高等数学（上）总结
二、单元函数积分。
1． 不定积分。 ① 原函数：在一个区间上若F’(x)=f(x)，则称F(x)为f(x)的一个原函数。 ② 不定积分：已知被积函数f(X)求原函数F(x)。∫f(x)dx=F(x)+C，C为任意常数。 ③ 性质：两个线性性。 ④ 方法：
（1） 公式法：直接逆用初等函数求导公式。
（2） 第一换元法：∫f(u(x))u’(x)dx=（令u(x) =t）∫f(t)dt=F(t)+C。“凑微分法” （3） 第二换元法：逆第一换元法。∫f(t)dt=（令t=u(x)）∫f(u(x))u’(x)dx=F[(1/u)(x)]+C （4） 分部积分法：∫f(x)u’(x)dx=f(x)u(x)-∫u(x)df(x)
（5） 有理式不定积分：拆成n个最简分式之和，分别积。 （6） 三角函数有理式：万能代换化为有理式。
2． 定积分。 ① 实例：曲边梯形面积、变力做功。 ② 分割：在区间[a,b]插入(n+1)个分点xi，a=x0
定义Δxi=xi-x(i-1)。定义λ(T)为T中最大的Δxi。 ③ 黎曼和：设ξi∈[x(i-1),xi]则∑f(ξi)Δxi和式为黎曼和。 ④ 定积分：黎曼和在λ(T)趋近于0时极限。记为I=∫(a到b)f(x)dx。
性质：极限保序性、两个线性性。路径：∫(a到b)f(x)dx=∫(a到c)f(x)dx+∫(c到b)f(x)dx。结果是一个实数，与变量符号x无关。 也有和不定积分一样的法则。 3． 变上限定积分。 ① 积分中值定理：f(x)∈c[a,b]，则存在c∈[a,b]使∫(a到b)f(x)dx=f(c)(b-a)
证明思路：介值定理。 ② 变上限定积分：∫(a到x)f(x)dx。是f(x)一个原函数。
证明思路：积分中值定理凑导数公式。
变上限定积分求导数：[∫(u(x)到v(x))f(x)dx]’=f(u)u’-f(v)v’。 ③ 牛顿---莱布尼茨公式（微积分基本定理）：
∫(a到b)f(x)dx =F(a)-F(b)，F为f的一个原函数。 4． 定积分应用。
三、常用公式
极限 ① lim a^n/n!=0 n→∞ ② lim n^k/a^n=0 n→∞ ③ lim (1+1/n)^n=e
n→∞ ④ lim sinx/x=
1x→0 不定积分 定积分运用 ① 弧长计算 s=∫(a到b)sqrt(1+f’²(x))dx（直角坐标普通形式）
s=∫(a到b)sqrt(x’²(t)+y’²(t))dt（直角坐标参数）s=∫(a到b)sqrt(r²(θ)+r’²(θ))dθ（极坐标） ② 旋转体体积 v=π∫(a到b)f²(x)dx ③ 旋转体侧面积 S=2π∫(a到b)f(x)sqrt(1+f’²(x))dx ④ 极坐标下图形面积 S=(1/2)∫(a到b) r²(θ)dθ ⑤ 质心坐标（ds代表各形式弧微分）X=(1/m )∫(a到b)x(t)ρ(t)dsdt
Y= (1/m )∫(a到b)y(t)ρ(t)dsdt ⑥ 转动惯量（对于x、y轴） Jx=∫(a到b)y²(t)ρ(t)dsdt
Jy=∫(a到b)x²(t)ρ(t)dsdt
常用一元泰勒公式（x=0附近） ① e^x=1+x/1!+x²/2!+x³/3!+…+x^n/n!+o(x^n) ② sinx=x-x³/3!+x^5/5!-…+(-1)^k·x^(2k+1)/(2k+1)!+o(x^(2k+2)) ③ cosx=1-x²/2!+x^4/4!-…+(-1)^k·x^(2k)/(2k)!+o(x^(2k+1))
④ (1+x)^a=1+ax/1!+a(a-1)x²/2!+…(类似于二项式定理) ⑤ ln(1+x)=x-x²/2+x³/3-…+(-1)^(n-1)·x^n/n+o(x^n)
