是传统的逻辑学，集合论（包括函数），数论基础，算法设计，组合分析，离散概率，关系理论，图论与树，抽象代数（包括代数系统，群、环、域等），布尔代数，计算模型（语言与自动机）等汇集起来的一门综合学科。离散数学的应用遍及现代科学技术的诸多领域，它通常研究的领域包括：数理逻辑、集合论、代数结构、关系论、函数论、图论、组合学、数论等。
2.离散数学在门电路设计中的应用
2.1 逻辑门的概念
逻辑门是集成电路中的基本组件。简单的逻辑门可由晶体管组成。这些晶体管的组合可以使代表两种信号的高低电平在通过它们之后产生高电平或者低电平的信号。高、低电平可以分别代表逻辑上的“真”与“假”
或二进制当中的1和0，从而实现逻辑运算。常见的逻辑门包括“与”门，“或”门，“非”门，“异或”门（也称：互斥或）等等。逻辑门可以组合使用实现更为复杂的逻辑运算。
2.2 在门电路设计中的应用
在数字电路中，离散数学的应用主要体现在数理逻辑部分的使用。在数字电路中广于使用的逻辑代数即为布尔代数。逻辑代数中的逻辑运算与、或、非、异或与离散数学中的合取，析取、否定、异或（排斥或）相对应。
数字电路的学习重点在于掌握电路设计技术，在设计门电路时，要求设计者根据给出的具体逻辑问题，求出实现这一逻辑功能的逻辑电路。一般的设计过程为如下：
首先，进行逻辑抽象.分析给定的逻辑问题，确定输入、输出变量,一般把引起事件的原因作为输入变量，把事件的结果作为输出变量。再以二值逻辑的0、1两种状态分别代表变量的两种不同状态，并根据给定的因果关系列出逻辑真值表。于是，这个实际的逻辑问题被抽象成一个逻辑函数了，而且这个逻辑函数是以真值表形式给出的。
然后根据真值表写出逻辑函数式。在这一步的主要工作为对逻辑函数进行化简和变换，此时采用的方法一般为使用逻辑代数公式，即离散数学中的命题演算公式将命题公式直接进行化简；或者用卡诺图法进行化简；或者同时采用两种方法，互相验证结果是否最简。但在一般情况下，在真值表中变量较多，逻辑函数式较为复杂时，我们采用卡诺图法更为方便快捷，且出错率更低。
在得到最简逻辑函数式后，选定器件类型，开始构建实际电路。在对所用器件种类有所限制或使用中规模集成电路构建设计好的电路时，需要把函数式变换为适当的形式。此时，我们将采用命题等值演算对函数式进行变换，变换的结果通常为合取范式和析取范式，以便使用最少的器件和最简单的连线。
3.离散数学在软件技术中的应用
离散数学作为计算机科学技术的支撑学科之一，它在计算机程序中有着极其重要和广泛的应用。在软件技术基础中，我们所学习的数据结构极其运算，查找与排序技术，数据库技术，无一不是建立在离散数学的基础上的。
数据存储结构分为顺序存储和链式存储两大类，无论是哪种存储结构，我们都必须存储数据元素和元素之间的前后件关系这两方面的内容。通过数据元素间的特定关系，我们可以得出数据结构的集合，写出关系矩阵，画出关系图。对于线性结构的数据，我们构造顺序表或链表对数据进行存储处理和分析，对于非线性结构的数据，我们则经常使用树和图来表
示。树和图的概念对于非线性结构数据非常重要，例如一个学校的行政层次结构，我们可以用树来表示，一个城市中的交通路线可以用图来描述。
在查找和排序技术中，树显得尤为重要。在多种排序技术中，树概念的使用在堆排序技术中直观可见。堆排序的基本思想是，先将所需要排序的元素用完全二叉树表示成堆，堆定义为：具有n个元素的序列（h1,h2,„hn）,当且仅当满足hi≥h2i,hi≥h2i+1或hi≤h2i,hi≤h2i+1时称为堆。然后在调整建堆的过程中，总是将根结点值与左右子树的根结点值进行比较，若不满足堆的条件，则将左右子树根结点值中的大者（或小者）与根结点值进行交换。这个调整过程一直做到所有子树均为堆为止。查找技术史建立在树的基础之上的，首先要构建二叉排序树，然后在其中进行查找。为提高查找数据的效率，一般采用多层索引树进行查找。主要的查找方法建立在树的遍历基础上。遍历一棵树有3种方法：前序遍历、中序遍历和后序遍历。具体采用哪种遍历方法由所选择的查找方法所决定。
