高考冲刺:数形结合
热点分析 高考动向
数形结合应用广泛,不仅在解答选择题、填空题中显示出它的优越性,而且在解决一些抽象数学问题中常起到事半功倍的效果。高考中利用数形结合的思想在解决选、填题中十分方便,而在解答题中书写应以代数推理论证为主,几何方法可作为思考的方法。数形结合的重点是研究“以形助数”,但“以数解形”在近年高考试题中也得到了加强,其发展趋势不容忽视。历年的高考都有关于数形结合思想方法的考查,且占比例较大。
知识升华
数形结合是通过“以形助数”(将所研究的代数问题转化为研究其对应的几何图形)或“以数助形”(借助数的精确性来阐明形的某种属性),把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思考,也就是将抽象思维与形象思维有机地结合起来,是解决问题的一种数学思想方法。它能使抽象问题具体化,复杂问题简单化,在数学解题中具有极为独特的策略指导与调节作用。
具体地说,数形结合的基本思路是:根据数的结构特征,构造出与之相应的几何图形,并利用图形的特性和规律,解决数的问题;或将图形信息全部转化成代数信息,使解决形的问题转化为数量关系的讨论。
选择题,填空题等客观性题型,由于不要求解答过程,就某些题目而言,这给学生创造了灵活运用数形结合思想,寻找快速思路的空间。但在解答题中,运用数形结合思想时,要注意辅之以严格的逻辑推理,“形”上的直观是不够严密的。 1.高考试题对数形结合的考查主要涉及的几个方面:
(1)集合问题中Venn图(韦恩图)的运用;
(2)数轴及直角坐标系的广泛应用;
(3)函数图象的应用;
(4)数学概念及数学表达式几何意义的应用;
(5)解析几何、立体几何中的数形结合。
2.运用数形结合思想分析解决问题时,要遵循三个原则:
(1)等价性原则。要注意由于图象不能精确刻画数量关系所带来的负面效应;
(2)双方性原则。既要进行几何直观分析,又要进行相应的代数抽象探求,仅对代数问题进行几何分
析容易出错;
(3)简单性原则。不要为了“数形结合”而数形结合,具体运用时,一要考虑是否可行和是否有利;
二要选择好突破口,恰当设参、用参、建立关系,做好转化;三要挖掘隐含条件,准确界定参变
量的取值范围,特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线为佳。
3.进行数形结合的信息转换,主要有三个途径:
(1)建立坐标系,引入参变数,化静为动,以动求解,如解析几何;
(2)构造成转化为熟悉的函数模型,利用函数图象求解;
(3)构造成转化为熟悉的几何模型,利用图形特征求解。
4.常见的“以形助数”的方法有:
(1)借助于数轴、文氏图,树状图,单位圆;
(2)借助于函数图象、区域(如线性规划)、向量本身的几何背景;
(3)借助于方程的曲线,由方程代数式,联想其几何背景,并用几何知识解决问题,如点,直线,斜
率,距离,圆及其他曲线,直线和曲线的位置关系等,对解决代数问题都有重要作用,应充分予以
重视。
5.常见的把数作为手段的数形结合:
主要体现在解析几何中,历年高考的解答题都有这方面的考查.
经典例题透析
类型一:利用数形结合思想解决函数问题
1.已知的表达式。
思路点拨:依据函数定在
,
,若
的最小值记为
,写出
的对称轴与区间的位置关系,结合函数图象确上的增减情况,进而可以明确在何处取最小值。
解析:由于,
所以抛物线的对称轴为,开口向上,
①当,即时,最小,即
在[t,t+1]上单调递增(如图①所示),
。
∴当x=t时,
②当,即时,
在上递减,在上递增(如图②)。
∴当时,最小,即。
③当,即时,在[t,t+1]上单调递减(如图③)。
∴当x=t+1时,最小,即,
图①
图②
图③
综合①②③得
。
总结升华:通过二次函数的图象确定解题思路,直观、清晰,体现了数形结合的优越性。应特别注意,对于二次函数在闭区间上的最值问题,应抓住对称轴与所给区间的相对位置关系进行讨论解决。首先确定其对称轴与区间的位置关系,结合函数图象确定在闭区间上的增减情况,然后再确定在何处取最值。
举一反三:
【变式1】已知函数
解析:∵
∴抛物线
,
的开口向下,对称轴是
,如图所示:
在0≤x≤1时有最大值2,求a的值。
(1)
(2)
(3)
(1)当a<0时,如图(1)所示,
当x=0时,y有最大值,即
∴1―a=2。即a=―1,适合a<0。
(2)当0≤a≤1时,如图(2)所示,
当x=a时,y有最大值,即
。
。
∴a―a+1=2,解得
2。
∵0≤a≤1,∴不合题意。
(3)当a>1时,如图(3)所示。
当x=1时,y有最大值,即
综合(1)(2)(3)可知,a的值是―1或2
【变式2】已知函数
(Ⅰ)写出
(Ⅱ)设的单调区间; ,求
在[0,a]上的最大值。
。
。∴a=2。
解析:
如图:
(1)的单调增区间:
,
;单调减区间:(1,2)
(2)当a≤1时,
当
当
,时,
。
【变式3】已知()
(1)若,在上的最大值为,最小值为,求证:;
(2)当时,都有 ,时,对于给定的负数,有一个最大的正数,使得x∈[0, ]
|f(x)|≤5,问a为何值时,M(a)最大?并求出这个最大值。
