《正弦定理》教学设计
浙江省临海回浦中学应俊宇
一、教学内容：
本节课主要通过对实际问题的探索，构建数学模型，利用数学实验猜想发现正弦定理，并从理论上加以证明，最后进行简单的应用。
二、教材分析：
1、教材地位与作用：本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书·数学必修5》（A版）第一章中，是在高一学生学习了三角函数等知识之后安排的，显然是对三角函数知识的应用；同时，作为三角形中的一个定理，也是对初中解直角三角形内容的直接延伸，而定理本身的应用又十分广泛，因此做好该节内容的教学，使学生通过对任意三角形中正弦定理的探索、发现和证明，感受“类比—猜想—证明”的科学研究问题的思路和方法，体会由“定性研究到定量研究”这种数学地思考问题和研究问题的思想，养成大胆猜想、善于思考的品质和勇于求真的精神。
2、教学重点和难点：重点是正弦定理的发现和证明；难点是利用正弦定理解决“已知三角形的两边及一对角，求解三角形”问题。
三、教学目标：
1、知识目标：
掌握正弦定理，理解证明过程，并会简单应用。
2、能力目标：
（1）通过对实际问题的探索，培养学生数学地观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力。
（2）增强学生的协作能力和数学交流能力。
（3）发展学生的创新意识和创新能力。
3、情感态度与价值观：
（1）通过学生自主探索、合作交流，亲身体验数学规律的发现，培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的创新品质，增强学习的成功心理，激发学习数学的兴趣。
（2）通过实例的社会意义，培养学生的爱国主义情感和为祖国努力学习的责任心。
四、教学设想：
本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“正弦定理的发现”为基本探究内容，以周围世界和生活实际为参照对象，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对任意三角形性质的深入探讨。让学生在“活动”中学习，在“主
动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新。设计思路如下：
创设情境深入思考简单应用 探寻特例 观察实验提出猜想 证明猜想 总结评估布疑激趣 建立模型
五、教学过程：
（一）创设问题情景
课前放映一些有关军事题材的图片，并在课首给出引例：一天，我核潜艇A
正在某海域执行巡逻任务，突然发现其正东处有一敌艇B正以30海里/
小时的速
度朝北偏西40
°方向航行。经研究，决定向其发射鱼雷给以威慑性打击。已知鱼雷的速度为60海里/小时，问怎样确定发射角度可击中敌舰？
[设计一个学生比较感兴趣的实际问题，吸引学生注意力，使其立刻进入到
研究者的角色中来！]
（二）启发引导学生数学地观察问题，构建数学模型。
用电脑模拟演示鱼雷及敌舰行踪,在探讨鱼雷发射角度的过程中，抽象出一个解三角形问题：
1、考察角A的范围，回忆“大边对大角”的性质
2、让学生猜测角A与边a的关系
3、进一步修正雏形中的公式,启发学生大胆想象:ab以及AB22B
ababab,,,等sinAsinBcosAcosBtanAtanB
[直觉先行,思辨引路,在矛盾冲突中引发学生积极的思维!]
（三）引导学生用“特例到一般”的研究方法，猜想数学规律，并探寻理论
证明的方法。
[老师先利用多媒体投影直角三角形，引导学生观察，再提问引入]
［师］同学们，三角形是从小学开始我们就认识的图形，而直角三角形又是最简
单的三角形，谁能说说直角三角形有哪些边角关系？
［生］abc,AB90 , sinA2220basinB ,等 cc
ab 与 sinB 中，它们有何c［师］同学们回答得很好，在关系式sinA
ab联系？与会相等吗？sinAsinB
［生］相等，由变形可知abc。sinAsinB
c［师］因此，a、b两边与它们对角正弦值的比相等。该比值与相等吗？sinC
为什么？
abc［生］因为sinCsin901,所以： 。 sinAsinBsinC0
abc［师］ 对于锐角三角形，关系式： 是否成立？要sinAsinBsinC
找出边与角的正弦之间的关系，就要把锐角三角形转化直角三角形，如何转化？
cb［生］作高AD。则ADcsinB,ADbsinC 所以 sinCsinB
ab同理可证： ，sinAsinB
所以在锐角三角形中也有：
abc。 sinAsinBsinC
［师］从上面的探究我们发现，在直角和锐角三角形中都有：各边和它所对角的
正弦的比相等。而在钝角三角形有这样的结论吗？请同学们同桌之间相互讨论，共同探究，说明理由。
[让两位同学把自己的推理过程展示，老师点评，共同归纳，正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 abc即] sinAsinBsinC
[学生成为发现者，成为创造者！让学生享受成功的喜悦！]
（四）引导学生用正弦定理解决具体问题
［师］在证明了正弦定理之后，我们来进一步学习正弦定理的应用.利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形问题.(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角.