数据库技术主要是实现对数据的加工和管理。在关系模型数据库中，对数据的操作归结为各种集合运算。在关系模型的数据语言中，我们除了要运用常规的集合运算（并、交、差、笛卡尔积等）外，还定义了一些专门的关系运算，如投影、选择、连接等运算。前者是将关系（即二维表）看成元素组的集合，这些运算主要是从二维表中行的方向来进行的；后者主要是从二维表中列的方向来进行运算的。两者统称为关系代数。由于这方面的内容在离散数学和软件技术基础两门课程中都刚开始进入学习，所以在此不做进一步的研究。
4.离散数学在现实生活中的应用
离散数学不仅在于软硬件设计和计算机科学中有着广泛的应用，同时它也能解决一些生活中的问题，实用而且有趣，以下仅举一些例子作为说明。
图是由一些顶点和连接这些顶点的一些边所组成的离散结构。存在多种不同类型的图，其间的区别在于连接顶点对的边的种类和数目。在实际应用中，有值图广为使用。例如计算航线网络里两个城市之间航班的不同组合的数目，确定是否可能走遍城市里所有街道而不重复经过街道，以及求地图区域着色所需要的颜色数等等。树在生活中的最常见的应用则是描述一个家族的家谱，同时这种家谱树在生物遗传学中对于某个家族的遗传病史的研究也有很大作用。组合数学这一研究个体安排的学科，是离散数学的重要组成部分，它可以用来求解各种各样的问题，计算事件的概率，可以用来分析赌博游戏，如扑克，抽奖，计算及系统中的密码等等。离散数学可以解决的问题甚多，它包括：
有多少种方式可以在一个计算机系统上选择一个合法口令？ 赢彩票的概率是多少？
网络上两台计算机之间是否有通路？
使用某一运输系统的两个城市之间的最短路径是什么？
怎样把整数列表按增序排列？ 完成上述排列需要多少步骤？ 怎样设计两个整数相加的电路？ 有多少合法的因特网地址？
如果知道了学习离散数学能解决上述这类问题，你会突然对离散数学产生极大的兴趣，你会迫不及待地想学好它，至少我就是这样的。
参考文献：
【1】离散数学 耿素云、屈婉玲、张立昂编著 清华大学出版社
【2】离散数学及其应用 （美）Kenneth H.Rosen著 袁崇义 屈婉玲 王捍贫 刘田 译 【3】百度百科词条
第15篇：离散型制造业
离散制造行业特点
离散型制造企业指的是机械加工、电子元器件制造、汽车、服装、家具、五金、医疗设备、玩具
客户个性化需求多，产品品种日趋多样性，市场需求变化快，预测难度增大，难以为企业合理安排生产提供可靠的依据。
产品结构复杂，零部件多且外协自制兼有，工艺过程经常变更，生产计划的计算和安排非常复杂。临时插单现象多，生产计划的灵活性和严肃性难以兼顾，生产计划往往难以起到指导生产的作用，经营者容易陷入救火式的现场管理。而这种管理方式又带来了不稳定的产品品质，无法准时交货等一系列问题。由于生产计划的不确定性及对库存物料的即时情况把握的缺乏，往往造成库存物料呆滞和生产所需物料缺件，不齐套现象同时并存。
由于产品加工要经过不同的工序，各个工序的生产能力通常并不平衡，生产上容易出现木桶效应，生产被关键的瓶颈资源所制约。
外协厂家、外协件多，对外协产品的质量，交货期的跟踪控制困难。数据采集点多，数据收集维护工作量大，而且数据往往分布于不同的部门，数据的更新和保证数据的一致性也是一个令企业头痛的问题，由于每个产品生产过程不一致，无法对每个作业工序进行核算，导致整个成本核算过于粗放，不利于企业加强成本管理和控制。
第16篇：离散数学试卷1
离散数学试题（1）
一、单项选择题（本大题共15小题，每小题1分，共15分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1．下列是两个命题变元p，q的小项是（）
A．p∧┐p∧qB．┐p∨q
C．┐p∧qD．┐p∨p∨q
2．令p：今天下雪了，q：路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化为（）
A．p→┐q
C．p∧q
B．p∨┐q D．p∧┐q B．x+y=10 D．x mod 3=2 3．下列语句中是命题的只有（） A．1+1=10C．sinx+siny
4．下列等值式不正确的是（）
A．┐(x)A(x)┐A
B．(x)(B→A(x))B→(x)A(x)
C．(x)(A(x)∧B(x))(x)A(x)∧(x)B(x)
D．(x)(y)(A(x)→B(y))(x)A(x)→(y)B(y)
