近年华南理工大学线性代数试卷及答案

以下是四套近年的统考题，仅供参考．

试卷

（一）：

一.填空题（共20分）

1.若A*是6阶方阵A的伴随矩阵，且rank(A)4,则rank(A*)_______. 2.设Asincossin，则A100__________cos__________.

3.设V（x1,x2,x3)T|2x1x23x30是R3的子空间，则V 的维数是__________.4.对称矩阵A 的全部特征值为4,-5,3,2,若已知矩阵AE为正定矩阵,则常数 必须大于数值____________.

1005.已知n阶矩阵A00100000010100000,0,则矩阵A1的逆是

__________________.

二．选择题（共20分）

1.若A,B是n 阶方阵, 下列等式中恒等的表达式是（ ）

(A) (AB)2AB； (B) (AB)1A1B1； (C）AB|A||B|； (D) (AB)*B*A*. 2.若A为n阶方阵,则A为正交矩阵的充分必要条件不是 ( ) (A) A的列向量构成单位正交基； (B) A的行向量构成单位正交基； (C) A1AT； (D) detA1.

3.若V1是空间Rn的一个k维子空间,1,2,,k是V1的一组基;V2是空间R的一个k维子空间, 1,2,,k是V2的一组基,且mn,km,kn,则:m（ ）

(A) 向量组1,2,,k可以由向量组1,2,,k线性表示； (B) 向量组1,2,,k可以由向量组1,2,,k线性表示；

(C) 向量组1,2,,k与向量组1,2,,k可以相互线性表示； (D) 向量组1,2,,k与向量组1,2,,k不能相互线性表示.4.若1,2是实对称方阵A的两个不同特征根, 1,2是对应的特征向量,则以下命题哪一个不成立 ( ) (A) 1,2都是实数； (B) 1,2一定正交；

(C) 12有可能是A的特征向量； (D) 12有可能是A的特征根. 5.已知A为n1阶方阵,且rank(A)k,非齐次线性方程组AXB的nk1个线性无关解为1,2,,nk,nk1, 则AxB的通解为( ). (A) c11c22cnknk； (B) c11c22cnknkcnk1nk1；

(C) c1(1nk1)c2(2nk1)cnk(nknk1)； (D) c1(1nk1)c2(2nk1)cnk(nknk1)nk1.

三.解下列各题 (共25分)

1.若A为3阶方阵,且A .11 2.设 A1111111111112nA,A,求矩阵.1112, 求: A1A*

3.计算向量(1,2,4)T在基1(1,1,1)T,2(0,1,1)T,3(1,1,1)T下的坐标. 4.设向量组 1(2,1,0,3),2(1,3,2,4),3(3,0,2,1),4(2,2,4,6),TTTT

求向量组的一个最大线性无关组.

135.利用分块矩阵方法,计算A002400002000的逆矩阵.41

四.证明题 (8分) 设n维向量组1,2,,n和向量组1,2,,n有关系

123n213n n12n1问n维向量组1,2,,n和向量组1,2,,n是否同秩? 证明你的结论.五.(8分) 二次型f(x1,x2,x3,x4)2x13x23x32x2x3,0, 通过正交变换, 可将此二次型化为标准形fy12y25y3,求参数及所用正交变换.

六.(8分) 求线性方程组

x1x2x3x40 x1x2x33x411xx2x3x23412222222

的通解.

七.(6分) 解矩阵方程,并写出解方程时初等矩阵的变换过程

010100010X01000101120140231 0八.(5分) 设A是4阶方阵,且A的特征根1,2,3,4互不相同,证明: (1) 方阵A有四个线性无关的特征向量.(2) 方阵A可以对角化.

试卷

（二）：

一．计算下列各题：（每小题6分，共30分）

162379380380225176, 180213 （1）162162（2）求2A23AE2,其中A1

（3）已知向量组1(0,2,3)T,2(2,3,3)T,3(1,2,t)T线性相关,求t. (4) 求向量(1,2,4)T在基1(1,0,1)T,2(0,1,1)T,3(1,2,1)T下的坐标. (5) 设A35, 求A的特征值.0A二.(8分) 设2030010,且ABATB,求矩阵B.2120c03b00a32112三.(8分) 计算行列式:

00x

四.(8分) 设有向量组

1(0,1,1,2,3),2(1,0,1,2,5),3(1,1,0,2,7),4(3,3,2,0,6), TTTT 求该向量组的秩以及它的一个最大线性无关组.

五.(8分) 求下列方程组的通解以及对应的齐次方程组的一个基础解系.3x12x2x3x44x510, 2x1x23x3x4x54,

7x5xx2x18.1345六.(8分) 求出把二次型fa(x1x2x3)2x1x22x1x32x2x3化为标准形的正交变换,并求出使f为正定时参数a的取值范围.

222七.(10分) 设三阶实对称矩阵A的特征值为3(二重根)、4(一重根),1(1,2,2)T是A的属于特征值4的一个特征向量,求A.八.(10分) 当a,b为何值时,方程组

ax1x2x34,x12bx23x310, x3bx3x2,231 有惟一解、无穷多解、无解? 九．(10分) (每小题5分,共10分) 证明下列各题

(1) 设A是可逆矩阵, A~B, 证明B也可逆, 且A1~B1.(2) 设,是非零n1向量,证明是nn矩阵T的特征向量.

