高数闭区间上连续函数的性质教案

发布时间：2020-03-03 01:31:04 来源：范文大全收藏本文下载本文手机版

第

17、18课时：【教学目的】

1、掌握闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质；

2、熟练掌握零点定理及其应用。【教学重点】

1、介值性定理及其应用；

2、零点定理及其应用。【教学难点】

介值性定理及其应用

§1 10 闭区间上连续函数的性质

一、有界性与最大值与最小值

最大值与最小值 对于在区间I上有定义的函数f(x) 如果有x0I 使得对于任一xI都有

f(x)f(x0 ) (f(x)f(x0 ))

则称f(x0 )是函数f(x)在区间I上的最大值（最小值）

例如 函数f(x)1sin x在区间[0 2]上有最大值2和最小值0 又如 函数f(x)sgn x 在区间( )内有最大值 1和最小值1 在开区间(0 )内 sgn x的最大值和最小值都是1 但函数f(x)x在开区间(a b)内既无最大值又无最小值

定理1（最大值和最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值

定理1说明 如果函数f(x)在闭区间[a b]上连续 那么至少有一点1[a b] 使f(1)是f(x)在[a b]上的最大值 又至少有一点 2[a b] 使f( 2)是f(x)在[a b]上的最小值

注意 如果函数在开区间内连续 或函数在闭区间上有间断点 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值

例 在开区间(a b) 考察函数yx

又如 如图所示的函数在闭区间[0 2]上无最大值和最小值

x1 0x1yf(x)1 x1

x3 1x

2定理2（有界性定理）在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界

二、零点定理与介值定理

零点 如果x0 使f(x0 )0 则x0 称为函数f(x)的零点

定理3（零点定理）设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)与f(b)异号 那么在开区间(a b)内至少有一点使f()0

定理4（介值定理）设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且在这区间的端点取不同的函数值

f(a)A及f(b)B 那么 对于A与B之间的任意一个数C 在开区间(a b)内至少有一点  使得

f()C 

定理4（介值定理）设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)f(b) 那么 对于f(a)与f(b)之间的任意一个数C 在开区间(a b)内至少有一点  使得

f()C 

证 设(x)f(x)C 则(x)在闭区间[a b]上连续 且(a)AC与(b)BC异号 根据零点定理 在开区间(a b)内至少有一点 使得

()0 (a

但()f()C 因此由上式即得

f()C (a

定理4 的几何意义 连续曲线弧yf(x)与水平直线yC至少交于一点

推论

在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值

例1 证明方程x 34x 210在区间（0 1）内至少有一个根

证

函数f(x) x 34x 21在闭区间[0 1]上连续 又f(0)1>0

f(1)2

根据零点定理 在(0 1)内至少有一点  使得f()0 即

 34 210 (0

这等式说明方程x 34x 210在区间（0 1）内至少有一个根是 

闭区间上连续函数性质证明

闭区间连续函数性质证明题的解题方法

教学课题§3.二元函数的连续性,有界闭域上连续函数的性质解读

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