《等差数列前n项和》教学设计一
设计人：杨峰烁
【背景分析】
本节课教学内容是高中课程标准实验教科书必修5（人教B版）中第二章的第二节第二课时的内容．本节课主要研究如何应用倒序相加法求等差数列的前n项和以及该求和公式的应用．等差数列在现实生活中比较常见，因此等差数列求和就成为我们在实际生活中经常遇到的一类问题．同时，求数列前n项和也是数列研究的基本问题，通过对公式推导，可以让学生进一步掌握从特殊到一般的研究问题方法．
【学情分析】
学生已经学习了等差数列的定义及通项公式，有了一定的准备知识，但对等差数列的求和的方法和公式还是一无所知。针对学生的认知规律，本节课采取了自主、合作、探究的教学方式，以问题解答的形式，通过分析、讨论、归纳、探索而获得知识，为学生积极思考、自主探究搭建了理想的平台，让学生去感悟倒序相加法的使用范围.【设计理念】
让学生在具体的问题情境中经历知识的形成和发展，让学生利用自己的原有认知结构中相关的知识与经验，自主地在教师的引导下促进对新知识的建构，因为建构主义学习理论认为，学习是学生积极主动地建构知识的过程．在教学过程中，根据教学内容，从介绍高斯的算法开始，探究这种方法如何推广到一般等差数列的前n项和的求
法．通过设计一些从简单到复杂，从特殊到一般的问题，层层铺垫，组织和启发学生获得公式的推导思路，并且充分引导学生展开自主、合作、探究学习，通过生生互动和师生互动等形式，让学生在问题解决中学会思考、学会学习．
【教学目标分析】
1.理解等差数列前n项和公式的推导过程；掌握并能熟练运用等差数列前n项和公式；了解倒序相加法的原理；
2.通过公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法，渗透函数思想与方程（组）思想，培养观察、归纳、反思的能力；通过小组讨论学习，培养合作交流、独立思考等良好的个性品质.【教学重点和难点】
本节教学重点是探索并掌握等差数列前n项和公式，学会用公式解决一些实际问题；难点是等差数列前n项和公式推导思路的获得.【教学过程】
一、【古文共赏】
让学生们猜测问题与本节课的联系，此问题如果不能解决，学完本节后，看是否能解决。
[设计意图]：
引入一个中国古代的数列求和问题，通过悬疑的方式调动学生的好奇心，激发学生的学习兴趣。
[简要实录]：
学生思考这个问题与这节课学习内容的联系，教师简略介绍一下
北朝张丘建。引导同学们可先粗略发言发表自己的意见。
二、【温故知新】
学生准备好作业本，让两个学生在黑板上板演，教师说检测内容。 ①等差数列的通项公式②等差中项③等差数列的性质 [设计意图]：
检查学生上节知识的掌握情况，为新课的学习做好铺垫.[简要实录]：
2分钟后，一起批阅黑板同学的默写情况，下面的小组成员间互相检查、更正。老师视情况指正。
三、【高斯王子】
讲述数学王子高斯的故事，并自然提出高斯九岁时做出的题目。让同学们思考解决这个题目的方法有哪些？那个是最简便的呢？
[设计意图]：
用伟人的故事，让他们积极参与到课堂中来，同时培养他们的发散思维，培养他们一题多解的解题习惯。
[简要实录]：
学生们踊跃回答这个问题，并给出了两种解决这个问题的方法。老师再深入问学生哪种方法更简便呢？然后再引导学生，这个数列是不是我们刚学习的等差数列呢？学生经过观察发现，这是一个首项为1，公差为1，末项为100的等差数列。于是老师提出下一个问题。
四、【自主尝试】
求下面的这些钢管的数量总数，让同学们用刚才的计算方法来求
解。让学生先做好充足的准备，然后到黑板叙述板演计算过程。
[设计意图]：
进一步熟悉首尾相加的方法，慢慢为引入倒序相加作更进一步的准备。
[简要实录]：
学生先思考3分钟。然后让学生上黑板板演，然后和下面学生一起讲解自己的思考和计算思路。后一起评价，更正。鼓励学生，大胆面对成功和失败，大胆上台表现自己。
五、【知识迁移】
通过以上两个题目的解答，先让学生自己思考求等差数列前n项和的方法。并说明本节的一个重点学习内容倒序相加法。
[设计意图]：
独立推导等差数列的前n项和，加强对公式的记忆，熟练倒序相加的方法，让同学们在独立，讨论中提升自己。
[简要实录]如果有同学不能独立思考出，过3分钟后，可小组讨论。后让学生到黑板板演过程。并等同学们基本解决完毕，一起由学生解析讲解该问题。同学们提出自己的意见并对黑板学生作出更正。老师可视情况作出更精确的评价。