5．谓词公式(x)P(x,y)∧(x)(Q(x,z)→(x)(y)R(x,y,z)中量词x的辖域是（）
A．(x)Q(x,z)→(x)(y)R(x,y,z))
B．Q(x,z)→(y)R(x,y,z)
C．Q(x,z)→(x)(y)R(x,y,z)
D．Q(x,z)
6．设R为实数集，函数f：R→R，f(x)=2x，则f是（）
A．满射函数
C．双射函数B．入射函数 D．非入射非满射
7．设A={a,b,c,d}，A上的等价关系R={,,,}∪IA，则对应于R的A的划
分是（）
A．{{a},{b,c},{d}}B．{{a,b},{c},{d}}
C．{{a},{b},{c},{d}}D．{{a,b},{c,d}}
8．设A={Ø}，B=P(P(A))，以下正确的式子是（）
A．{Ø,{Ø}}∈B
C．{{Ø},{{Ø}}}∈BB．{{Ø,Ø}}∈B D．{Ø,{{Ø}}}∈B
9．设X，Y，Z是集合，一是集合相对补运算，下列等式不正确的是（）
A．(X-Y)-Z=X-(Y∩Z)
B．(X-Y)-Z=(X-Z)-Y
C．(X-Y)-Z=(X-Z)-(Y-Z)
D．(X-Y)-Z=X-(Y∪Z)
10．设*是集合A上的二元运算，称Z是A上关于运算*的零元，若（）
A．xA,有x*Z=Z*x=Z
B．ZA，且xA有x*Z=Z*x=Z
C．ZA，且xA有x*Z=Z*x=x
D．ZA，且xA有x*Z=Z*x=Z
离散数学试题（1）
11．在自然数集N上，下列定义的运算中不可结合的只有（）
A．a*b=min(a,b)
B．a*b=a+b
C．a*b=GCD(a,b)(a,b的最大公约数)
D．a*b=a(mod b)
12．设R为实数集，R={x|x∈R∧x>0}，*是数的乘法运算，是一个群，则下列集
合关于数的乘法运算构成该群的子群的是（）
A．{R中的有理数}
+C．{R中的自然数}
A．是交换群 +++
B．{R中的无理数} D．{1，2，3} B．是加法群 D．*对是可分配的 +13．设是环，则下列正确的是（） C．对*是可分配的
14．下列各图不是欧拉图的是（）
15．设G是连通平面图，G中有6个顶点8条边，则G的面的数目是（）
A．2个面B．3个面
C．4个面D．5个面
第二部分非选择题（共85分）
二、填空题（本大题共10小题，每空1分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
16．一公式为之充分必要条件是其析取范式之每一析取项中均必同时包含一命题变元及其否定；一公式为之充分必要条件是其合取范式之每一合取项中均必同时包含 一命题变元及其否定。
17．前束范式具有形式(Q1V1)(Q2V2)„(QnVn)A，其中Qi(1≤i≤n)为，A为的
谓词公式。
18．设论域是{a,b,c}，则(x)S(x)等价于命题公式；(x)S(x)等价于命题公式。
19．设R为A上的关系，则R的自反闭包。
20．某集合A上的二元关系R具有对称性，反对称性，自反性和传递性，此关系R，
其关系矩阵是。
21．设是一个偏序集，如果S中的任意两个元素都有和，则称S关于≤
构成一个格。
22．设Z是整数集，在Z上定义二元运算*为a*b=a+b+a·b，其中+和·是数的加法和乘法，
则代数系统的幺元是，零元是。
23．如下平面图有2个面R1和R2，其中deg(R1)=，deg(R2)=。
24．无向图G具有一条欧拉回路，当且仅当G是，。
25．在下图中，结点v2的度数是，结点v5的度数是。
三、计算题（本大题共6小题，第26—27小题每小题4分，第
28、30小题每小题5分，
第
29、31小题每小题6分，共30分）
26．（4分）求出从A={1,2}到B={x,y}的所有函数，并指出哪些是双射函数，哪些是满射函
数。
27．（4分）如果论域是集合{a,b,c}，试消去给定公式中的量词：(y)(x)(xy0)。
28．（5分）设A={a,b,c }，P（A）是A的幂集，是集合对称差运算。已知是群。
在群中，①找出其幺元。②找出任一元素的逆元。③求元素x使满足{a}x={b}。
29．（6分）用等值演算法求公式┐(p→q)
(p→┐q)的主合取范式
30．（5分）画出5个具有5个结点5条边的非同构的无向连通简单图。
