2018年07月05日竹月梦舞的高中数学组卷
一．解答题（共22小题）
1．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且acosB+bsinA=c． （1）求角A的大小； （2）若，△ABC的面积为
，求b+c的值．
2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知2ccosB=2a﹣b． （1）求C；
（2）若AB=AC，D是△ABC外的一点，且AD=2，CD=1，则当∠D为多少时，平面四边形ABCD的面积S最大，并求S的最大值．
3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知2ccosB=2a﹣b． （Ⅰ）求C；
（Ⅱ）当c=3时，求a+b的取值范围．
4．△ABC中，角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，且（2a+c）cosB+bcosC=0． （1）求角B的大小； （2）若b=2，a+c=4，求△ABC的面积．
5．已知△ABC的三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且2cosB（ccosA+acosC）=b．
（1）证明：A，B，C成等差数列； （2）若△ABC的面积为
，求b的最小值．
6．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2． （1）求cosB；
（2）若a+c=6，△ABC的面积为2，求b．
7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足（+A）•sin（﹣A）
cos2A+1=4sin（Ⅰ）求角A的值； （Ⅱ）若a=，且b≥a，求
b﹣c的取值范围．
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8．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且=﹣．
（1）求角B的大小； （2）若b=，a+c=4，求a的值．
9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c． （Ⅰ）若c=2，，且△ABC的面积
，求a，b的值；
（Ⅱ）若sinC+sin（B﹣A）=sin2A，试判断△ABC的形状． 10．已知a、b、c分别是△ABC的内角A、B、C对的边，．
（1）若，△ABC的面积为
，求c；
（2）若，求2a﹣c的取值范围．
11．在△ABC中，D为BC边上一点，AD=BD，AC=4，BC=5． （1）若∠C=60°，求△ABC外接圆半径R的值； （2）设∠CAB﹣∠B=θ，若
，求△ABC的面积．
12．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且．
（Ⅰ）且角A的大小； （Ⅱ）已知，求△ABC面积的最大值．
13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c． （1）若acosB+bcos（B+C）=0，证明：△ABC为等腰三角形； （2）若角A，B，C成等差数列，b=2．求△ABC面积的最大值． 14．在△ABC中，已知4sinAcos2A﹣cos（B+C）=sin3A+．
（Ⅰ）求A的值；
（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形，b=2，求c的取值范围．
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，
15．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且满足2bcosC=2a﹣c．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若△ABC的面积为
，求b的取值范围．
ac． 16．在△ABC中，a2+c2﹣b2=﹣（1）求B； （2）求sinA+sinC的取值范围．
sinBsinC． 17．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且sin2A=sin2B+sin2C+（1）求A的大小；
（2）求sinB+cosC的取值范围．
18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bcosA+asinB=0． （1）求角A的大小； （2）已知，△ABC的面积为1，求边a．
）19．已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边，且2asin（C+=b．
（1）求角A的值：
（11）若AB=3，AC边上的中线BD的长为
，求△ABC的面积．
20．在△ABC 中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cosA=． ①求②若
的值．
，求△ABC的面积S的最大值．
21．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量
与（1）求的值；
平行．
（2）若bcosC+ccosB=1，△ABC周长为5，求b的长． 22．如图，在△ABC中，AB=2，cosB=，点D在线段BC上． （1）若∠ADC=π，求AD的长； （2）若BD=2DC，△ACD的面积为
，求的值．
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2018年07月05日竹月梦舞的高中数学组卷