六、【公式记忆】
对比梯形公式，记忆等差数列的前n项和公式。通过联系的方法，用熟悉的旧知识快速记住新内容。
[设计意图]：
用新旧知识的联系来达到记忆公式的目的。通过图形的直观性来加强公式记忆。
[简要实录]：
同学们推导完等差数列的前n项和公式后，再仔细观察，引导他们察看公式的形式，引出梯形的面积公式与其所有的异曲同工之妙。并再书写公式，记住公式。老师作重点符号，强调两公式的重要性。
七、【始题释疑】
回头将最开始引入的问题再来解决。看看是否能用刚学习的知识来解答出来。并鼓励学生向古代的人学习，要善于观察生活，用数学解决生活中出现的问题。
[设计意图]：
这样做到首尾回应，整个课堂不偏离且围绕教学的主要内容，但又具有故事性和创造性。
[简要实录]：
先给学生3分钟时间考虑，然后由学生说出解答的思路，后学生在作业本上写出整个问题的步骤，后再师生一起更正修订。让学生思考，就得给学生时间，然后课下，再上交作业本，看学生在课上的习题完成情况。
八、【公式小结】
让学生自主完成等差数列前n项和sn的第二个公式的推导。观察这两个公式的相同点和不同点。找出相关量。弄明白这两公式之间的联系。并记住和能应用该公式。
[设计意图]：
通过联系的记忆方法，帮助同学们达到快速记忆的效果。找到相关量，面对不同的已知条件选择不同的公式。达到公式的熟练记忆和应用。
[简要实录]：
同学们已经学了等差数列的通项公式。可是，在通项中，我们的书已知条件是首项，公差或是其中的某一项。那么在这个公式中，只有末项，如何将其变形，然后直接运用公式求解呢？学生会想通项公式与些数列的联系，自然地将另一求和公式推导出来。并且看到了这两个公式的区别。
由同学们自己在作业本上推导，并找一同学黑板板演。在3分钟的时间内，仔细观察出现的四个量。对黑板的同学更正修订。老师再作小结，记忆公式。
九、【习题设计】
本课习题设计分了三等。是课本习题的精选。
一是基本知识。通过直接套用公式，来熟悉和使用公式。这里设计了两个题目，分别用了两个公式求和法。
二是自主尝试。这是对公式有个大致应用后的一个针对练习。这里加了与通项相联系的题目，达到对这三个公式间的互换和选择。
三是问题提升。这里综合考查学生对数列的整体把握情况。对求通项、项数、数列和的能力的训练。
[设计意图]：
1、通过不同梯度的习题，让学生有一个掌握问题的逐步适应过程，也能够从习题中更明白两个求和公式的应用。
2、通过解决问题，学会方程思想解决数列问题。
3、培养学生通过给出的问题，来观察问题中的已知条件并能快速判断选择哪个公式的能力。
[简要实录]：
先由学生在作业本上自行解出合作探究部分。做完后小给间讨论然后学生起来说出正确答案。老师给予指正和评价。并要注意具体的详解步骤。然后再由学生板演自主尝试部分的习题。下面的学生在作业本上一并做出。教师在教室内环转，以发现学生的不足和优点。并在给指正时，给予重点指出或是鼓励。然后学生下台，一起更正。最后的问题升华，给学生的时间要多一些，同学们先读题目，然后再自己思考3分钟，然后再讨论，再可以自行解决，在作业本上写上详细过程。后再将学生的作业投影，发现问题，解决问题。发现优点，放大优点。
教师小结这些题中存在的问题。并再由学生叙述解决这类问题的规律。帮他们确定知三求二的规律。
十、【课堂小结】
用框架的形式整理本节内容，重点突出，关系明确。 [设计意图]：
将本节内容整理：将厚书读薄，将问题梳理，将知识联系。 [简要实录]：
学生回忆本节内容作大致阐述。然后精抓问题实质，突出本节重
点。力求不累赘，不拖沓，力求明明白白，清清楚楚。
十一、【课后作业】
课后作业分选做和必做两种。针对学生的学习差异而设计。 [设计意图]：
加上了趣味小故事，让学生在思考中学习，在学习中成长，在成长中，树立正确的学习观和对数学史的认识。思考题目，是为了下节课的学习而做的准备。让他们大致了解老师下节要讲的内容主向。
【教学反思】
