中考数学复习专题：配方法与换元法
一、配方法与换元法的特点：
把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．
配方法与换元法是初中数学中的重要方法，近几年的中考题中常常涉及。有时题中指定用配方法或换元法求解，而更多的则是隐含在题目当中，在分析题意的基础上，由考生自己确定选用配方法或换元法，把代数式配成完全平方式的形式，利用完全平方式的特性去求解，以达到快速解题的目的，这是种快捷也是很有效的方法，在初中代数中，占有很重要的地位和份量。
换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
二、配方法与换元法的方法：
配方法与换元法主要依据完全平方公式，由公式a2±2ab+b2=(a±b)2可知，如果一个多项式能够表达成“两个数的平方和，加上或减去这两个数的积的2倍，则这个多项式就可以写成这两个数的和或差的平方。”由完全平方式的性质可知，任何一个实数的平方都是非负数，即(a-b)≥0，当a=b时，(a-b)=0。利用这条性质，并可以解决很多与之有联系的数学问题。
配方法解题的关键是恰当的“凑配”，应具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式．而配方法一般有两种形式，一是根据第一项和第二项的系数特点，确定第三项系数或常数项。如二次三项式4 x2+6x+k是完全平方式，试确定k值。这一类的问题只有一解。而更多的是由第一项和第三项的系数特点，确定第二项的系数。如二次三项式4x2+kxy+25 y2是完全平方式，试确定k值。这一类问题一定要考虑正、负值两种情况，结果应为两解才为正确，这一点为不少考生所忽视，一定要考虑周到方可取得好成绩。
三、例题精讲：
热身： 填空题：
1．将二次三项式x2+2x－2进行配方，其结果为。
222．方程x+y+4x－2y+5=0的解是。
3．已知M=x2－8x+22，N=－x2+6x－3，则M、N的大小关系为。
4．用配方法把二次函数y=2x+3x+1写成y=a(x+m)+k的形式。
5．设方程x2+2x－1=0的两实根为x1，x2，则（x1－x2）2=。
6．已知方程x2－kx+k=0的两根平方和为3，则k的值为。
7．若x、y为实数，且x22222y33(2x3),则y
1x1的值等于。
【例1】 分解因式：（1）a2b2-a2+4ab-b2+1 ；（2）（x2+2x＋4）（x2+2x+6）-8
【例2】已知a，b∈R，则不等式①a+3>2a，②a+b≥2(a－b－1)，③a+b>ab中一定成立的有_______． 2222
2【例3】已知：a、b为实数，且a2+4b2－2a+4b+2=0，求4a2－b的值。
【例4】求证：不论m、n为任何实数，关于x的一元二次方程mx2＋(m＋2n)x+2n=0总有两个实数根。
【例5】（技巧题）甲、乙两人同时从A到B，甲前一半路程用速度a，后一半路程用速度b；乙前一半时间用速度a，后一半时间用速度b，问哪个先到？
【例6】⑴已知M为△ABC的边AB上的点，且AM+BM+CM=2AM+2BM+2CM－3，则
AC2+BC2=。⑵已知△ABC的三边分别为a、b、c，且a2+b2+c2=ab+bc+ac，则△ABC的形状为。
x2x
6x2x
1【例7】、解方程：
【例8】已知：△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程
x(2k3)xk
3k20
的两个实数根，第三边BC的长为5．
（1）k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？ （2）k为何值时，△ABC是等腰三角形？并求△ABC的周长．
【例9】已知二次函数y = ( k－1)x 2－2kx +k +2，（1）当k为何值时，图象的顶点在坐标轴上？（2）当k为何值时，图象与x轴的两交点间的距离为2 ？
【例10】某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现在他采用提高出售价格，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价一元，其销售量将减少10件，问他将出售价定为多少元时，才能使每天所获利润最大?并且求出最大利润是多少?
