《线性代数（4课时）》课程教学大纲
一、课程说明
（一）课程名称：《线性代数》； 所属专业：综合性大学理工科各类专业； 课程性质：公共必修课； 学分：周4学时，共72学时。
（二）课程简介、目标与任务：
《线性代数》是一门数学基础课，理论严谨，内容较为抽象。通过本课程的学习，要求学生了解线性代数的基本理论和方法，使学生打下坚实的数学基础，掌握牢固的数学知识，提高学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、实际应用能力以及解题的技能与技巧,并能用所学知识解决相关问题。从“知识”和“能力”两个方面为学习后续课程奠定必要的基础。
通过《线性代数》的教学，使学生了解和掌握行列式、向量、矩阵、线性方程组、线性空间和线性变换、二次型等基本理论和基本知识，并具有熟练的矩阵运算能力和用矩阵方法解决实际问题能力，同时使学生的抽象思维能力受到一定的训练。
（三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接： 学习该课程的学生应该具有微积分及代数基本知识。
（四）教材与主要参考书：
选用教材：
《线性代数》，罗彦锋编著，兰州大学出版社，2009年；
主要参考书：
[1] 《线性代数》，徐军民，刘义循， 兰州大学出版社，2001。 [2] 《线性代数》， 同济大学数学教研室编，第四版，同济大学出版社，1999。 [3] 《Linear Algebra And Its Application》,David C.Lay ，1995。 [4] 《高等代数》，北京大学数学系几何与代数教研室代数小组，高等教育出版社，1988。
[5] 《线性代数》，卢刚编著，高教人民出版社，2010年。
二、课程内容与学时安排
本课程主要教学内容包括行列式、矩阵代数、线性方程组、线性空间与线性变换、矩阵的特征值与特征向量、矩阵的对角化、二次型等。教学内容按照72学时设计，具体安排如下： 第一章 行列式
第一节 数域和矩阵 第二节 二阶与三阶行列式 第三节 n阶排列 第四节 n阶行列式的定义 第五节 行列式的性质
第六节 行列式按行（列）展开
第七节 行列式的计算
第八节 克莱姆法则
（一）教学方法与学时分配 黑板板书与多媒体教学相结合; 14学时;
（二）内容及基本要求 主要内容：
1.数域的概念及例子，矩阵的定义及相关概念。 2.二阶、三阶行列式的定义及例子。 3.n个正整数的（全）排列及其逆序数的概念，排列的奇偶性，关于一个排列的对换，对换与排列的奇偶性的关系。
4.利用排列定义n阶行列式，用定义计算一些简单的但又是典型的n阶行列式（如：上（下）三角形行列式及对角行列式）。
5.行列式的基本性质，利用这些性质进行行列式的计算。
6.行列式的元素及子式的余子式，代数余子式的概念，以及按行按列（包括多行多列）展开的性质。并会利用这些性质计算行列式。
7.利用行列式的基本性质及行列式按行（列）展开计算行列式。一些特殊结构的行列式的计算技巧和方法。
8.讨论一类特殊的线性方程组（即方程的个数与未知量的个数相等且系数行列式非0的方程组）的解法。对于此类方程组，可利用行列式直接求解，此即克莱姆法则。
【重点掌握】：行列式计算及克莱姆法则； 【掌握】：行列式性质，特殊行列式的计算方法； 【了解】：逆序数的相应性质等，加边法求解行列式； 【难点】：拉普拉斯定理，余子式等。 第二章 矩阵代数
第一节 n维向量
第二节 向量的线性相关与线性无关、向量组的秩 第三节 矩阵的运算
第四节 矩阵的初等变换及其等价标准形 第五节 矩阵的秩 第六节 可逆矩阵 第七节 分块矩阵及其应用 第八节 初等变换与初等矩阵
（一） 教学方法与学时分配
黑板板书与多媒体教学相结合; 16学时;
（二）内容及基本要求 主要内容：
1.n维向量的定义及其线性运算和性质。
2.线性组合，线性表示，向量组的线性相关与线性无关的概念，以及与之相关的若干性质；向量组的极大无关组Fn 中的向量组的极大无关组的求法，向量组的秩。
3.矩阵的基本运算及与运算相关的重要性质，其基本运算包括矩阵的加法、数与矩阵的乘法（即矩阵的数乘）、矩阵的乘法、矩阵的转置。
4．矩阵的初等变换的概念，讨论矩阵在初等变换下可化为怎样的“简单”形式，这些简单形式包括阶梯形和标准形等，求一个向量组的极大线性无关组的方法。
5.矩阵的秩的定义及其若干充要条件，矩阵的乘积的秩与因子的秩的关系，利用初等变换求矩阵的秩。
6.可逆矩阵的定义及与逆矩阵相关的重要矩阵运算性质，利用这些性质判断一个方阵是否可逆。矩阵的伴随矩阵的定义，利用伴随矩阵求解一个可逆矩阵的逆矩阵。
7.矩阵分块的概念，矩阵分块的性质（重点是关于矩阵乘法的性质）,并能够利用其性质简化矩阵的运算。
8.初等矩阵的概念，以及初等变换与初等矩阵二者之间的关系；矩阵可逆的等价条件；利用矩阵的初等变换判断一个方阵是否可逆，及在可逆时求其逆矩阵。
【重点掌握】：矩阵逆的求解方法；秩的概念和求解；线性相关和无关的概念；
【掌握】：初等变换与初等矩阵的关系；伴随矩阵的定义； 【了解】：分块矩阵求逆；