参考答案与试题解析
一．解答题（共22小题）
1．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且acosB+bsinA=c． （1）求角A的大小； （2）若，△ABC的面积为
，求b+c的值．
【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．
【专题】38：对应思想；49：综合法；58：解三角形．
【分析】（1）利用正弦定理和三角形内角和定理与三角恒等变换求得A的值； （2）由三角形面积公式和余弦定理，即可求得b+c的值． 【解答】解：（1）△ABC中，acosB+bsinA=c， 由正弦定理得：sinAcosB+sinBsinA=sinC， 又sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB， ∴sinBsinA=cosAsinB， 又sinB≠0， ∴sinA=cosA， 又A∈（0，π）， ∴tanA=1，A=；
bc=
， （2）由S△ABC=bcsinA=解得bc=2﹣；
又a2=b2+c2﹣2bccosA， ∴2=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣（2+
）bc=2+（2+
）bc， ）（2﹣
）=4， ∴（b+c）2=2+（2+∴b+c=2．
【点评】本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，是基础题．
2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知2ccosB=2a﹣b．
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（1）求C；
（2）若AB=AC，D是△ABC外的一点，且AD=2，CD=1，则当∠D为多少时，平面四边形ABCD的面积S最大，并求S的最大值． 【考点】HT：三角形中的几何计算．
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．
【分析】（1）由正弦定理得：2sinCcosB=2sinA﹣sinB，推导出2sinBcosC=sinB，从而cosC=，由此能求出C． （2）由AB=AC，，4cosθ=5﹣4cosθ，从而S=S△ABC+S△ADC=出平面四边形ABCD的面积S取最大值．
【解答】解：（1）∵在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知2ccosB=2a﹣b．
∴由正弦定理得：2sinCcosB=2sinA﹣sinB， 又A=π﹣（B+C），
∴2sinC•cosB=2sin（B+C）﹣sinB=2sinBcosC+2cosBsinC﹣sinB， 2sinBcosC=sinB， ∵sinB≠0，∴cosC=， ∵0＜C＜π，∴C=（2）∵AB=AC，设AC=x，∠D=θ， ∵AD=2，CD=1，∴
，
=sinθ，
由余弦定理得AC2=x2=1+4﹣4cosθ=5﹣4cosθ， ∴S=S△ABC+S△ADC==
，得△ABC是等边三角形，设AC=x，∠D=θ，则
=sinθ，由余弦定理得AC2=x2=1+4﹣+sinθ=
+2sin（
），由此能求．
，∴△ABC是等边三角形，
+sinθ
（5﹣4cosθ）+sinθ
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==+sinθ﹣+2sin（
），
，
）=1，即θ=
时，
． ∵0＜θ＜π，∴0∴当sin（平面四边形ABCD的面积S取最大值【点评】本题考查觚求法，考查平面四边形的面积的最大值的求法，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知2ccosB=2a﹣b． （Ⅰ）求C；
（Ⅱ）当c=3时，求a+b的取值范围． 【考点】HP：正弦定理．
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．
【分析】（Ⅰ）由已知及正弦定理，三角函数恒等变换的应用可得2sinB•cosC=sinB，结合sinB≠0，可求（Ⅱ）由正弦定理得：可得a+b=6sin（A+
），由范围
，结合范围0＜C＜π，可求C的值．
，利用三角函数恒等变换的应用，可得
，利用正弦函数的性质可得a+b的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）∵由正弦定理可得：2sinCcosB=2sinA﹣sinB， 又∵A=π﹣（B+C），
∴2sinC•cosB=2sin（B+C）﹣sinB=2sinB•cosC+2cosB•sinC﹣sinB， ∴2sinB•cosC=sinB， ∵sinB≠0， ∴，
∵0＜C＜π， ∴．
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（Ⅱ）∵由正弦定理：得：∴
，
∵∴∴a+b∈（3，6]． ，
，
，
，
=【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．
4．△ABC中，角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，且（2a+c）cosB+bcosC=0． （1）求角B的大小； （2）若b=2，a+c=4，求△ABC的面积．
【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．