31．（6分）在偏序集中，其中Z={1,2,3,4,6,8,12,14}，≤是Z中的整除关系，求集合
D={2,3,4,6}的极大元，极小元，最大元，最小元，最小上界和最大下界。
四、证明题（本大题共3小题，第32~33小题每小题6分，第34小题8分，共20分）
32．（6分）用等值演算法证明((q∧s)→r)∧(s→(p∨r))(s∧(p→q))→r
33．（6分）设n阶无向树G=中有m条边，证明m=n-1。
34．（8分）设P={Ø,{1},{1,2},{1,2,3}}，是集合P上的包含关系。
（1）证明：是偏序集。
（2）在（1）的基础上证明是全序集
五、应用题(15分）
35．（9分）在谓词逻辑中构造下面推理的证明：每个在学校读书的人都获得知识。所以如
果没有人获得知识就没有人在学校读书。（个体域：所有人的集合）
第17篇：离散数学论文[材料]
离散——神不散
姓名：王文军班级：数学与应用数学（2）班学号：092014020049
摘要：离散数学是研究散量的结构及其相互关系的数学学科，是现代数学的重要分支，通过离散数学的学习，不但可以掌握处理离散结构的描述工具和方法，为以后续课创造条件而且可以提高抽象思维和逻辑推理能力，为将来参加与创新性的研究和开发工作打下坚实基础。离散从字面上理解好像是一门很散的学科，但我觉得离散字面散而其内神不散。
正文：在中学我们学习了一些简单逻辑，那些都是一些与生活有关或是学习中一些常识就可判断命题真假的命题。这些简单逻辑对学生的思维逻辑推理能力有一定的训练作用，但中学中的简单逻辑没有严格的证明和公式的推导。一些问题都是凭借日常生活经验或学习中的一些常识就能把命题的正确性作出判断。数理逻辑是以散量为主要载体，通过一系列逻辑连接词来演绎命题并用一定公式判断命题的正确性。数理逻辑对公式有严格的证明，并把命题符号化，使得推理更有序，更可靠。数理逻辑是简单逻辑的提高和精神的升华。数理逻辑提出简单逻辑并未有的散量及一系列公式。数理逻辑为解决简单逻辑的解法提出多样化，为简单逻辑提供更严谨有效的解题途径。
数理逻辑是数学的一个分支，也是逻辑学的分支。是用数学方法研究逻辑式形式逻辑的学科。其研究对象是对证明和计算这两个直观慨念进行符号化以后的形式系统。数理逻辑是数学基础的一个不可缺少的组成部分。数理逻辑是离散数学的主要组成部分，也是现代科学理论的重要组成部分。现代的电子计算机大多是以散量为基数以数理逻辑的方法而运行的，数理逻辑对计算机技术的发展起到举足轻重的作用，不仅如此，在日常生活中人们学习数理逻辑会对人们在生活中分析一些事物形成独特见解。数理逻辑可以提高抽象思维和逻辑推理能力，为将来参与创新性的研究和开发工作打下结实基础。
一阶逻辑等值演算与推理，是数理逻辑的重要组成部分，在一阶逻辑中引入了个体词、谓词和量词的一阶逻辑命题符号化的三个基本要素。这在数理逻辑前几章的学习中都是未提到的，然而有了这些基本要素就把数理逻辑所研究的内容加以拓宽，思维的要求也有所提高。一些逻辑等值演算与推理也大大的增加了数理逻辑的推理方式，为数理逻辑在科学理论中的应用添上了浓墨重彩的一笔。对于一阶逻辑等值演算是数理逻辑前几章的延伸，也是前几章的提高。一阶逻辑为以后续课打下了各方面的条件，使得数理逻辑更加完美。
图论是以图为基本元素，而图的定义是：人们常用点表示事物，用点与点之间是否有某种关系，这样构成的图形就是图论中的图。从这种定义可把数理逻辑的每一个章节的推理公式分为不同的点，而每一章就相当于图论中的图。数理逻辑的各章间的关系就是图与图之间的关系，形成图论的基本要素。从点与点的紧密联系，图与图之间的各项关系，可以看出离散数学是一门严谨的学科，虽然离散字面散而其内神不散。
参考文献：屈婉玲、耿素云、张立昂编《离散数学》。
完成时间：2010年6月10日
第18篇：离散相 感想1
①离散相计算步骤：
首先根据所分析的物理问题判断离散相与连续相的耦合关系：分为单相耦合和双相耦合
单相耦合：离散相对连续相影响很小无需设置相间耦合 双相耦合：离散相对连续相影响较大需要设置相间耦合 单相耦合问题：只要在加入离散相粒子前计算连续相流场直至收敛，然后打开离散相模型，加入离散相粒子，无需迭代计算因为已经计算收敛流场稳定了；