“等差数列前n项和”的推导不只一种方法，本节课是通过介绍高斯的算法，探究这种方法如何推广到一般等差数列的求和．该方法反映了等差数列的本质，可以进一步促进学生对等差数列性质的理解，而且该推导过程体现了人类研究、解决问题的一般思路．本节课教学过程的难点在于如何获得推导公式的“倒序相加法”这一思路．为了突破这一难点，在教学中采用了以问题驱动的教学方法，设计的问题体现了分析、解决问题的一般思路，即从特殊问题的解决中提炼方法，再试图运用这一方法解决一般问题．在教学过程中，通过教师的层层引导、学生的合作学习与自主探究，尤其是借助图形的直观性，学生“倒序相加法”思路的获得就水到渠成了．
《等差数列前n项和》教学设计二
设计人：杨峰烁
教材分析
等差数列的前ｎ项和是数列的重要内容，也是数列研究的基本问题．在现实生活中，等差数列的求和是经常遇到的一类问题．等差数列的求和公式，为我们求等差数列的前ｎ项和提供了一种重要方法． 教材首先通过具体的事例，探索归纳出等差数列前ｎ项和的求法，接着推广到一般情况，推导出等差数列的前ｎ项和公式．为深化对公式的理解，通过对具体例子的研究，弄清等差数列的前ｎ项和与等差数列的项、项数、公差之间的关系，并能熟练地运用等差数列的前ｎ项和公式解决问题．这节内容重点是探索掌握等差数列的前ｎ项和公式，并能应用公式解决一些实际问题，难点是前ｎ项和公式推导思路的形成． 教学目标
1.通过等差数列前ｎ项和公式的推导，让学生体验数学公式产生、形成的过程，培养学生抽象概括能力．
2.理解和掌握等差数列的前ｎ项和公式，体会等差数列的前ｎ项和与二次函数之间的联系，并能用公式解决一些实际问题，培养学生对数学的理解能力和逻辑推理能力．
3.在研究公式的形成过程中，培养学生的探究能力、创新能力和科学的思维方法． 任务分析
这节内容主要涉及等差数列的前ｎ项公式及其应用．
对公式的推导，为便于学生理解，采取从特殊到一般的研究方法比较适宜，如从历史上有名的求和例子1＋2＋3＋……＋100的高斯算法出发，一方面引发学生对等差数列求和问题的兴趣，另一方面引导学生发现等差数列中任意的第ｋ项与倒数第ｋ项的和等于首项与末项的和这个规律，进而发现求等差数列前ｎ项和的一般方法，这样自然地过渡到一般等差数列的求和问题．对等差数列的求和公式，要引导学生认识公式本身的结构特征，弄清前ｎ项和与等差数列的项、项数、公差之间的关系．为加深对公式的理解和运用，要强化对实例的教学，并通过对具体实例的分析，引导学生学会解决问题的方法．特别是对实际问题，要引导学生从实际情境中发现等差数列的模型，恰当选择公式．对于等差数列前ｎ项和公式和二次函数之间的联系，可引导学生拓展延伸． 教学设计
一、问题情景
1.在200多年前，有个10岁的名叫高斯的孩子，在老师提出问题：“1＋2＋3＋…＋100＝？”时，很快地就算出了结果．他是怎么算出来的呢？他发现1＋100＝2＋99＝3＋97＝…＝50＋51＝101，于是1＋2＋…＋100＝101×50＝5050．
2.受高斯算法启发，你能否求出1＋2＋3＋…＋ｎ的和． 3.高斯的方法妙在哪里呢？这种方法能否推广到求一般等差数列的前ｎ项和？
二、建立模型
1.数列的前ｎ项和定义
对于数列｛ａn｝，我们称ａ1＋ａ2＋…＋ａn为数列｛ａn｝的前ｎ项和，用Sn表示，即Sn＝ａ1＋ａ2＋…＋ａn． 2.等差数列的求和公式
（1）如何用高斯算法来推导等差数列的前ｎ项和公式？ 对于公差为ｄ的等差数列｛ａn｝：
Sn＝ａ1＋（ａ1＋ｄ）＋（ａ1＋2ｄ）＋…＋［ａ1＋（ｎ—1）ｄ］，
①
依据高斯算法，将Sn表示为Sn＝ａn＋（ａn—ｄ）＋（ａn—2ｄ）＋…＋［ａn—（ｎ—1）ｄ］．
②
由此得到等差数列的前ｎ项和公式
小结：这种方法称为反序相加法，是数列求和的一种常用方法． （2）结合通项公式ａn＝ａ1＋（ｎ—1）ｄ，又能得怎样的公式？
（３）两个公式有什么相同点和不同点，各反映了等差数列的什么性质？
学生讨论后，教师总结：相同点是利用二者求和都须知道首项ａ1和项数ｎ；不同点是前者还须要知道ａn，后者还须要知道ｄ．因此，在应用时要依据已知条件合适地选取公式．公式本身也反映了等差数列的性质：前者反映了等差数列的任意的第ｋ项与倒数第ｋ项的和都等于首、末两项之和，后者反映了等差数的前ｎ项和是关于ｎ的没有常数项的“二次函数”．
三、解释应用 ［例 题］
1.根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛ａn｝的前ｎ项和Sn．
（1）ａ1＝ —4，ａ8＝ —18，ｎ＝8． （2）ａ1＝14．5，ｄ＝0.7，ａn＝32． 注：恰当选用公式进行计算．