【专题】15：综合题；33：函数思想；4R：转化法；58：解三角形． 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式，即可求角B的大小； （2）利用余弦定理求出ac的值，即可求△ABC的面积． 【解答】解：（1）∵（2a+c）cosB+bcosC=0， ∴（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC=0 2sinAcosB+sin（B+C）=0， 即2sinAcosB+sinA=0， ∴cosB=﹣，即B=（2）若b=
；
，a+c=4，
则b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac﹣2accosB， 即12=16﹣2ac+ac， 则ac=4， ∵a+c=4，
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∴a=c=2，
则△ABC的面积S=acsinB=×2×2×
=
．
【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，考查三角形的面积公式，考查运算能力，属于中档题．
5．已知△ABC的三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且2cosB（ccosA+acosC）=b．
（1）证明：A，B，C成等差数列； （2）若△ABC的面积为
，求b的最小值．
【考点】HT：三角形中的几何计算．
【专题】35：转化思想；56：三角函数的求值；58：解三角形．
【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理求出结果． （2）利用余弦定理和三角形的面积公式求出结果． 【解答】证明：（1）因为2cosB（ccosA+acosC）=b， 所以由正弦定理得2cosB（sinCcosA+sinAcosC）=sinB， 即2cosBsin（A+C）=sinB．
在△ABC中，sin（A+C）=sinB且sinB≠0， 所以．
因为B∈（0，π）， 所以．
又因为A+B+C=π， 所以．
所以A，B，C成等差数列． （2）因为所以ac=6．
所以b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac≥ac=6， 当且仅当a=c时取等号．
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，
所以b的最小值为．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理的应用．三角形面积公式
6．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2． （1）求cosB；
（2）若a+c=6，△ABC的面积为2，求b．
【考点】GS：二倍角的三角函数；HP：正弦定理．
【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；58：解三角形．
【分析】（1）利用三角形的内角和定理可知A+C=π﹣B，再利用诱导公式化简sin（A+C），利用降幂公式化简8sin2，结合sin2B+cos2B=1，求出cosB， （2）由（1）可知sinB=b．
【解答】解：（1）sin（A+C）=8sin2， ∴sinB=4（1﹣cosB）， ∵sin2B+cos2B=1，
∴16（1﹣cosB）2+cos2B=1， ∴16（1﹣cosB）2+cos2B﹣1=0，
∴16（cosB﹣1）2+（cosB﹣1）（cosB+1）=0， ∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）=0， ∴cosB=；
，
，利用勾面积公式求出ac，再利用余弦定理即可求出（2）由（1）可知sinB=∵S△ABC=ac•sinB=2， ∴ac=，
∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣2×
×
=a2+c2﹣15=（a+c）2﹣2ac﹣15=36﹣17﹣15=4，
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∴b=2．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的面积公式，二倍角公式和同角的三角函数的关系，属于中档题
7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足（+A）•sin（﹣A）
cos2A+1=4sin（Ⅰ）求角A的值； （Ⅱ）若a=，且b≥a，求
b﹣c的取值范围．
【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．
【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；57：三角函数的图像与性质；58：解三角形．
【分析】（Ⅰ）由三角函数恒等变换的应用化简已知可得sin2A=1，结合范围2A∈（0，2π），可求A的值．
（Ⅱ）利用正弦定理可得b=2sinB，c=2sinC，利用三角函数恒等变换的应用化简可得b﹣c=2sin（B﹣
），结合范围0≤B﹣
＜
，利用正弦函数的性质即可得解．
【解答】（本题满分为12分） 解：（Ⅰ）∵∴cos2A+1=4sin（
﹣2A）=
+A）•sin（
﹣A）=2sin（
﹣2A），
cos2A+1=2sin（cos2A+sin2A，可得：sin2A=1，
∵A∈（0，π），2A∈（0，2π）， ∴2A=，可得：A=，a=
．…6分 ， （Ⅱ）∵A=∴由∴b﹣c=2=2，得b=2sinB，c=2sinC， sinB﹣2sinC=