四、闯关夺冠：
1．已知x+y+4x－2y+5=0，则3x-2y 的值是。
2．已知M=x－8x+22，N=－x+6x－3，则M、N的大小关系为。
x
1x
3x
-
2x的值为__________．
3、已知．则
4、把代数式a2+16加上一个单项式，使它能成为一个完全平方式，则所有符合条件的单项式是__________．
5．用配方法把二次函数y=2x2+3x+1写成y=a(x+m)2+k的形式。 6．设方程x+2x－1=0的两实根为x1，x2，则（x1－x2）=。
7．将二次三项式x2+2x－2进行配方，其结果为最小值为
8、（08上海中考）用换元法解分式方程2x-1/x-x/2x-1=2时，如果设2x-1/x=y，并将原方程化为关于y的整式方程，那么这个方程为_____________。
9．已知方程x2－kx+k=0的两根平方和为3，则k的值为。 10．代数式a2+5b2-4ab+2b+100的最小值为——————————。
x
y33(2x3),则
y
1x1的值等于。
11．若x、y为实数，且
12、
13、如果a、b、c为互不相等的实数，且满足关系式bc2a16a14与
bca4a5，那么a的取值范围范围是．
13、不论m、n为何值，代数式m2+n2-2m+4n+5的值总是 （）
A 非负数B 正数C 负数D 0
2
2xx2
14、已知关于x的方程x2axa2a20的两个实数根满足1=2，则a的值
2
2为（）
A．－3B .－3，1C.3，－1D.1
15、已知一个四边形ABCD的边长分别为a、b、c、d，其中a、c为对边，且a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，则四边形是（）
A 任意四边形；B 梯形；C平行四边形；D 对角线互相垂直的四边形；
16、对于分式1/x2-2x+m，不论x 取何实数都有意义，则m的取值范围为 （）
Am≥1，Bm≤1，Cm＞1，Dm＜
117、若a、b、c是三角形的三边长，则代数式a2 –2ab+b2 –c2的值 （）
A 大于零B 等于零C 小于零D 不能确定
18、若2x－kx+9是一个完全平方式，求k的值.19、已知：菱形的两条对角线长之和为2 ，菱形的面积为2 ，求菱形的周长。
x
1x
x
1x
40
20、解方程：（1）2x-6x+3=0(配方法)（2）
21、已知抛物线经过点A（2，4）和点B（－1，－8），且在x轴上截得的线段长为3，求抛物线的解析式。
22、已知a=2008x+2004，b=2008x+2006，c=2008x+2008，求代数式a2+b2+c2-ac-bc-ca的值。
23、试判断2005×2006×2007×2008+1是否是一个完全平方数。
222
224、已知：△ABC的三这分别为a、b、c，且满足等式3(a+b+c)=(a+b+c)，试说明该三角形是等边三角形。
25、已知x
1、x2是关于x的方程x2-6x+k=0的两个实数根，且x12x22-x1-x2=115， （1）求k的值；（2）求x12+x22+8的值.262(1)求m的取值范围；
(2)若x12+ x22=10，求抛物线的解析式 ；
(3)设(2)中的抛物线与y轴于点C,在y轴上是否存在点P，使以P、0、B为顶点的三角形与△AOC相似?若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
27、观察下列各式的特点，并回答下列问题：
（1）用＞、=、＜填空： 32+42————2×3×4，（-1）2+82————2×（-1）×8，
（-3）+（-5）—————2×（-3）×（-5），（-6）+（-6）——————2×（-6）×（-6） （2）若a、b为实数，则a2+b
2、2ab的大小关系为a2+b2_______2ab，并证明其正确性。
28、已知二次函数图象经过A（-1， 3）．对称轴为x=1，抛物线与x轴两交点距离为4，求这个二次函数的解析式？
29．关于x的一元二次方程x+(k+1)x－k－3=0(1)求证：该方程一定有两个不相等的实数根；(2)若该方程的一根为2，求另一根的值．
30、(06南通中考)已知A=a+2，B=a2－2a+5，C=a2+5a－19，其中a>0．
(1)求证：B－A>0，并指出A与B的大小关系；(2)指出A与C哪个大，并说明理由．
31、已知抛物线经过点A（2，4）和点B（－1，－8），且在x轴上截得的线段长为3，求抛物线的解析式。
