案例28：数学归纳法的引入
教师：本章我们研究了数列，例如数列{n-n}.数列{4-1}等，可有人发现，这两个数列的各个数都是3的倍数，也就是说，对于任意自然数n,n-n和4-1都是3的倍数。我们不妨算几个数试试，……
教师：好象确实都是3的倍数。但我们不能仅仅根据所算的几个数就断定它们是3的倍数呀。看来得给出它们的数学证明。
教师：如果证明这个性质对于有限个自然数成立，那应该好办，可以一个一个地验证，至少理论上可以这样做。可是现在要证明这个性质对所有的自然数成立，而自然数的个数是无限的，显然没有办法一个一个地验证了。为此，我们可以先看看自然数有什么好的性质。所有自然数是可以一个一个地排起来的，也就是说，它有个开始的第1个数1，而且知道了一个数就可以推知后面的一个数。那现在要证明一个命题对所有的自然数都成立，我们也可以类似的思考，只要能够保证这个命题对于第1个自然数成立，而且当该命题对前一个自然数成立时可以推知它对后一个自然数也成立，这样由1成立可以推出2成立，由2成立又可以推知3成立，依次类推，4，5，……，这样该命题就对所有的命题成立了。这就像在电视里看到的“多米诺”骨牌一样，如果骨牌排列的好，前一个骨牌倒下时能够保证后一个骨牌也接着倒下，那么我们只要先将第1个骨牌推倒就可以将所有的骨牌都推倒了。
因此，证明的步骤有两步：第1步，证明该命题对于最小的自然数1成立；第2步，证明由n=k时命题成立可以推知n=k+1时命题也成立。
下面我们一起来证明第1个问题：对于所有的自然数n, n-n都能被3整除。 33n3n
《数学归纳法的引入2.doc》
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