2sinB﹣2sin（
﹣B）=2sin（B﹣
）．
∵b≥a， ∴≤B＜，即0≤B﹣
＜
，
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∴b﹣c=2sin（B﹣）∈[0，2）．…12分
【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
8．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且（1）求角B的大小； （2）若b=，a+c=4，求a的值．
=﹣．
【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理． 【专题】15：综合题．
【分析】（1）根据正弦定理化简已知的等式，再利用两角和的正弦函数公式及诱导公式化简后，由sinA不为0，即可得到cosB的值，根据B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（2）利用余弦定理得到b2=a2+c2﹣2accosB，配方后把b，a+c及cosB的值代入，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值． 【解答】解：（1）由正弦定理得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC， 代入=﹣
，
=
=
=2R，得
即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0， 化简得：2sinAcosB+sin（B+C）=0， ∵A+B+C=π， ∴sin（B+C）=sinA， ∴2sinAcosB+sinA=0， ∵sinA≠0，∴cosB=﹣， 又∵角B为三角形的内角，∴B=（2）将b=，a+c=4，B=
，
；
代入余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，得
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13=a2+（4﹣a）2﹣2a（4﹣a）cos∴a2﹣4a+3=0， ∴a=1或a=3．
，
【点评】此题考查了正弦定理，余弦定理以及三角函数的恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c． （Ⅰ）若c=2，，且△ABC的面积
，求a，b的值；
（Ⅱ）若sinC+sin（B﹣A）=sin2A，试判断△ABC的形状． 【考点】GZ：三角形的形状判断；HP：正弦定理．
【专题】11：计算题．
【分析】（Ⅰ）根据余弦定理，得c2=a2+b2﹣ab=4，由三角形面积公式得，两式联解可得到a，b的值；
（Ⅱ）根据三角形内角和定理，得到sinC=sin（A+B），代入已知等式，展开化简合并，得sinBcosA=sinAcosA，最后讨论当cosA=0时与当cosA≠0时，分别对△ABC的形状的形状加以判断，可以得到结论．
【解答】解：（Ⅰ）由余弦定理 及已知条件得，a2+b2﹣ab=4，…．（3分） 又因为△ABC的面积等于联立方程组
，所以
，得ab=4．（5分）
解得a=2，b=2．（7分）
（Ⅱ）由题意得：sinC+sin（B﹣A）=sin2A 得到sin（A+B）+sin（B﹣A）=sin2A=2sinAcoA 即：sinAcosB+cosAsinB+sinBcosA﹣cosBsinA=2sinAcoA 所以有：sinBcosA=sinAcosA，（10分） 当cosA=0时，，△ABC为直角三角形（12分）
当cosA≠0时，得sinB=sinA，由正弦定理得a=b， 所以，△ABC为等腰三角形．（14分）
【点评】本题考查了正弦定理与余弦定理的应用，属于中档题．熟练掌握三角函
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数的有关公式，是解好本题的关键．
10．已知a、b、c分别是△ABC的内角A、B、C对的边，（1）若（2）若，△ABC的面积为
，求c；
．
，求2a﹣c的取值范围．
【考点】HT：三角形中的几何计算．
【专题】35：转化思想；4R：转化法；58：解三角形．
【分析】（1）根据三角形的面积公式，即可求得a，根据余弦定理，即可求得c的值；
（2）根据正弦定理，分别求得a=﹣2sinC=2围．
【解答】解：（1）∵∴由三角形的面积公式S=由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=∴c的值为，
；
=2R．
=2sinC，
=2sinA，c==2sinC，则2a﹣c=4sinAcosC，，根据余弦函数的性质即可求得2a﹣c的取值范
，△ABC的面积为，， ，则a=2．
．
（2）由正弦定理得∴a=∴=∵∴∴∴ =2sinA，c=
，
，
， ，
，
第14页（共26页）
∴2a﹣c的取值范围为．
【点评】本题考查正弦定理及余弦定理的应用，考查三角形的面积公式及余弦函数的性质，考查计算能力，属于中档题．
11．在△ABC中，D为BC边上一点，AD=BD，AC=4，BC=5． （1）若∠C=60°，求△ABC外接圆半径R的值； （2）设∠CAB﹣∠B=θ，若
，求△ABC的面积．
【考点】HT：三角形中的几何计算．
【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；58：解三角形．
【分析】（1）利用余弦定理表示出AB，再利用正弦定理即可求出外接圆半径R； （2）根据正弦定理余弦定理和三角形面积公式即可求出
【解答】解：（1）由余弦定理，得AB2=BC2+AC2﹣2BC•AC•cos60°=21， 解得．
