2等差数列及其前n项和

发布时间：2020-03-02 17:25:08 来源：范文大全收藏本文下载本文手机版

二、等差数列及其前n项和

答案：第23项与第24项

：

1.等差数列的定义

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，义的表达式为.2.等差数列的通项公式

如果等差数列{an}的首项是a1，公差是d，那么通项公式为an＝.[思考探究1]

已知等差数列{an}的第m项为am，公差为d，则其第n项an能否用am与d表示？

提示：可以.an＝am＋(n－m)d.3.等差中项

如果三个数a，A，b成等差数列，则三数的关系是A＝.思考探究2]

三数成等差数列时，一般设为a－d，a，a＋d；四数成等差数列呢？提示：可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.

考点一：等差数列的判定与证明

1.证明一个数列{an}为等差数列的基本方法有两种：(1)利用等差数列的定义证明，即证明an＋1－and(n∈N*)(2)利用等差中项证明，即证明an＋2＋an＝2an＋1(n∈N*).

2.解选择题、填空题时，可用通项或前n项和直接判断：

(1)通项法：若数列{an}的通项公式为n的一次函数，即an ＝An＋B，则{an}是等差数列；

(2)前n项和法：若数列{an}的前n项和Sn是Sn＝An2＋Bn的形式(A，B是常数)，则{an}为等差数列.[特别警示] 若说明一个数列不是等差数列，则只需找到其中连续三项不是等差数列即可.

[例1]已知数列{an}中，a1＝

5，an＝2－

1an

1(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝

1an1

(n∈N*).

(1)求证：数列{bn}是等差数列；

(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由.[思路点拨]

1.已知{an}是等差数列，a10＝10，其前10项和S10＝70，则其公差d＝() A.－

3B.

[课堂笔记] (1)证明：∵an＝2－

1an1

1an11

答案：D

2.已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于()

A.4B.5C.6D.7 答案：C

3.设{an}是等差数列，若a2＝3，a7＝13，则数列 {an}前8 项的和为()A.128B.80C.64D.56 答案：C

4.已知等差数列共10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为答案：3

5.数列{an}中，a1＝15,3an＋1＝3an－2(n∈N*)，则该数列中乘积是负值的相邻两项为.

(n≥2，n∈N*)，bn＝

1an1

∴n≥2时，bn－b

n－1＝

－＝

＝

∴数列{bn}是以－

2＝1.又b1＝

，

为首项，以1为公差的等差数列.

(2)由(1)知，bn＝n－

，则an＝1＋

1bn

＝1＋，设函数f(x)＝1＋，

(2)＝

－6，因为t是奇数，

.令2m－3＝t，

∈N，所以t可取的值为±1.

易知f(x)在区间(－∞，

)和(

，＋∞)内为减函数，

∴当n＝3时，an取得最小值－1；当n＝4时，an取得最大值3.考点二：等差数列的基本运算

1.等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d及前n项和公式Sn＝

n(a1an)

当t＝1，m＝2时，t＋－6＝3， 2×5－7＝3是数列{an}中的项；

t＝－1 ，m＝1 时，t＋－6＝－15，

2数列{an}中的最小项是－5不符合.

n(n1)

所以满足条件的正整数m＝2.＝na1＋d，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两

22222

[变式]若将“a2a3a4a5，S7＝7”改为“S10＝30，S20＝50”，求通项an和

个，体现了用方程的思想解决问题.

S30的值.2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差

数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.[特别警示] 因为

snn

＝

n＋a1－

，故数列{

snn

}是等差数列.

解：由题意得 ∴an＝a1＋(n－1)d＝－

110

解之得n＋

7120

[例2](2009·江苏高考)设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足

a2a3a4a5

，

，S7＝7.

amam1am2

(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn； (2)试求所有的正整数m，使得[思路点拨]

为数列{an}中的项.