试卷(三):

一． 填空题（每小题4分，共20分）

11．已知正交矩阵P使得PTAP0001000，则PTA2006(EA)P________2.

2．设A为n阶方阵，1,,n为A的n个特征值，则 det(A2)_________.3．设A是mn矩阵，B是m维列向量，则方程组AXB有无数多个解的充分必要条件是：_________.

4．若向量组(0,4,2)T,(2,3,1)T,(t,2,3)T的秩为2,则t_____.

15555124813927, 则D(x)0的全部根为:_________.5．D(x)xxx23二． 选择题 （每小题4分，共20分）

010100100 1.行列式的值为( ).

A.1 B.-1 n(n1)n(n1) C.(1)2 D.(1)2

2.对矩阵Amn施行一次行变换相当于( ). A.左乘一个m阶初等矩阵 B.右乘一个m阶初等矩阵 C.左乘一个n阶初等矩阵 D.右乘一个n阶初等矩阵 3.若A为mn矩阵,r(A)rn,MX|AX0,XRn, 则( ). A.M是m维向量空间 B.M是n维向量空间 C.M是mr维向量空间 D.M是nr维向量空间 4.若n阶方阵A满足,A20, 则下列命题哪一个成立 ( ). A.r(A)0 B.r(A) C.r(A)n2n2n2 D.r(A)5.若A是n阶正交矩阵,则下列命题哪一个不成立( ). A.矩阵AT为正交矩阵 B.矩阵A1为正交矩阵 C.矩阵A的行列式是1 D.矩阵A的特征值是1

三.解下列各题（每小题6分,共30分）

1.若A为3阶正交矩阵, A*为A的伴随矩阵, 求det(A*).

a1a1111a1111a. 2.计算行列式 1110 3.设A2020000,ABAB,求矩阵B.1 4.求向量组1(1,2,1,2)T,2(1,0,1,2)T,3(1,1,0,0)T,4(1,1,2,4)T的一个 最大无关组. 5.求向量(1,2,1)T在基(1,1,1)T,(0,1,1)T,(1,1,1)T下的坐标. 四.(12分) 求方程组 x1x22x3x4x52 3x1x22x37x43x52

x5x10x3xx623451 的通解(用基础解系与特解表示).五.(12分) 用正交变换化下列二次型为标准型, 并写出正交变换矩阵

f(x1,x2,x3)2x1x2x2x32x1x3 六.证明题(6分) 设0,1,2,r是线性方程组AX对应的齐次线性方程组的一个 基础解系,是线性方程组AX的一个解, 求证1,2,,r,线性无关.

22

试卷(四):

一.填空题（共20分）

1.设A是mn矩阵，B 是m 维列向量，则方程组AXB有唯一解的充分必要条件是： 2.已知E为单位矩阵, 若可逆矩阵P使得2P1APP1A2P3E, 则当EA可逆时, A3

3.若t为实数, 则向量组α=（0，4，t），β=（2，3，1），γ=（t，2，3+t）的秩为: 4.若A为2009阶正交矩阵，A*为A的伴随矩阵， 则A*= 5.设A为n阶方阵，1,2,,n是A的n个特征根，则i1niiiEA =

二.选择题（共20分）

1.如果将单位矩阵E的第i行乘k加到第j行得到的矩阵为P(j,i(k)),将矩阵Amn的第i列乘k加到第j列相当于把A：

A, 左乘一个P(i,j(k)); B，右乘一个P(i,j(k)); C． 左乘一个P(j,i(k)); D，右乘一个P(j,i(k)).

2.若A为m×n 矩阵，B是m维非零列向量，r(A)rmin{m,n}。集合

nM{X:AXB,XR}, 则

A，M 是m维向量空间， B， M是n-r维向量空间 A， M是m-r维向量空间， D， A，B，C都不对

3.若n阶方阵A满足 A23A4E，则以下命题哪一个成立 A， AE， B， r(A)r(E)

C.detAdetE， D， r(AE)r(AE)n

4.若A是2n阶正交矩阵，则以下命题哪一个一定成立：

A，矩阵A*A1为正交矩阵， B，矩阵 2A1为正交矩阵 C, 矩阵AA*为正交矩阵， D，矩阵 AA*为正交矩阵

10011105.如果n阶行列式11的值为-1,那么n的值可能为：

A, 2007， B，2008 C, 2009, D，2000

三.判断题 (每小题4分, 共12分) (1) 对线性方程组的增广矩阵做初等变换,对应的线性方程组的解不变.( ) (2) 实对称矩阵的特征值为实数.( ) (3) 如果矩阵的行列式为零, 那么这个矩阵或者有一行(列)的元素全为零, 或者有两行(列)的元素对应成比例.( )

四.解下列各题（每小题8分, 共16分）

51111．求向量1，在基10,21,31下的坐标.

1013122．设A2221333314nnn,1计算detA

11五.(10分) 求矩阵A011010110010列向量组生成的子空间的一个标准正交基.11六.证明题（6分）设A是m行n列矩阵, 如果线性方程组AX对于任意m维向量都有解，证明A的秩等于m.

七、（10分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵

f(x1,x2,x3)2x14x1x23x24x2x34x3..

22

2八、（6分）设矩阵A，B都是正定矩阵，证明矩阵AB也是正定矩阵.

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