2.已知一个等差数列｛ａn｝前10项的和是310，前20项的和是1220．由这些条件能确定这个等差数列的前ｎ项和的公式吗？ 分析：将已知条件代入等差数列前ｎ项和的公式后，可得到两个关于ａ1与ｄ的关系式，它们都是关于ａ1与ｄ的二元一次方程，由此可以求得ａ1与ｄ，从而得到所求前ｎ项和的公式． 解：由题意知
注：（1）教师引导学生认识到等差数列前ｎ项和公式，就是一个关于ａn，ａ1，ｎ或者ａ1，ｎ，ｄ的方程，使学生能把方程思想和前ｎ项和公式相结合，再结合通项公式，对ａ1，ｄ，ｎ，ａn及Sn这五个量知其三便可求其二．
（2）本题的解法还有很多，教学时可鼓励学生探索其他的解法．例如，
3.2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》．某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网．据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费500万元．为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元．那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？ 教师引学生分析：每年“校校通”工程的经费数构成公差为５０的等差数列．问题实质是求该数列的前10项的和．
解：根据题意，从2001～2010年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元．所以，可以建立一个等差数列｛ａn｝，表示从2001年起各年投入的资金，其中，ａ1＝500，ｄ＝50． 那么，到2010年（ｎ＝10），投入的资金总额为
答：从2001～2010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元．
注：教师引导学生规范应用题的解题步骤．
4.已知数列｛ａn｝的前ｎ项和Sn＝ｎ2＋ｎ，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？ 解：根据
由此可知，数列｛ａn｝是一个首项为
，公差为2的等差数列．
思考：一般地，数列｛ａn｝前ｎ项和Sn＝Aｎ2＋Bｎ（A≠０），这时｛ａn｝是等差数列吗？为什么？ ［练习］
1.一名技术人员计划用下面的办法测试一种赛车：从时速10ｋｍ／ｈ开始，每隔2ｓ速度提高20ｋｍ／ｈ．如果测试时间是30ｓ，测试距离是多长？
ｎ2＋2.已知数列｛ａn｝的前ｎ项的和为Sn＝个数列的通项公式．
ｎ＋4，求这3.求集合M＝｛ｍ｜ｍ＝2ｎ—1，ｎ∈N*，且ｍ＜60｝的元素个数，并求这些元素的和．
四、拓展延伸
1.数列｛ａn｝前ｎ项和Sn为Sn＝pn2＋qn＋ｒ（ｐ，ｑ，ｒ为常数且ｐ≠０），则｛ａn｝成等差数列的条件是什么？
2.已知等差数列5，4，3，…的前ｎ项和为Sn，求使Sn最大的序号ｎ的值．
分析1：等差数列的前ｎ项和公式可以写成Sn＝ｎ2＋ （ａ1－）ｎ，所以Sn可以看成函数ｙ＝x2＋（ａ1－
）ｘ（ｘ∈N*）．当ｘ＝ｎ时的函数值．另一方面，容易知道Sn关于ｎ的图像是一条抛物线上的一些点．因此，我们可以利用二次函数来求ｎ的值．
解：由题意知，等差数列5，4，3，…的公差为－，所以
于是，当ｎ取与最接近的整数即7或8时，Sn取最大值． 分析2：因为公差ｄ＝ －＜０，所以此数列为递减数列，如果知道从哪一项开始它后边的项全为负的，而它之前的项是正的或者是零，那么就知道前多少项的和最大了．即使点 评
然后从中求出ｎ．
这篇案例从具体的实例出发，引出等差数列的求和问题，在设计上，设计者注意激发学生的学习兴趣和探究欲望，通过等差数列求和公式的探索过程，培养学生观察、探索、发现规律、解决问题的能力． 对例题、练习的安排，这篇案例注意由浅入深，完整，全面．拓展延伸的设计有新意，有深度，符合学生的认识规律，有利于学生理解、掌握这节内容．
就总体而言，这篇案例体现了新课程的基本理念，尤其关注培养学生的数学思维能力和创新能力．另外，这篇案例对于继承传统教学设计注重“双基”、关注学生的落实，同时注意着眼于学生的全面发展，有比较好的体现。