双相耦合问题：计算开始前打开离散相模型加入离散相粒子，初始化流场，设置相间耦合、每多少步连续相计算后进行离散相轨道计算，然后将更新后的离散相动量与能量加入下一次的连续相方程计算中，收敛稳定后，进行离散相后处理或观察连续相流场情况。 ②离散相时间步的一些概念：
particle time step size仅当采用非稳态方式进行颗粒轨迹计算时才会用到，是进行颗粒轨迹计算的时间间隔步长。后者是隔多长时间做一次颗粒轨迹的计算，让颗粒前进一次；前者是进行颗粒轨迹计算时所用的积分时间步长。在离散相非稳态计算中，粒子是以particle time step size的时间步长来喷射颗粒的，颗粒喷射完之后就要跟踪其轨迹，这时又要用到积分时间步长的概念，由于两次喷射之间的时间间隔是particle time step size，这就要求积分时间步长一定要小于或者等于particle time step size，否则颗粒就会“走过头”。
如果选择Track with Fluid Flow Time Step ，Inject Particles at会默认选择Fluid Flow Time Step ，颗粒在计算连续相前被释放，然后“预算”颗粒轨迹预统计track 、escape数目，再进行连续相计算，在本时间步的最后会更新离散相轨迹，统计track 、escape数目；选择Inject Particles at， Particle Time Step ，时间步长设为0.005，Particle Time Step Size 设为0.001，则粒子在本时间步内释放了五次，可以总结：
Track with Fluid Flow Time Step 则颗粒在一个时间步内只在计算连续相前释放一次；
Inject Particles at,Particle Time Step 则释放次数=时间步长/Particle Time Step Size ③关于Rosin-Rammler分布求分布指数(Spread Parameter)n 步骤：
①首先列出理想直径分布：如下所示
再转化为如下
②依靠该式 求解平均直径和分布指数
n=
④粒子追踪方式：这个xrs333版主整理过下面转载：
DPM模型的颗粒运动方程对时间积分可以得到颗粒运动轨迹。进行分散相颗粒轨迹积分计算的方式有两种：稳态追踪方式和非稳态追踪方式。不论连续相的求解是稳态还是非稳态的，都可以采用这两种方式，但是其意义是不同的。 (1) 颗粒轨迹稳态追踪方式
所谓稳态方式是指每隔若干个连续相流场迭代步（如非耦合分散相计算，则在连续相迭代收敛后，进行结果数据处理时），在当前流场状态下，逐个地对每个颗粒进行从起始位置直到其终了（即颗粒到达计算域边界或已完全蒸发，或轨迹追踪已达最大步数）的轨迹积分计算及源项计算。稳态方式得到某一时刻连续相流场条件下在一系列积分时间步的颗粒状态，一系列颗粒位置可连成运动轨迹线。
对于非稳态流动问题，稳态方式的颗粒轨迹积分相当于是计算颗粒在某一时刻的“冻结”流场中的轨迹，其一条轨迹并非某一颗粒的实际运动历程。对于颗粒St
(2) 颗粒轨迹非稳态追踪方式
非稳态方式是指每隔若干个连续相流场迭代步，对每个颗粒进行一轮包括一步或多步的轨迹计算及源项计算，从而将颗粒逐轮、逐步地沿轨迹向前推进，依次得到每一步计算后更新的颗粒状态（位置、速度、尺寸、温度等）。非稳态方式得到某一时刻全部颗粒的当前状态。
采用非稳态追踪方式时，对于连续相稳态求解与非稳态求解两种情况的颗粒轨迹追踪方式不同，相关的选项和输入项也不同，分别说明如下。 a.连续相稳态计算时的颗粒轨迹追踪过程
连续相稳态计算时，为了进行颗粒轨迹的非稳态追踪，分散相与连续相必须是耦合的，即必须选择Interaction with Continuous Phase选项，并指定大于0的Number of Continuous Phase Iterations Per DPM Iteration值。颗粒轨迹追踪方式为，每隔此连续相迭代步数，DPM求解器对每个颗粒进行一轮包含一步或多步的轨迹计算。每一步，DPM求解器计算颗粒从当前状态（位置、速度、尺寸、温度等）起在积分时间（即一个颗粒时间步长）内的运动轨迹以及动量、质量和能量损益，并得到更新的颗粒状态。同时，在每一个颗粒时间步喷射一次颗粒。一轮轨迹计算得到的分散相颗粒的动量、质量和能量损益将在下一个连续相迭代步计入连续相源项。积分时间步长和每一轮的步数由用户给定。这样，随着连续相迭代的进行，颗粒将逐轮、逐步地向前推进。
