立体几何证明题举例
(2012·江苏)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1＝A1C1，D、E分别是棱BC、CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点． 求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；
(2)直线A1F∥平面ADE.证明 (1)因为ABC A1B1C1是直三棱柱， 所以C C1⊥平面ABC.
又AD⊂平面ABC，所以C C1⊥AD.
又因为AD⊥DE，C C1，DE⊂平面BC C1 B1，
C C1∩DE＝E，
所以AD⊥平面BC C1 B1.
又AD⊂平面ADE，
所以平面ADE⊥平面BC C1 B1.
(2)因为A1 B1＝A1 C1，F为B1 C1的中点，所以A1F⊥B1 C1.因为C C1⊥平面A1 B1 C1，且A1F⊂平面A1 B1 C1， 所以C C1⊥A1F.
又因为C C1，B1 C1⊂平面BC C1 B1，C C1∩B1 C1＝C1， 所以A1F⊥平面BC C1 B1.
由(1)知AD⊥平面BC C1 B1，所以A1F∥AD
.
又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，所以A1F∥平面ADE
【例1】如图，在平行四边形ABCD中，CD＝1，∠BCD＝60°，且BD⊥CD，正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直，G、H分别是DF、BE的中点．
(1)求证：BD⊥平面CDE；
(2)求证：GH∥平面CDE；
(3)求三棱锥D－CEF的体积．
[审题导引] (1)先证BD⊥ED，BD⊥CD，可证BD⊥平面CDE；
(2)由GH∥CD可证GH∥平面CDE；
(3)变换顶点，求VC－DEF.
[规范解答] (1)证明 ∵四边形ADEF是正方形，
∴ED⊥AD，
又平面ADEF⊥平面ABCD，
平面ADEF∩平面ABCD＝AD.
∴ED⊥平面ABCD，∴ED⊥BD.
又BD⊥CD，且ED∩DC＝D，
∴BD⊥平面CDE.
(2)证明 ∵G是DF的中点，又易知H是FC的中点，
∴在△FCD中，GH∥CD，
又∵CD⊂平面CDE，GH⊄平面CDE，
∴GH∥平面CDE.
(3)设Rt△BCD中，BC边上的高为h，
∵CD＝1，∠BCD＝60°，BD⊥CD，
11∴BC＝2，BD3，∴2×2×h＝2×3，
33∴h＝2C到平面DEF2，
1133∴VD－CEF＝VC－DEF＝2×＝.3223
【例2】如图所示，已知在三棱锥A－BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．
(1)求证：DM∥平面APC；
(2)求证：平面ABC⊥平面APC；
(3)若BC＝4，AB＝20，求三棱锥D－
BCM的体积．
[审题导引] (1)只要证明MD∥AP即可，根据三角形中位线定理可证；
(2)证明AP⊥BC；
(3)根据锥体体积公式进行计算．
[规范解答] (1)证明 由已知，得MD是△ABP的中位线，所以MD∥AP.又MD⊄平面APC，AP⊂平面APC，故MD∥平面APC.
(2)证明 因为△PMB为正三角形，D为PB的中点，
所以MD⊥PB.所以AP⊥PB.
又AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC.
因为BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC.
又BC⊥AC，AC∩AP＝A，
所以BC⊥平面APC.
因为BC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面APC.
(3)由题意，可知MD⊥平面PBC，
所以MD是三棱锥D－BCM的一条高，
11所以VM－DBC＝S△BCD×MD＝221×53＝107.
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