18.4.2反比例函数的图象和性质（1）
一、教学目标
1.利用描点法画出反比例函数的图象,理解反比例函数的图象是双曲线； 通过反比例函数的图象的分析，探索并掌握反比例函数的图象的性质；利用反比例函数的图象解决有关问题．
2.经历观察、分析，交流的过程，逐步提高从函数图象中感受其规律的能力；体会用数形结合思想解数学问题．
3.提高学生的观察、分析的能力和对图形的感知水平，使学生从整体上领悟研究函数的一般要求。
二、重难点
重点：会作反比例函数的图象；探索并掌握反比例函数的主要性质。 难点：探索并掌握反比例函数的主要性质及性质运用。
三、教学过程
（一）复习引入新课: 1．什么是反比例函数?
k本节课，我们就来讨论一般的反比例函数y（k是常数，k≠0）的图象，
x探究它有什么性质．
（二）探究发现：
6活动1.画出函数y的图象．
x分析 画出函数图象一般分为列表、描点、连线三个步骤，在反比例函数中自变量x ≠0．
解 1．列表：这个函数中自变量x的取值范围是不等于零的一切实数，列出x与y的对应值：
2.描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出各点(－6,－1)、(－3,－2)、(－2,－3)等．
3.连线：用光滑的曲线将第一象限各点依次连起来，得到图象的第一个分支；用光滑的曲线将第三象限各点依次连起来，得到图象的另一个分支．这两个分支合起来，就是反比例函数的图象．
上述图象，通常称为双曲线(hyperbola)．
提问 1这两条曲线会与x轴、y轴相交吗？为什么？
6活动2：画出反比例函数y的图象（学生动手画反比函数图象，进一步掌握
x画函数图象的步骤）．
学生讨论、交流以下问题，并将讨论、交流的结果回答问题．
61.这个函数的图象在哪两个象限？和函数y的图象有什么不同？
xk2.反比例函数y(k≠0)的图象在哪两个象限内？由什么确定？
x3.联系一次函数的性质，你能否总结出反比例函数中随着自变量x的增加，函数y将怎样变化？有什么规律？
k反比例函数y有下列性质：
x(1)当k＞0时，函数的图象在第
一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y随x的增加而减少；
(2)当k＜0时，函数的图象在第
二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内y随x的增加而增加．
注 1．双曲线的图象向x轴、y轴无限接近，但永远无法到达，即它的两个分支与x轴和y轴没有交点；
2．双曲线的两个分支关于原点成中心对称． 3．有两条对称轴y=x、y=-x．
（三）实践应用
例1 若反比例函数y(m1)x2m2的图象在第
二、四象限，求m的值．
分析 由反比例函数的定义可知：2m21 ,又以m＋1＜0，由这两个条件可解出m的值．
2m21,解 由题意，得 解得m3．
m10k(k≠0)，当x＞0时，y随x的增大而增大，求一次x函数y＝kx－k的图象经过的象限． 例2 已知反比例函数yk(k≠0)，当x＞0时，y随x的增大而增大，因此kx＜0，而一次函数y＝kx－k中，k＜0，可知，图象过
二、四象限，又－k＞0，所以直线与y轴的交点在x轴的上方．
k解 因为反比例函数y(k≠0)，当x＞0时，y随x的增大而增大，所以k＜0，
x所以一次函数y＝kx－k的图象经过
一、
二、四象限． 例3 已知反比例函数的图象过点(1,－2)． (1)求这个函数的解析式，并画出图象；
(2)若点A(－5,m)在图象上，则点A关于两坐标轴和原点的对称点是否还在图象上？
分析 (1) 反比例函数的图象过点(1,－2)，即当x＝1时，y＝－2．由待定系数法可求出反比例函数解析式；再根据解析式，通过列表、描点、连线可画出反比例函数的图象；
(2)由点A在反比例函数的图象上，易求出m的值，再验证点A关于两坐标轴和原点的对称点是否在图象上．
k解 (1)设：反比例函数的解析式为：y(k≠0)．
x而反比例函数的图象过点(1,－2)，即当x＝1时，y＝－2．
k所以2，k＝－2．
12即反比例函数的解析式为：y．
x分析 由于反比例函数y
222(2)点A(－5,m)在反比例函数y图象上，所以m，
x552点A的坐标为(5,)．
52点A关于x轴的对称点(5,)不在这个图象上；
52点A关于y轴的对称点(5,)不在这个图象上；
52点A关于原点的对称点(5,)在这个图象上；
例4 一个长方体的体积是100立方厘米，它的长是y厘米，宽是5厘米，高是x厘米．
(1)写出用高表示长的函数关系式； (2)写出自变量x的取值范围； (3)画出函数的图象．
20解 (1)因为100＝5xy,所以y ．
x(2)x＞0．
(3)图象如下：
说明 由于自变量x＞0,所以画出的反比例函数的图象只是位于第一象限内的一个分支．
1例5．如图，过反比例函数y（x＞0）的图象上任意两点A、
xB分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OA、OB，设△AOC和△BOD的面积分别是S
1、S2，比较它们的大小，可得（ ） （A）S1＞S2 （B）S1＝S2 （C）S1＜S2 （D）大小关系不能确定
k分析：从反比例函数y（k≠0）的图象上任一点P（x，y）向x轴、y轴作
x1垂线段，与x轴、y轴所围成的矩形面积Sxyk，由此可得S1＝S2 ＝ ，故
2选B
k练习2．在平面直角坐标系内，过反比例函数y（k＞0）的图象上的一
x点分别作x轴、y轴的垂线段，与x轴、y轴所围成的矩形面积是6，则函数解析式为
四、交流反思
本节课学习了画反比例函数的图象和探讨了反比例函数的性质． 1.反比例函数的图象是双曲线(hyperbola)． 2.反比例函数有如下性质：
(1)当k＞0时，函数的图象在第
一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y随x的增加而减少；
(2)当k＜0时，函数的图象在第
二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内y随x的增加而增加．
（3）k的几何意义
四、课堂练习：1P52页练习
1、
2若反比例函数y(3n9)xn213的图象在所在象限内，y随x的增大而增大，求n的值．
五、小结：这节课，你学会了什么？
六、作业 ：见题篇
七板书设计：
教学后记：
