用数形结合的方法突破难点
——《正午太阳高度变化》教学案例 湖北省监利县实验高级中学(433300) 李尧昌
学生在学习《地球公转的地理意义》中的正午太阳高度的变化时，由于这一知识既要有空间思维能力、想象能力，又要用数学的方法来计算，让许多学生望而却步。课本上的知识原理是很简单的几句话，记下来也没有什么困难，老师吃力费劲地讲了一遍，学生也似乎听懂了，但拿起题目来一做，错误率很高，有的甚至下不了手，正好符合“一看就懂，一记就住，一听就会，一做就错”这一规律，问题的关键是学生并没有真正理解知识原理的内涵，稀里糊涂地记住了原理又怎么会用呢？在有一年的高考文综题中把太阳高度的变化用函数图象的方式呈现出来，很新颖，我从中受到启发，在教学《正午太阳高度的变化》时就用图象法来描述正午太阳高度的变化，直观地得出正午太阳高度的计算方法，直观地呈现出正午太阳高度的季节变化。程序如下：
一、正午太阳高度的纬度变化
由课本上的三幅图很容易得出正午太阳高度的纬度变化规律：由太阳直射点向南北两侧递减。在图1中，A、B、C在同一经线上(为理解简单，画图简便，此处将经线变形为直线)，BC相隔20°,AC相隔30°,太阳直射在C点,则HC=90°,正午太阳高度由C点向南北两侧递减，且离C越远的地方，正午太阳高度越小。图1中A、B都属于斜射，A比B距离C要远，则HA、HB都小于HC，且HA
二、正午太阳高度的计算
1．计算公式的推导。图1中B在C以南20°，则HB=90°-20°=70°(在球面中用几何的方法可以证出)，同理HA=90°-30°=60°，这样正午太阳高度的公式为：H=90°-Δψ，其中Δψ指太阳直射点(δ)与所求地(ψ)的纬度差，这里“纬度差”应理解成“纬度间隔”，当δ与ψ位于同一半球时，把它们的纬度数相减，当δ与ψ位于不同半球时，把它们的纬度数相加，可以简单地记为“同减异加”。
例如：当δ=10°N,ψ1=30°N,ψ2=5°S时,H1=90°-(30°-10°)=70°,H2=90°-(10°+5°)=75°。 2．若已知H与δ，如何求ψ呢？我们采用边画图边计算的方法，也就是数形结合的方法来计算，很好理解，也很容易掌握，步骤如下： ①先求Δψ，由H=90°-Δψ得到Δψ=90°-H。
②正午太阳高度相同的地点有两个，分别在直射点的南北，因此以δ为起点向北、向南各Δψ就可以得出所求点的两个纬度(如图2)，计算过程中要注意是否越过了赤道以及南北半球的纬度变化规律。
例如：H=55°，δ=20°N时，Δψ=90°-55°=35°，20°N以北35°得到ψ1=55°N，20°N以南35°要越过赤道，得到ψ2=15°S。
3．已知H与ψ，求δ的方法与上面求ψ的过程基本一致，先求Δψ，再以ψ为起点向北、向南各Δψ，就得到δ1与δ2，这里要特别注意必须对两个δ值进行检验，因为δ在23°26°N-23°26°S之间，如图3，
ψ=10°N，若H=75°，则δ1=25°N(舍去)，δ2=5°S。
三、正午太阳高度的纬度变化
关于纬度的变化的描述：夏至日时，北回归线及其以北地区，正午太阳高度达一年中最大。这是学生理解的一个难点，对照图说也很难说清楚，我在教学中采取了以下步骤：
1．在H=90°-Δψ中，H大则Δψ小，即所求点与直射点近，我们就可以这样理解：太阳作连续的南北回归运动(如图4)，当直射点向某点靠近时H变大，当直射点远离该点时H变小。
2．在图4中有A、B两点，A点在北回归线以北，没有直射机会，B点在回归线之间，有两次直射。A点在一年中的正午太阳高度变化可以分解成4个阶段(如图5)，则其变化曲线 如图6。
A
B点在一年中的正午太阳高度变化可以分解成6个阶段(如图7)，则其变化曲线如图8。
3．比较分析图⑥、⑧，B区域(即北回归线与赤道之间)在夏至日时并没有达到最大，其夏半年的变化曲线为驼峰状，最大值有两点，分别为太阳直射B点时；A点在夏至日时达到一年最大。由于北回归线上一年只有一次直射，所以可把北回归线划归A区域，即北回归线及其以北地区在夏至日时达一年中最大。
从图中还可读出，A、B区域都在冬至日时为最小值，也即是：在冬至日时，北半球各纬度达一年中最小。
用数形相结合的方法来分析问题、解决问题，可以活跃学生思维，增强课堂气氛，同时也可以提高学生读图、用图能力。其他知识的教学也可用到类似的方法，如用线段法求时间、把等高线转化成三角形来比较坡度、解直角三角形求楼房间距和热水器安装角度等。
