三角函数详解

2008．（本小题满分12分）

已知函数f(x)2sin

x4cos

x4

2

x4

．

（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期及最值；



π

，判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由． 3x2



2sin

2

（Ⅱ）令g(x)fx

解：

（Ⅰ）f(x)sin

x4

)sin

x2

xπ

2sin223x



． 

f(x)的最小正周期T

2π12

4π．

当sin

x2



πxπ

时，取得最小值；当 21sinf(x)1时，f(x)取得最大值2．

323

x2

ππ

．又g(x)fx． 33

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)2sin

1

g(x)2sin

2



ππxxπx2cos． 2sin

23322

xx

g(x)2cos2cosg(x)．

22

函数g(x)是偶函数．

2009．（本小题满分12分）

已知函数f(x)Asin(x),xR（其中A0,0,0交点中，相邻两个交点之间的距离为(Ⅰ)求f(x)的解析式；（Ⅱ）当x[【解】

（Ⅰ）由最低点为M(

23

,2)得A2．



223

）的图象与x轴的

,2).



2

，且图象上一个最低点为M(

,



122

]，求f(x)的值域

由x轴上相邻两个交点之间的距离为由点M(故

43

23



2

得

T2





2

，即T，∴

43

2T



2



2．

,2)在图象上得2sin(2

23

)2，即sin(

116

)1，

2k



2

，kZ，∴2k．

又0（Ⅱ）∵x[

当2x

当2x6,2，∴6，故f(x)2sin(2x6[6)． 122]，∴2x73,6]， 

6276，即x6时，f(x)取得最大值2； 2，即x时，f(x)取得最小值1，

故f(x)的值域为[1,2]．

2010.（本小题满分12分

如图，A，B

是海面上位于东西方向相距53海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点

相距C点的救援船立即即前往营救，其航行

速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？

解：由题意知海里，

DBA906030,DAB45,

ADB105

在DAB中，由正弦定理得

ABsinDAB

sinADBDBsinDABABsin

ADB DBsin105sin45cos60sin60cos45

2，

（海里）

又DBCDBAABC30(9060)60,BC海里，

在DBC中，由余弦定理得

CDBDBC2BDBCcosDBC

222

= 30012002CD30（海里），则需要的时间t12900 1（小时）。 30

30

答：救援船到达D点需要1小时。

注：如果认定DBC为直角三角形，根据勾股定理正确求得CD，同样给分。

2011．（本小题满分12分）

叙述并证明余弦定理。

解余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦

之积的两倍。或：在ABC中，a,b,c为A,B,C的对边，有

abc2bccosA

222bac2accosB 222

cab2abcosC 222

证法一 如图 2aBCBC (ACAB)(ACAB) 22AC2ACABAB

2

2AC2ACABCOSAAB

b2bccosAc 22即a2b2c22bccosA 同理可证b2a2c22accosB cab2abcosC 222

证法二 已知ABC中A,B,C所对边分别为a,b,c,以A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则C(bcosA,bsinA),B(c,0),

bcosA2bccosAcbsinA

bac2accosB 22222222aBC22(bcosAc)(bsinA) 22

同理可证 bca2cacosB,

cab2abcosC.222222

2012.（本小题满分12分）

函数f(x)Asin(x

间的距离为

26)1（A0,0）的最大值为3， 其图像相邻两条对称轴之，

（1）求函数f(x)的解析式；

（2）设(0,

2)，则f(

2)2，求的值．

【解析】（Ⅰ）∵函数fx的最大值是3，∴A13，即A2。 ∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为

故函数fx的解析式为f(x)2sin(2x)1。 6

1（Ⅱ）∵f()2sin()12，即sin()， 6622

∵0，∴，∴，故。 6636623

，∴最小正周期T，∴2。

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