这类问题由于两角已知，故第三角确定，三角形唯一，解唯一，相对容易.
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.
此类问题变化较多，图中列出了在△ABC中，已知a、b和A时解三角形的各种情况；
接下来，我们通过例题评析来进一步体会与总结.例题评析：
［例1］在△ABC中，已知a＝10，A＝30°，B＝45°，求b
.
分析：此题属于已知两角和其中一角求对边的问题，直接应用正弦定理可求出边b.ab解：∵
sinAsinB
∴basinBsinA
评述：(1)此类问题结果为唯一解，学生较易掌握，如果已知两角和两角所夹的边，也是先利用内角和180°求出第三角，再利用正弦定理.
［变式1］在△ABC中，已知a＝2，b
A＝45°，求B .
解：∵由正弦定理得：sinB
∴B1＝30°，B2＝150°
又∵ab∴ AB
∴B30°.
评述：通过此例题可使学生明确，利用正弦定理所求角有两种可能，但是都不符合题意，可以通过分析三角形大边对大角的理论进行取舍.
［变式2］在△ABC中，已知a
b＝2，A＝30°，求B .
解析：∵sinB
＝，且b >a，所以B >A， 2bsinA1 a
2∴B＝45°或 135°
［变式3］在△ABC中，已知a＝2，b＝4，A＝45°，求B .
解：∵sinBbsinAa
1∴ 角B 无解.
归纳: 1.已知两角和任一边，求其他两边和一角.(解唯一)
2.已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.(要对已知角的类型:锐角、直角、钝角，进行分类讨论)
[课堂练习]
1.在△ABC中，根据下列条件，判断三角形解的个数.(1)已知a＝10，b=20 ，A＝60°；
(2)已知a
＝b＝6，A＝30°.
评述：此练习目的是使学生进一步熟悉正弦定理，同时加强解斜三角形的能力，既要考虑到已知角的正弦值求角的两种可能，又要结合题目的具体情况进行正确取舍.
（五）课堂小结
1.正弦定理及其证明方法；
2.明确了利用正弦定理所能解决的两类有关三角形问题：
(1).已知两角一边；
(2).已知两边和其中一边的对角.
3.正弦定理具有对称和谐美.
4．“类比→实验→猜想→证明”是一种常用的研究问题的思维与方法..
（六）课后作业
1.课本(P10) 习题1.1A组： 1，2； B组：1 .
2.研究性学习作业：能否采用向量的方法证明正弦定理
六、板书设计：
七、课后反思
本节课授课对象为外语班的学生，学习基础较好。同时，考虑到这是一节探究课，授课前并没有告诉学生授课内容。学生在未经预习不知正弦定理内容和证明方法的前提下，在教师预设的思路中，一步步发现了定理并证明了定理，感受到了创造的快乐，激发了学习数学的兴趣。
（一）、通过创设教学情境，激活了学生思维。从认知的角度看，情境可视为一种信息载体，一种知识产生的背景。本节课数学情境的创设突出了以下两点：
1．从有利于学生主动探索设计数学情境。新课标指出：学生的数学学习内容应当是现实的、有趣的和富有挑战性的。从心理学的角度看，青少年有一种好奇的心态、探究的心理。因此，本教案紧紧地抓住高二学生的这一特征，利用“正弦定理的发现和证明”这一富有挑战性和探索性的材料，精心设计教学情境，使学生在观察、实验、猜想、验证、推理等活动中，逐步形成创新意识。
2.以问题为导向设计教学情境。“问题是数学的心脏”，本节课数学情境的设计处处以问题为导向： “怎样调整发射角度呢？”、“我们的工作该怎样进行
呢？”、“我们的‘根据地’是什么？”、“对任意三角形都成立吗？”„„促使学生去思考问题，去发现问题。
（二）、创造性地使用了教材。数学教学的核心是学生的“再创造”，新课标提倡教师创造性地使用教材。本节课从问题情境的创造到数学实验的操作，再到证明方法的发现，都对教材作了一定的调整和拓展，使其更符合学生的思维习惯和认知水平，使学生在知识的形成过程、发展过程中展开思维，发展了学生的能力。
一些遗憾：由于这种探究课型在平时的教学中还不够深入，有些学生往往以一种观赏者的身份参与其中，主动探究意识不强，思维水平没有达到足够的提升。但相信随着课改实验的深入，这种状况会逐步改善。
一些感悟：轻松愉快的课堂是学生思维发展的天地，是合作交流、探索创新的主阵地，是思想教育的好场所。新课标下的课堂是学生和教师共同成长的舞台！