b.连续相非稳态计算时的颗粒轨迹追踪过程
连续相非稳态求解时，DPM求解器在每一个连续相时间步对每个颗粒进行一轮包含一步或多步的轨迹计算。与连续相稳态计算时相同，在每一步，DPM求解器计算颗粒从当前状态（位置、速度等）起在积分时间内的运动轨迹以及动量、质量和能量损益，并得到更新的颗粒状态。每一步的积分时间以及颗粒喷射时刻的控制见下面所述相关选项和输入项，但不管选择何种方式，每个injection每次喷射的颗粒包总质量总是保证其质量流量。每一轮的步数是与连续相时间步在时间上相重叠的颗粒时间步数。这样，连续相迭代与分散相计算交替进行，颗粒将逐步地向前推进。
Max Number of Steps是在每一步颗粒轨迹计算中的最大积分时间步数，积分时间步达到此数，该步颗粒轨迹计算即停止，并报告颗粒终了状态为incomplete。这两个“步”容易混淆，前者是“大步”；后者是“小步”，是数值积分时间步。
在一步颗粒轨迹计算中，积分时间步长约等于颗粒经过一个控制容积所需时间除以Step Length Factor，也就是颗粒分几步走过一个控制容积的每一步时长；另一种给定积分时间步长的方法是选择Specify Length Scale选项，这时，积分时间步长约等于所给的长度尺度（Length Scale）除以颗粒相对于连续相的速度大小。而积分步数约等于颗粒时间步长（Particle Time Step Size）除以积分时间步长，但以Max Number of Steps为限。因此，如Max Number of Steps不够大，则未到颗粒时间步长就结束一个颗粒时间步，并转入下一个颗粒时间步，因而颗粒终了状态报告为incomplete。
下面是个人的一些补充需要注意的：
1.稳态追踪方式中主要就是注意轨道计算的时间步长Max Number of Steps，个人认为这个是稳态追踪中关键的参数不之一适当设大一点才能保证得到较完整的轨迹；
2.稳态追踪方式主要还是在单相耦合计算中用处较大，用于在得到稳定流场后加入离散相粒子，计算轨迹；
3.非稳态追踪方式在瞬态计算中要注意的比较多，因为涉及到的时间步长概念多一些，②中已经总结了一部分，非稳态追踪初始接触时容易被忽略的就是start time 和end time的设置，这两个参数对计算影响很大，是决定粒子释放时间的关键参数，要根据自己的实际问题来设定；
暂时就这么多 大家还有什么问题和意见感想在论坛上多交流吧，流体中文网论坛是一个解决问题的学习的好地方！
第19篇：离散数学试题与答案
《离散数学》试题及答案
一、选择题：本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题公式(PQ)Q为 ()
(A) 矛盾式 (B) 可满足式(C) 重言式 (D) 合取范式
2．设P表示“天下大雨”， Q表示“他在室内运动”，则命题“除非天下大雨，否则他不在室内运动”符号化为（）。
(A)． PQ； (B)．PQ；(C)．PQ； (D)．PQ．
3.设集合A={{1,2,3}, {4,5}, {6,7,8}}，则下式为真的是()
(A) 1A(B) {1,2, 3}A
(C) {{4,5}}A(D) A
4.设A＝{1,2},B={a,b,c},C={c,d}, 则A×(BC)= ()
(A) {,}(B) {,}(C) {,}(D) {,}
5.设G如右图：那么G不是().(A)哈密顿图；(B)完全图；
(C)欧拉图；(D)平面图.二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20
6.设集合A={,{a}}，则A的幂集P(A7.设集合A={1,2,3,4 }, B={6,8,12}, A到B的关系R＝{x,yy2x,xA,yB},
那么R1＝－
8.在“同学，老乡，亲戚，朋友”四个关系中_______是等价关系.9.写出一个不含“”的逻辑联结词的完备集.
