河南科技大学工科线性代数综合测试1试卷及答案

河南科技大学工科线性代数综合测试

（一）试卷

河南科技大学

工科线性代数综合测试

（一）试卷

一．填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）请将合适的答案填在每题的空中

12113x是关于x的一次多项式，该式中x的系数为____________． 11k1111k111，且A的秩rA3，则k___________． 1k

1．已知11k

12．已知矩阵A11xy0

3．已知线性方程组2x3y5 有解，则a___________．

2xya

4．设A是n阶矩阵，A0，A*是A的伴随矩阵．若A有特征值，则2A*_________________． 5．若二次型fx1,x2,1必有一个特征值是x32x1x2x32x1x2ax2x3是正定二次型，则a的取值范围是

222______________．

二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内） a11

1．设Aa21a311P201010a12a22a32a13a21a23 ，

Ba11aaa331131a22a12a32a12a23a13a33a130 ，P11010000 ，

100 ，则必有【

】． 1

A.AP1P2B ；

B.AP2P1B ；

C.P1P2AB ；

D.P2P1AB．

2．设A是4阶矩阵，且A的行列式A0，则A中【

】．

A.必有一列元素全为0；

B.必有两列元素成比例；

C.必有一列向量是其余列向量的线性组合；

D.任意列向量是其余列向量的线性组合．

3．设A是56矩阵，而且A的行向量线性无关，则【

】．

A.A的列向量线性无关；

河南科技大学工科线性代数综合测试

（一）试卷

B.线性方程组AXB的增广矩阵A的行向量线性无关；

C.线性方程组AXB的增广矩阵A的任意四个列向量线性无关；

D.线性方程组AXB有唯一解．

4．设矩阵A是三阶方阵，0是A的二重特征值，则下面各向量组中：

⑴ 1,3,2，4,TT1,T3，0,T0,T0；

T

⑵ 1,1,1，1,1,

⑶ 1,

⑷ 1,1,0,2，2,T0，0,0,1； 3,T2,1,T4，3,T6；

T0，0,T0，0,0,1；

肯定不属于0的特征向量共有【

】．

A.1组；

B.2组；

C.3组；

D.4组．

5．设A是n阶对称矩阵，B是n阶反对称矩阵，则下列矩阵中，可用正交变换化为对角矩阵的矩阵为【

】．

A.BAB；

B.ABA；

C.AB三．（本题满分10分）

设n阶矩阵A和B满足条件：ABAB． ⑴ 证明：AE是可逆矩阵，其中E是n阶单位． ⑵ 已知矩1阵B2031000，求矩阵A． 22；

D.

2AB．

四．（本题满分10分）

x3x40x1x2x22x32x41ba

当、为何值时，线性方程组有唯一解，无解，有无穷多组解，并求出有

xa3x2xb2343x12x2x3ax41无穷多组解时的通解．

河南科技大学工科线性代数综合测试

（一）试卷

五．（本题满分10分） 1

2设4阶矩阵A341234123412，求A100． 34

六．（本题满分10分）

已知α11,1,

七．（本题满分10分）

设A是n阶矩阵，如果存在正整数k，使得AO（O为n阶零矩阵），则称A是n阶幂零矩阵．

⑴.如果A是n阶幂零矩阵，则矩阵A的特征值全为0．

⑵.如果AO是n阶幂零矩阵，则矩阵A不与对角矩阵相似．

k1,1，α21,2,0,3，求α3，α4，使得α1，α2，α3，α4线性无关． 河南科技大学工科线性代数综合测试

（一）试卷

八．（本题满分10分）

2222若二次型fx12x2x32x1x22x1x32x2x3经正交变换后可变为标准形y22y3，求，．并求出该正交变换．

九．（本题满分10分）

设有5个向量α13,1,α54,2,3,2,5，α21,1,1,2，α32,0,1,3α41,1,0,1，7．求此向量组中的一个极大线性无关组，并用它表示其余的向量．