． 由正弦定理得，（2）设CD=x，则BD=5﹣x，AD=5﹣x， ∵AD=BD，∴∠B=∠DAB．
∴∠CAD=∠CAB﹣∠DAB=∠CAB﹣∠B=θ． ∵∴即∴BD=AD=3． ∵， ，∴
，
，解得x=2．
．
第15页（共26页）
∴∴
．
．
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
12．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
，
，（Ⅰ）且角A的大小； （Ⅱ）已知，求△ABC面积的最大值．
【考点】HR：余弦定理．
【专题】35：转化思想；4R：转化法． 【分析】（Ⅰ）根据（Ⅱ）根据A的大小和
．建立关系，利用正弦定理化简可得角A的大小
，利用余弦定理建立关系，与不等式基本性质求出bc的最大值，可得△ABC面积的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）由且
，
，
，
在△ABC中，由正弦定理：a：b：c=sinA：sinB：sinC， 可得：sinAcosC=（2sinB﹣sinC）cosA，
∴sinAcosC+cosAsinC=2sinBcosA=sin（A+C）=sinB， 而在△ABC中，sinB＞0， ∴，
．
第16页（共26页）
（Ⅱ）在△ABC中，b=c时，等号成立）， 即又∴
， ，
，
．
（当且仅当因此，△ABC面积的最大值为【点评】本题考查了向量的运算、正余弦定理、基本不等式的性质的综合运用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c． （1）若acosB+bcos（B+C）=0，证明：△ABC为等腰三角形； （2）若角A，B，C成等差数列，b=2．求△ABC面积的最大值． 【考点】HT：三角形中的几何计算．
【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．
【分析】（1）由acosB+bcos（B+C）=0，得sinAcosB﹣sinBcosA=0，从而sin（A﹣B）=0，进而A=B，由此能证明△ABC为等腰三角形． （2）由角A，B，C成等差数列，
，得到4+ac=a2+c2，由a2+c2≥2ac，得到ac≤4（当且仅当a=c时，取等号），由此能求出△ABC面积的最大值． 【解答】证明：（1）由acosB+bcos（B+C）=0， 得：sinAcosB+sinBcos（π﹣A）=0 即sinAcosB﹣sinBcosA=0，
即sin（A﹣B）=0，即A﹣B=kπ，k∈Z，
又因为A，B是三角形的内角，A﹣B=0，即A=B， ∴△ABC为等腰三角形．…（6分） 解：（2）因为角A，B，C成等差数列，所以b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac
即4+ac=a2+c2，因为a2+c2≥2ac（当且仅当a=c时，取等号）
第17页（共26页）
，
即4+ac≥2ac，即ac≤4（当且仅当a=c时，取等号） 故
，
…（12分） 故△ABC面积的最大值为【点评】本题考查三角形为等腰三角形的证明，考查三角形的最大面积的求法，考查三角形面积、正弦定理、余弦定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
14．在△ABC中，已知4sinAcos2A﹣（Ⅰ）求A的值；
（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形，b=2，求c的取值范围． 【考点】HT：三角形中的几何计算．
cos（B+C）=sin3A+．
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图像与性质． 【分析】（Ⅰ）由二倍角公式、诱导公式、同角三角函数关系式、三角函数恒等式推导出sinA+
﹣
=0，从而2sin（A+
）=
，由此能求出A的值． ＜C＜
，由此能求出c的（Ⅱ）由△ABC为锐角三角形，b=2，A=取值范围．
，得到【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵4sinAcos2A﹣∴4×2sinAcos2A+2sinA+
+
cosA=sin（A+2A）+
，
cos（B+C）=sin3A+．
=sinAcos2A+cosAsin2A+
cosA﹣
=0，
，
∴sinAcos2A﹣cosAsin2A+2sinA+∴sinA+∴2sin（A+﹣）==0， ， ． ∵0＜A＜π，∴A=（Ⅱ）∵△ABC为锐角三角形，b=2，A=∴30°＜C＜90°， ∴＜c＜2×2，即1＜c＜4．
，
∴c的取值范围是（1，4）．
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【点评】本题考查三角形中角的求法，考查边的取值范围的求法，考查二倍角公式、诱导公式、同角三角函数关系式、三角函数恒等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
15．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且满足2bcosC=2a﹣c．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若△ABC的面积为
，求b的取值范围．
【考点】HT：三角形中的几何计算．
【专题】35：转化思想；4R：转化法；58：解三角形．
【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简，结合和与差的公式即可求B；