10.设X＝{a,b,c}，R是X上的二元关系，其关系矩阵为
101，那么R的关系图为 MR＝100100
三、证明题（共30分）
11.（10分）已知A、B、C是三个集合，证明A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
12.（10分）构造证明：(P(QS))∧(R∨P)∧QRS
（0,1）13.（10分）证明与[0,1)，[0,1)与[0,1]等势。
四、解答题(共35分)
14.（7分）构造三阶幻方（以1为首项的9个连续自然数正好布满一个33方阵，且方阵中的每一行, 每一列及主、副对角线上的各数之和都相等.）
15.（8分） 求命题公式(PQ)(PQ)的真值表.16.（10分）设R1是A1＝{1,2}到A2＝(a,b,c)的二元关系，R2是A2到A3＝{,}的二元关系，R1= {,,}, R2={,}
毕节学院《离散数学 》课程试卷
求R1R2的集合表达式.
17.（10分）某项工作需要派A、B、C和D 4个人中的2个人去完成，按下面3个条件，有几种派法？如何派？
三个条件：(1)若A去，则C和D中要去1个人；(2)B和C不能都去；
(3)若C去，则D留下。
一、单项选择题(每小题3分，共15分)
1.B2.C3.C4.A5.B
二、填空题(每小题4分，共20分)
6.{,{},{{a}},{,{a}}}
7.{, }8.老乡
9.{,}或{,} 或 {}或 {}
10.见
f(0)0111························································································ 10分 ,n1,A ·f()n1nn
f(x)x,x[0,1)A
14.
8
9 5 1 2 7 6
填对每个格得1分。
15.
表中最后一列的数中，每对1个数得2分.
11016.MR1,(2分)001
MR201(4分) 0100
010101(6分) 0000110 MR1R2001
R1R2{1,}(10分)
17.解设A：A去工作；B：B去工作；C：C去工作；D：D去工作。则根据题意应有：ACD，(B∧C)，CD必须同时成立。 ······························································································ 2分 因此(ACD)∧(B∧C)∧(CD)
(A∨(C∧ D)∨(C∧D))∧(B∨C)∧(C∨D)
(A∨(C∧ D)∨(C∧D))∧((B∧C)∨(B∧D)∨C∨(C∧D))
(A∧B∧C)∨(A∧B∧D)∨(A∧C)∨(A∧C∧D)
∨(C∧ D∧B∧C)∨(C∧ D∧B∧D)∨(C∧ D∧C)∨(C∧ D∧C∧D)
∨(C∧D∧B∧C)∨(C∧D∧B∧D)∨(C∧D∧C)∨(C∧D∧C∧D)
F∨F∨(A∧C)∨F∨F∨(C∧ D∧B)∨F∨F∨(C∧D∧B)∨F∨(C∧D)∨F
(A∧C)∨(B∧C∧ D)∨(C∧D∧B)∨(C∧D)
(A∧C)∨(B∧C∧ D)∨(C∧D)
T ··································································································································· 8分
毕节学院《离散数学 》课程试卷
故有三种派法：B∧D，A∧C，A∧D。 ······································································· 10分
毕节学院《离散数学 》课程试卷
第20篇：离散数学试题及解答
离散数学
2^m*n
一、选择题（2*10）
1．令P：今天下雨了，Q：我没带伞，则命题“虽然今天下雨了，但是我没带伞”可符号化为（
（A）P→Q （C）P∧Q
）。
（B）P∨Q （D）P∧Q
2．下列命题公式为永真蕴含式的是（ ）。
（A）Q→（P∧Q） （B）P→（P∧Q） （C）（P∧Q）→P （D）（P∨Q）→Q
3、命题“存在一些人是大学生”的否定是(A)，而命题“所有的人都是要死的”的否定是（
）。
（A）所有人都不是大学生，有些人不会死 （B）所有人不都是大学生，所有人都不会死 （C）存在一些人不是大学生，有些人不会死 （D）所有人都不是大学生，所有人都不会死