解析:
(1)若a=0,则c=0,∴f(x)=2bx
当-2≤x≤2时,f(x)的最大值与最小值一定互为相反数,与题意不符合,∴a≠0;
若a≠0,假设,
∴区间[-2,2]在对称轴的左外侧或右外侧,
∴f(x)在[-2,2]上是单调函数,
(这是不可能的)
(2)当,时,,
∵,所以,
(图1)
(图2)
(1)当即,时(如图1),则
所以是方程的较小根,即
(2)当
所以
即是方程
,时(如图2),则的较大根,即
时,等号成立),
(当且仅当
由于,
因此当且仅当
时,取最大值
类型二:利用数形结合思想解决方程中的参数问题 2.若关于x的方程
有两个不同的实数根,求实数m的取值范围。
思路点拨:将方程的左右两边分别看作两个函数,画出函数的图象,借助图象间的关系后求解,可简化运算。
解析:画出
和
的图象,
当直线过点,即时,两图象有两个交点。
又由当曲线
与曲线
相切时,二者只有一个交点,
设切点
又直线
,则过切点
,即,得
,
,解得切点,
∴当时,两函数图象有两个交点,即方程有两个不等实根。
误区警示:作图时,图形的相对位置关系不准确,易造成结果错误。
总结升华:
1.解决这类问题时要准确画出函数图象,注意函数的定义域。
2.用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)解的个数是一种行之有效的方法,值得注意的是首先把
方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整,以便于作图),然后作出两
个函数的图象,由图求解。
3.在运用数形结合思想分析问题和解决问题时,需做到以下四点:
①要准确理解一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征;
②要恰当设参,合理用参,建立关系,做好转化;
③要正确确定参数的取值范围,以防重复和遗漏;
④精心联想“数”与“形”,使一些较难解决的代数问题几何化,几何问题代数化,便于问题求解。
举一反三:
【变式1】若关于x的方程在(-1,1)内有1个实根,则k的取值范围是 。
解析:把方程左、右两侧看作两个函数,利用函数图象公共点的个数来确定方程根的个数。
设(x∈-1,1)
如图:当内有1个实根。
或时,关于x的方程在(-1,1)
【变式2】若0<θ<2π,且方程的取值范围及这两个实根的和。
有两个不同的实数根,求实数m
解析:将原方程有两个不同的
转化为三角函数的图象与直线
交点时,求a的范围及α+β的值。
设,,在同一坐标中作出这两个函数的图象
由图可知,当
或
时,y1与y2的图象有两个不同交点,
即对应方程有两个不同的实数根,
若,设原方程的一个根为,则另一个根为.
∴.
若,设原方程的一个根为,则另一个根为,
∴.
所以这两个实根的和为或.
且由对称性可知,这两个实根的和为
或。
类型三:依据式子的结构,赋予式子恰当的几何意义,数形结合解答
3.求函数的最大值和最小值
思路点拨:可变形为,故可看作是两点和的连线斜率的解求解。
方法一:数形结合
如图,
倍,只需求出范围即可;也可以利用三角函数的有界性,反
可看作是单位圆上的动点,为圆外一点,
由图可知:
设直线
的方程:
,显然
,
,
,解得,
∴
方法二:令
,
的几何意义:
(1)
,
,
总结升华:一些代数式所表示的几何意义往往是解题的关键,故要熟练掌握一些代数式
表示动点(x,y)与定点(a,b)两点间的距离;
(2)表示动点(x,y)与定点(a,b)两点连线的斜率;
(3)求ax+by的最值,就是求直线ax+by=t在y轴上的截距的最值。
举一反三:
【变式1】已知圆C:(x+2)2+y2=1,P(x,y)为圆C上任一点。
(1)求的最大、最小值;
(2)求的最大、最小值;
(3)求x―2y的最大、最小值。
解析:联想所求代数式的几何意义,再画出草图,结合图象求解。
(1)
表示点(x,y)与原点的距离,
由题意知P(x,y)在圆C上,又C(―2,0),半径r=1。
∴|OC|=2。
的最大值为2+r=2+1=3, 的最小值为2―r=2―1=1。
(2)表示点(x,y)与定点(1,2)两点连线的斜率,
设Q(1,2),,过Q点作圆C的两条切线,如图:
将整理得kx―y+2―k=0。
∴,解得,
所以的最大值为,最小值为。
(3)令x―2y=u,则可视为一组平行线系,
当直线与圆C有公共点时,可求得u的范围,
最值必在直线与圆C相切时取得。这时
∴
。
,最小值为
。
,
∴x―2y的最大值为
【变式2】求函数
解析:
的最小值。
则y看作点P(x,0)到点A(1,1)与B(3,2)距离之和
如图,点A(1,1)关于x轴的对称点A'(1,-1),
则 即为P到A,B距离之和的最小值,∴
【变式3】若方程x2+(1+a)x+1+a+b=0的两根分别为椭圆、双曲线的离心率,则值范围是( )
的取
A.
B.或
C.
D.或
解析:如图
由题知方程的根,一个在(0,1)之间,一个在(1,2)之间,
则 ,即
下面利用线性规划的知识,则斜率
可看作可行域内的点与原点O(0,0)连线的
则 ,选C。