（Ⅱ）利用三角形面积公式和余弦定理建立关系，结合基本不等式的性质即可得b的取值范围．
【解答】解：（1）由正弦定理得2sinBcosC=2sinA﹣sinC 在△ABC中，sinA=sin（B+C）=sinBcosC+sinCcosB ∴2sinBcosC=2sinBcosC+2sinCcosB﹣sinC 即2sinCcosB=sinC ∵0＜C＜π，sinC≠0 ∴cosB=， ∵0＜B＜π， ∴B=
（Ⅱ）三角形面积公式S=acsinB=可得：ac=4．
=，
由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac≥ac=4 当且仅当a=c2时，“=”成立， ∴b≥2．
∴b的取值范围是[2，+∞）．
【点评】本题考查了正余弦定理的应用和计算，基本不等式的性质的应用．属于
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基础题．
16．在△ABC中，a2+c2﹣b2=﹣（1）求B； （2）求sinA+sinC的取值范围．
ac．
【考点】HT：三角形中的几何计算．
【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；58：解三角形． 【分析】（1）根据题意，由余弦定理可得cosB=分析可得答案；
（2）根据题意，分析可得
sinA+sinC=
sin（
+C）+sinC=cosC，分析C的范
=﹣
，由B的范围，围，即可得cosC的取值范围，又由cosC=【解答】解：（1）根据题意，a2+c2﹣b2=﹣则cosB=又由0＜B＜π， B=；
sinA+sinC==﹣
，
sinA+sinC即可得答案． ac，
（2）根据题意，又由0＜C＜即，则
sin（B+C）+sinC=sin（+C）+sinC=cosC，
＜cosC＜1，
，1）． sinA+sinC的取值范围为（【点评】本题考查三角形中的几何计算，注意结合角的范围，正确求出角的值．
17．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且sin2A=sin2B+sin2C+（1）求A的大小；
（2）求sinB+cosC的取值范围．
【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．
sinBsinC．
【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；56：三角函数的求值． 【分析】（1）根据题意，由正弦定理可得a2=b2+c2+﹣a2，由余弦定理分析可得cosA=
bc，变形可得﹣
bc=b2+c
2，计算可得答案；
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（2）根据题意，由A=，可得B+C=，则sinB+cosC=
sin（
sin（﹣C），求出﹣C的范围，由正弦函数的性质分析可得得答案．
﹣C）的取值范围，即可【解答】解：（1）根据题意，在△ABC中，若sin2A=sin2B+sin2C+则有a2=b2+c2+即﹣bc，
sinBsinC，
bc=b2+c2﹣a2，
=﹣
， 则cosA=又由0＜A＜π， 则A=；
（2）由（1）可得：A=sinB+cosC=sin（又由0＜C＜则有＜
，则B+C=， sinC=
sin（
﹣C）， ﹣C）+cosC=cosC﹣
＜
﹣C＜
， ，则sin（﹣C）＜；
，）． 即sinB+cosC的取值范围是（【点评】本题考查了正弦、余弦定理的综合应用问题，涉及三角函数的恒等变换，注意灵活运用三角函数恒等变换的公式．
18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bcosA+asinB=0． （1）求角A的大小； （2）已知，△ABC的面积为1，求边a．
【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．
【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；58：解三角形． 【分析】（1）利用余弦定理以及正弦定理，转化求解即可． （2）方法1：通过三角形的面积以及余弦定理，转化求解即可． 方法2：利用三角形的面积以及知解a即可．
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，求出b，c，然后利用余弦定理求
【解答】（本小题满分12分） （1）解：∵bcosA+asinB=0
∴由正弦定理得：sinBcosA+sinAsinB=0﹣﹣﹣（2分）
∵0＜B＜π，∴sinB≠0，∴cosA+sinA=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分） ∵，∴tanA=﹣1﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
又0＜A＜π…（5分） ∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
，S△ABC=1，∴
（2）方法1：解：∵即：又﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
由余弦定理得：（11分） 故：方法2：∵即：又﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
，S△ABC=1，∴
﹣﹣…①﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分） …②