4、永真式的否定是（ ）。
（A）永真式 （B）永假式
（C）可满足式 （D）以上均有可能
5、以下选项中正确的是（ ）。
（A）0= Ø
（B）0 Ø
（C）0∈Ø
（D）0∉Ø
6、以下哪个不是集合A上的等价关系的性质？（ ）
（A）自反性
（B）有限性
（C）对称性
（D）传递性
7、集合A={1,2,…,10}上的关系R={|x+y=10,x,y∈A}，则R的性质为（ ）。
（A）自反的
（B）对称的
（C）传递的，对称的 （D）传递的
8．设D=为有向图，V={a, b, c, d, e, f}, E={, , , , }是（ ）。
（A）强连通图 （B）单向连通图 （C）弱连通图 （D）不连通图
9、具有6个顶点，12条边的连通简单平面图中，每个面都是由（ ）条边围成？
（A）
2（B）4
（C）
3 （D）5 10．连通图G是一棵树，当且仅当G中（ ）。
（A）有些边不是割边 （B）每条边都是割边 （C）无割边集
（D）每条边都不是割边
二、填空题（2*10）
1、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是________。
2、设全体域D是正整数集合，则命题xy(xy=y)的真值是______。
3、令R(x):x是实数，Q(x):x是有理数。则命题“并非每个实数都是有理数”的符号化表示为________。
4、公式(PQ)(PQ)化简为________。
5、设A∩B=A∩C，A∩B=A∩C，则B________C。
6、设A={2,4,6}，A上的二元运算*定义为：a*b=max{a,b}，则在独异点中，单位元是________，零元是________。
7、任一有向图中，度数为奇数的结点有________(奇数/偶数)个。8．如下无向图割点是________，割边是________。
三、（10分）设A、B和C是三个集合，则AB(BA)。
。
四、（15分）某项工作需要派A、B、C和D 4个人中的2个人去完成，按下面3个条件，有几种派法？如何派？ (1)若A去，则C和D中要去1个人； (2)B和C不能都去； (3)若C去，则D留下
五、（15分）设A={1,2,3},写出下列图示关系的关系矩阵，并讨论它们的性质：
六、（20分）画一个图使它分别满足： （1）有欧拉回路和哈密尔顿回路； （2）有欧拉回路，但无条哈密尔顿回路； （3）无欧拉回路，但有哈密尔顿回路； （4）既无欧拉回路，又无哈密尔顿回路。
A C
B A C
B A C B 答案：
一、选择题：
2、C
7、B
3、A
8、C
4、B
9、C
5、D
10、B
1、D
6、B
二、填空：
1、2不是偶数且-3不是负数
2、F
3、x(R(x)Q(x))
4、P
5、等于
6、2，6
7、偶数
8、d，e5
三、证明：
ABx(x∈A→x∈B)∧x(x∈B∧xA)x(xA∨x∈B)∧x(x∈B∧xA) x(x∈A∧xB)∧x(xB∨x∈A)x(x∈A∧xB)∨x(x∈A∨xB) (x(x∈A∧xB)∧x(x∈A∨xB))(x(x∈A∧xB)∧x(x∈B→x∈A)) (BA)。
四、解
设A：A去工作；B：B去工作；C：C去工作；D：D去工作。则根据题意应有：ACD，(B∧C)，CD必须同时成立。因此 (ACD)∧(B∧C)∧(CD) (A∨(C∧ D)∨(C∧D))∧(B∨C)∧(C∨D) (A∨(C∧ D)∨(C∧D))∧((B∧C)∨(B∧D)∨C∨(C∧D)) (A∧B∧C)∨(A∧B∧D)∨(A∧C)∨(A∧C∧D) ∨(C∧ D∧B∧C)∨(C∧ D∧B∧D)∨(C∧ D∧C)∨(C∧ D∧C∧D) ∨(C∧D∧B∧C)∨(C∧D∧B∧D)∨(C∧D∧C)∨(C∧D∧C∧D) F∨F∨(A∧C)∨F∨F∨(C∧ D∧B)∨F∨F∨(C∧D∧B)∨F∨(C∧D)∨F (A∧C)∨(B∧C∧ D)∨(C∧D∧B)∨(C∧D) (A∧C)∨(B∧C∧ D)∨(C∧D) T 故有三种派法：B∧D，A∧C，A∧D。
五、
000（1）R={,,};MR=101;它是反自反的、反对称的、传递的；
100011（2）R={,,,,,};MR=101;它是反自反的、
110对称的；
011（3）R={,,,};MR=100;它既不是自反的、反自反的、
001也不是对称的、反对称的、传递的。
六、