【难点】：矩阵乘积，初等变换求逆，矩阵方程，伴随矩阵的性质，向量组的线性相关和线性无关的判断，极大线性无关组的求解。
第三章 线性方程组 第一节 消元法
第二节 线性方程组有解判定定理
第三节 线性方程组解的结构
（一） 教学方法与学时分配（10学时）
黑板板书与多媒体教学相结合; 10学时;
（二）内容及基本要求 主要内容：
1.线性方程组消元解法的一般步骤，线性方程组解的有关定理，主未知变量，自由未知变量。
2.基于系数矩阵的秩和增广矩阵的秩之间的大小关系，得到线性方程组有解判定定理。
3.齐次线性方程组解的结构，齐次线性方程组的基础解系；非齐次线性方程组解的结构，特解，非齐次线性方程组的通解。利用有解判定定理判定一个含有参数系数的方程组当参数取何值时方程组无解、有解，并在有解的情形下求得解（唯一解）或者通解（多解）。
【重点掌握】：线性方程组的求解方法；基础解系； 【掌握】：线性方程组有解无解的判定方法； 【了解】：高斯消元法；
【难点】：含有参数的线性方程组的讨论，齐次线性方程组和非齐次线性方程组的解的关系。
第四章 线性空间与线性变换
第一节 集合与映射
第二节 线性空间的定义及其基本性质 第三节 维数、基与坐标
第四节 线性子空间
第五节 线性空间的同构
第六节 欧式空间
第七节 标准正交基 第八节 线性变换及其运算
第九节 线性变换的矩阵
第十节 正交变换与对称变换
（一） 教学方法与学时分配
黑板板书与多媒体教学相结合; 16学时;
（二）内容及基本要求 主要内容：
1.集合的概念及其运算，映射的概念，满射，单射，双射，双射的逆映射及例子。
2.线性空间的定义及其简单性质,并给出一些具体例子。
3.线性空间的维数与基，一个向量关于一个基的坐标，由一个基到另一个基的过渡矩阵，同一个向量在两个基下的坐标之间的关系。
4.线性子空间的概念及例子，子空间的判定定理，子空间的生成系，子空间的若干基本性质，子空间的交与和运算，维数定理。
5.两个线性空间同构的概念，两个有限维线性空间同构的充要条件。 6.实数域上的线性空间中的内积及例子，内积的基本性质，向量的长度，两个非0向量之间的夹角。欧式空间的定义。度量矩阵的定义。
7.正交向量组，标准正交向量组，正交基，标准正交基；正交向量组的性质，施密特正交化过程；正交矩阵及其基本性质。
8.线性变换的定义及例子，线性变换的加法、数乘、乘积运算及其性质。是双射的线性变换的逆线性变换。一个线性空间的线性变换关于线性变换的加法、数乘构成一个线性空间。
9.线性变换的矩阵，线性变换空间与数域F上的矩阵空间Fnn之间的一一对应关系。一个向量及其在一个线性变换作用后的向量在一组基下的坐标之间的关系。矩阵的相似。
10.正交变换及其充要条件，对称变换及其充要条件，正交矩阵的若干性质。 【重点掌握】：线性空间的基与维数的概念；基础解系；标准正交基；过渡矩阵，矩阵相似的定义； 【掌握】：子空间基与维数的求解，正交化方法；坐标； 【了解】：映射与函数区别；线性空间的同构；欧式空间同构；
【难点】：维数与基的求解，向量的线性相关和线性无关的判断，正交矩阵的性质，线性变换在基下的矩阵的求解。 第五章 特征值与特征向量、矩阵的对角化
第一节 特征值与特征向量 第二节 矩阵的对角化 第三节 实对称矩阵的对角化
（一）教学方法与学时分配
黑板板书与多媒体教学相结合; 8学时;
（二）内容及基本要求 主要内容：
1.线性变换的特征值、特征向量的定义， 特征子空间， 矩阵的特征多项式， 矩阵的特征值与特征向量， 矩阵的特征值、特征向量与线性变换的特征值、特征向量之间的关系。
2.矩阵可相似于对角阵的条件， 属于不同特征值的线性无关的特征向量构成的向量组仍线性无关，几何重数不超过代数重数。
3.实对称矩阵的特征值都是实数，实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量是正交的。实对称矩阵相似于对角矩阵。
【重点掌握】：矩阵的特征值和特征向量的求解，矩阵对角化的充要条件； 【掌握】：特征子空间的维数和基，一般矩阵和实对称矩阵对角化的基本步骤；特征子空间；
【了解】：复矩阵的特征值及相应性质； 【难点】：实对称矩阵的相似变换成对角阵。 第六章 二次型
第一节 二次型及其矩阵表示 第二节 标准形 第三节 规范形 第四节 正定二次型与正定矩阵
（一） 教学方法与学时分配
黑板板书与多媒体教学相结合; 8学时;
（二）内容及基本要求 主要内容：
1.实二次型的定义，实二次型的矩阵形式，矩阵的合同关系。
2.实二次型的标准形；化实二次型为标准形的方法：配方法，初等变换法，正交变换法。
3.实二次型的规范形，关于实二次型的惯性定理。
4.正定二次型的定义及其充要条件，正定二次型的性质。判定二次型正定或矩阵正定的方法。半正定二次型的定义及其充要条件。
【重点掌握】：用三种方法化一个矩阵为标准形；正定矩阵或正定二次型的判定；
【掌握】：标准形和规范形；惯性定理，正负惯性指数，矩阵合同； 【了解】：半负定矩阵的等价条件；
【难点】：正定矩阵的等价形式，正交变换法化二次型为标准型。
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