…（9分） 由①②解得：由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=10﹣﹣（11分） 故：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形底面积的求法，考查计算能力．
19．已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边，且2asin（C+=b．
）（1）求角A的值：
（11）若AB=3，AC边上的中线BD的长为【考点】HU：解三角形．
，求△ABC的面积．
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【专题】15：综合题；58：解三角形．
【分析】（1）利用正弦定理，结合和角的正弦公式，即可求角A的值： （2）若AB=3，AC边上的中线BD的长为【解答】解：（1）∵2asin（C+∴2sinAsin（C+∴sinAsinC+∴sinAsinC=∴tanA=∴A=60°； （2）设AC=2x，
∵AB=3，AC边上的中线BD的长为∴13=9+x2﹣2×3×x×cos60°， ∴x=4， ∴AC=8，
∴△ABC的面积S=
=6
． ， ， ）=
）=
b，
，求出AC，再求△ABC的面积．
sin（A+C）， sinAcosC+
cosAsinC， sinAcosC=cosAsinC，
【点评】本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
20．在△ABC 中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cosA=． ①求②若
的值．
，求△ABC的面积S的最大值．
【考点】HU：解三角形． 【专题】11：计算题． 【分析】①根据=
﹣，利用诱导公式cos（
﹣α）=sinα化简所求式子的第一项，然后再利用二倍角的余弦函数公式化为关于cosA的式子，将cosA的值代入即可求出值；
②由cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，根据三角形的
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面积公式S=bcsinA表示出三角形的面积，把sinA的值代入得到关于bc的关系式，要求S的最大值，只需求bc的最大值即可，方法为：根据余弦定理表示出cosA，把cosA的值代入，并利用基本不等式化简，把a的值代入即可求出bc的最大值，进而得到面积S的最大值． 【解答】解：①∵cosA=， ∴==②∴，
，
∴∴．
【点评】此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：诱导公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，三角形的面积公式，以及基本不等式的应用，熟练掌握公式是解本题的关键．
21．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量
与（1）求的值；
平行．
，
， ，
；
，
（2）若bcosC+ccosB=1，△ABC周长为5，求b的长．
【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示；GL：三角函数中的恒等变换应用；HU：解三角形．
【专题】11：计算题．
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【分析】（1）利用向量共线的条件，建立等式，利用正弦定理，将边转化为角，利用和角公式，即可得到结论；
（2）由bcosC+ccosB=1利用余弦定理，求得a，再由（1）计算c，利用△ABC周长为5，即可求b的长． 【解答】解：（1）由已知向量∴b（cosA﹣2cosC）=（2c﹣a）cosB， 由正弦定理，可设﹣ksinA）cosB，
即（cosA﹣2cosC）sinB=（2sinC﹣sinA）cosB，…（3分） 化简可得sin（A+B）=2sin（B+C）， 又A+B+C=π，所以sinC=2sinA， 因此（2）由（1）知
，∴c=2，…（10分） ．…（6分）
，…（8分）
，则（cosA﹣2cosC）ksinB=（2ksinC
与
平行
由a+b+c=5，得b=2．…（12分）
【点评】本题考查向量知识的运用，考查正弦定理、余弦定理，解题的关键是边角互化，属于中档题．
22．如图，在△ABC中，AB=2，cosB=，点D在线段BC上． （1）若∠ADC=π，求AD的长； （2）若BD=2DC，△ACD的面积为
，求
的值．
【考点】HU：解三角形．
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【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形． 【分析】（1）△ABD中，由正弦定理可得AD的长； （2）利用BD=2DC，△ACD的面积为利用正弦定理可得结论．
【解答】解：（1）∵△ABC中，cosB=，∴sinB=∵∠ADC=π，∴∠ADB=△ABD中，由正弦定理可得
．
，∴AD=；
．
，求出BD，DC，利用余弦定理求出AC，（2）设DC=a，则BD=2a， ∵BD=2DC，△ACD的面积为∴4∴a=2 ∴AC=由正弦定理可得=，∴sin∠CAD=
=
4，
，∴sin∠BAD=2sin∠ADB． sin∠ADC， =
，
，
∵sin∠ADB=sin∠ADC， ∴=4．
【点评】本题考查正弦、余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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