答案

河南科技大学

工科线性代数综合测试

（一）试卷及答案

一．填空题

1．

应填：1．

2．

应填：3．

3．

应填：

1 4．

应填：

二、选择题

1． 应选：C．

2． 应选：C．

3． 应选：B．

4． 应选：B．

5． 应选：A ． 三．（本题满分10分）

设n阶矩阵A和B满足条件：ABAB．

⑴ 证明：AE是可逆矩阵，其中E是n阶单位． 1B

⑵ 已知矩阵2031000，求矩阵A． 22A．

5．

应填：2a2．

解：

⑴ 由等式ABAB，得ABABEE，即AEBEE因此矩阵AE可逆，而且AE1BE．

河南科技大学工科线性代数综合测试

（一）试卷

⑵ 由⑴知，AEBE，即ABE11E

02030000111000100010310120001001001000 11

1 30121000 2四．（本题满分10分）

x3x40x1x2x22x32x41

当a、b为何值时，线性方程组

有唯一解，无解，有无穷多组解，并求出

xa3x2xb2343x12x2x3ax41有无穷多组解时的通解．

解：

将方程组的增广矩阵A用初等行变换化为阶梯矩阵： 10

A03111212a31122a01100b10110012a10120a101 b10所以，⑴ 当a1时，rArA4，此时线性方程组有唯一解．

⑵ 当a1，b1时，rA2，rA3，此时线性方程组无解．

⑶ 当a1，b1时，rArA2，此时线性方程组有无穷多组解． x1x1x2x3x40x2

此时，原线性方程组化为因此，原线性方程组的通解为x22x32x40x3x4x1111x2221k 或者写为 k12x3100x0130x3x41x3x42x32x41

河南科技大学工科线性代数综合测试

（一）试卷

五．（本题满分10分） 12

设4阶矩阵A3412解：

由于A34123412341234123412，求A100． 3411221111， 3344所以，A100111222111111111111 333444100个A1111122222

1111111111111111

由于111110，333334444499组所以

A100109912111110993412341234123412 34六．（本题满分10分）

已知α11,1,1,1，α21,1,2,0,2,3，求α3，α4，使得α1，α2，α3，α4线性无关． 0,3的对应分量不成比例，所以α1与α2线性无关．满足

0,1,0，α40,

解： 由于α11,1,1与α21,α1，α2，α3，α4线性无关的向量α3与α4有很多，例如我们可以取α30,112001010130110，所以α1，α2，α3，α4线性无关．

0,0,1

由于100七．（本题满分10分）

设A是n阶矩阵，如果存在正整数k，使得AO（O为n阶零矩阵），则称A是n阶幂零矩阵．

⑴.如果A是n阶幂零矩阵，则矩阵A的特征值全为0．

⑵.如果AO是n阶幂零矩阵，则矩阵A不与对角矩阵相似．

解：⑴.设是矩阵A的特征值，α0是矩阵A的属于的特征向量，则有Aαα．所以，AαAkk1kAαAk1αkα ，但是AkkO，所以α0，但α0，所以0．

⑵ 反证法：若矩阵A与对角矩阵D相似，则存在可逆矩阵P，使得APDP．

1河南科技大学工科线性代数综合测试

（一）试卷

所以，APDPk1kPDPPDPPDPPDPPDP k组11111k但是，AkO，所以P1DkPO，所以DkO，即DO．因此AP1DPO．这与AO相矛盾，因此矩阵A不与对角矩阵相似． 八．（本题满分10分）

2222

若二次型fx12x2x32x1x22x1x32x2x3经正交变换后可变为标准形y22y3，求，．并求出该正交变换．

1

解： f的矩阵及标准形的矩阵分别为A1110，

Λ00101000．则有 EAEΛ，21即 1100001010

1221,32． 由此得0．而且矩阵A的三个特征值分别为10,1

特征值10对应的特征向量为α1,212T,0 T

特征值21对应的特征向量为α20,0,1

1

特征值32对应的特征向量为α3,2α31212000112,0 x1x2x31212000112y11y 220y3T因此令：

Pα1,α2,121

因此所作的正交变换为

20九．（本题满分10分）

设有5个向量α13,1,α54,2,3,2,5，α21,1,1,2，α32,0,1,3α41,1,0,1，7．求此向量组中的一个极大线性无关组，并用它表示其余的向量．

解：对由α1，α2，α3，α4，α5构成的矩阵，进行行变换 31

α1，α2，α3，α4，α5251112201311014120037012130213142622 13 河南科技大学工科线性代数综合测试

（一）试卷

10

001100010012002110000001001100120011 00α3，或者α1,

由此可以看出，向量组α1,α2，或者α1,α4，或者α1,α5都可以作为向量组α1，α2，α3，α4，α5的极大线性无关组．

不妨取向量组α1,α2作为极大线性无关组，则有

α3α1α2，α4α12α2，α5α1α2．

线性代数试卷及答案1

线性代数4试卷及答案

近年华南理工大学线性代数试卷及答案

线性代数试卷(网上1)

中国计量线性代数B(B)试卷及答案

7月自考线性代数(经管类)试卷及答案

线性代数(经管类)考试试卷及答案(一)

10月自考线性代数(经管类)试卷及答案

~线性代数试题1答案

0708线性代数B试卷答案

《河南科技大学工科线性代数综合测试1试卷及答案.doc》

将本文的Word文档下载到电脑，方便编辑。

推荐度：

点击下载文档