一、填空题(本题共5小题,每小题4分,满分20分,把答案填在题中横线上)
31(1)三阶行列式
111311113111______________________.1
312121(2)设A,B11,则AB______________________.10111(3)已知(1,2,3)T,(1,1,1)T,则T_____.5001(4)设A031,则A________.
021
121313,5,且线性方程组Ax无解,则a_____.(5)设A21
40a216
二、计算题(本题共3小题,每小题10分,满分30分,要求写出演算过程或步骤)
1.计算n级行列式10
11110111110111110。 111
2022.设三阶方阵A和B满足关系式AB2AB,且A040,求(AE)1。 202
3.求下面线性方程组的通解
x1x2x3x40x1x2x33x41
xx2x3x0.5341
2三、解答题(本题共2小题,每小题15分,满分30分,要求写出演算过程或步骤)
1.设1(1,1,1),2(1,2,3),3(1,3,t)。
(1)问当t为何值时,向量组1,2,3线性无关?
(2)当t为何值时,向量组1,2,3线性相关?
(3)当向量组1,2,3线性相关时,将3表示为1和2的线性组合。
x1x2x31
2.为何值时,线性方程组x1x2x3
xxx
2312
(1)有惟一解?(2)无解?(3)有无穷多个解。
四、证明题(本题共2小题,每小题10分,满分20分,)
1.设b13a12a2,b2a2a3,b34a35a1,且a1,a2,a3线性无关,证明:向量组
b1,b2,b3也线性无关。
2.设A为n阶可逆矩阵A的伴随矩阵,证明:AA
填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上)
**
n
11110.500
222011
333023
;;2(1)48(2) ; (3)(4)(5)1
二、计算题(本题共3小题,每小题10分,满分30分,要求写出演算过程或步骤) 1.解:
0111
11011111111
1101110111
11011
11101
1111011101
n1n1n1n1n11
11111110
…………………………………………………….(6分)
0111
1011
1101
1110
………….(3分)
(n1)
10
(n1)
000
11000
10
100
10001
……………………………………………..…….(9分)
100
1
(1)n1(n1) …………………………………………….………………………….(10分)
2.解:
原方程
(AE)(B2E)2E……….(5分)
001
1(AE)1(B2E)010
2100…………………………………(5分)
3.解
对方程组的系数矩阵
A作初等行变换, 有
111012
1111010012
211131
00000111232
由此得基础解系为
………(5分)
T
(1,1,0,0)(1,0,2,1)1, 2
T
,(7分)
(,0,,0)T
特解为
(8分)
于是所求方程组的通解为
1212
xk11k22
, 其中1
k,k2,k
3为任意常数………….(10分)
三、解答题(本题共2小题,每小题15分,满分30分,要求写出演算过程或步骤)
1.解:设有数组
k1,k2,k3,使k11k22k330,
k1(1,1,1)k2(1,2,3)k3(1,3,t)(0,0,0)。………………………(2分)
于是有方程组
k1k2k30,
k12k23k30,k3ktk0
23
1其系数行列式
……………………………………(3分)
11
D23t
53t………………………………………………………….(4分)
(1)当
t5
时,
D0
,方程组只有零解:
k1k2k30
。此时,向量组
1,2,
3线性无
关。………………………………………………………………………………(5分)
(2)当
t5时,D0,方程组有非零解,即存在不全为0的常数k1,k2,k3,使k11k22k330。此时,向量组
1,2,3线性相关。……………….(5分)
(3)当
t5时,方程组的系数矩阵的秩小于3。由左上角2阶子式不为零可知,系数矩阵的秩等于2。因此,取方程组①的前2个方程
k1k2k30,
k12k23k30,
令
k31,解得k11,k22,即12230,从而3122。
………………………………………………………………………………………….(5分)
2.解:
11
110,111,2时,方程组有唯一解。………………(5分) (1)即
121111
11011(1)
211200(1)(2)(1)(1),
(2)
则当
2时,方程组无解。…………………………………………….(5分)
111
xk11k200
010。 1 (3)当时,方程组有无穷多个解,通解为
…………………………………….(5分)
四、(本题共2小题,每小题10分,满分20分,)
305
210b1,b2,b3a1,a2,a3014…………………….(4分)
1.证明:因为
且a1
,a2,a3线性无关…………………………………………………………(6分)
5210220
又01
……………………………………………….(8分)
故向量组b1
,b2,b3也线性无关………………………………………………….(10分)
*1
2.证明:因为
AAA…………………………………………….(4分)
|A*||A1|n
1
所以
……………………… ……….(8 分)
A
n1
…
…………………………….10分)(