[课堂笔记] (1)设{an}通项公式an＝a1＋(n－1)d，d≠0，则由性质得，－3d(a4＋a3)＝d(a4＋a3)，

因为d≠0，所以a4＋a3＝0，即2a1＋5d＝0.① 又由S7＝7得7a1＋

d＝7.②

S30＝30a1＋d＝60.考点三：等差数列的性质 1.等差数列的单调性：

等差数列公差为d，若d＞0，则数列递增.若d

若d＝0，则数列为常数列.2.等差数列的简单性质：

已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和.

(1)若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.特别：若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.(2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为kd.(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.(4)S2n－1＝(2n－1)an.

(5)若n为偶数，则S偶－S奇＝

联立①②解得a1＝－5，d＝2.

所以{an}的通项公式为an＝2n－7，前n项和Sn＝n2－6n.

d.若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项).

(6)数列{c·an}，{c＋an}，{pan＋qbn}也是等差数列(其中c、p、q均为常数，{an}，{bn}是等差数列).[例3](2009·宁夏、海南高考改编)等差数列{an}的前n项和为Sn.已知am－1＋am

＋

1－am＝0，S2m－1＝38，求m的值.[思路点拨]

[课堂笔记] 由条件得2am＝am－1＋am＋1＝a，从而有am＝0或2.又由S2m－1＝

×(2m－1)＝38且2am＝a1＋a2m－1得(2m－1)am＝38，故am≠0，

[自主体验]

已知数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，它的前n项和为Sn，且a3＝10，S6＝72.若bn＝

2an－30，求数列{bn}的前n项和的最小值.解：∵2an＋1＝an＋an＋2，∴{an}为等差数列，设{an}的首项为a1，公差为d，{bn}前n项和为Tn.由a3＝10，S6＝72，得则bn＝

则有2m－1＝19，m＝10.

[变式]若将“am－1＋am＋1－am＝0，S2m－1＝38”改为“S6＝72”，如何求a3＋a4.解：∵数列{an}为等差数列， ∴S6＝∴a3＋a4＝

3∴

得

∴an＝4n－2， ≤n≤

an－30＝2n－31.由

＝3(a1＋a6)＝3(a3＋a4)， S6＝

∵n∈N*，∴n＝15.∴{bn}前15项为负值，∴T15最小，可知b1＝－29，d＝2，∴T15＝

＝－225.

×72＝2

4高考对等差数列的常规考法为：（1）在解答题中考查等差数列的判断或证明；（2）

在选择题、填空题或解答题中考查等差数列的基本性质以及an，a1,d,n,Sn中的“知三求二”问题.09年安徽高考以选择题的形式考查了等差数列前n项和的最值问题，是高考命题的一个新方向.[考题印证](2009·安徽高考)已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99.又Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是 () A.21B.20C.19D.18 【解析】 ∵{an}为等差数列， ∴a1＋a3＋a5＝105，a3＝35， a2＋a4＋a6＝99⇒a4＝33， d＝a4－a3＝33－35＝－2， ∴{an}是递减数列.

an＝a3＋(n－3)d＝35＋(n－3)×(－2)＝－2n＋41， an≥0，－2n＋41≥0，n≤， ∴当n≤20时，an>0，n≥21时，an

1.(2009·辽宁高考){an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3 ＝0，则公差d＝()A.－2B.－

D.2

答案：B

2.设Sn是等差数列{an}的前n项和.已知a2＝3，a6＝11，则S7等于() A.13B.35C.49D.63 答案：C

3.已知等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d＜0，则使前n项和Sn取得最大值的正整数n的值是()

A.4或5B.5或6C.6或7D.8或9 答案：B 4.(2009·山东高考)在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝.答案：13

5.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a2∶a4＝7∶6，则S7∶S3等于.答案：2∶1

6.(文)(2010·惠州模拟)等差数列{an}前n项和为Sn，已知对任意n∈N*，点(n，Sn)在二次函数f(x)＝x2＋c的图象上.(1)求c，an；

(2)若kn＝

an2

，求数列{kn}的前n项和Tn.