2018年中考菱形 压轴题
一．解答题（共19小题）
1．如图，两个全等的△ABC和△DFE重叠在一起，固定△ABC，将△DEF进行如下变换：
（1）如图1，△DEF沿直线CB向右平移（即点F在线段CB上移动），连接AF、AD、BD．请直接写出S△ABC与S四边形AFBD的关系；
（2）如图2，当点F平移到线段BC的中点时，若四边形AFBD为正方形，那么△ABC应满足什么条件？请给出证明；
（3）在（2）的条件下，将△DEF沿DF折叠，点E落在FA的延长线上的点G处，连接CG，请你在图3的位置画出图形，并求出sin∠CGF的值．
2．如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以这两个交点和该抛物线的顶点、对称轴上一点为顶点的菱形称为这条抛物线的“抛物菱形”． （1）若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点为（﹣1，0）、
（3，0），且这条抛物线的“抛物菱形”是正方形，求这条抛物线的函数解析式； （2）如图，四边形OABC是抛物线y=﹣x2+bx（b＞0）的“抛物菱形”，且∠OAB=60° ①求“抛物菱形OABC”的面积．
②将直角三角板中含有“60°角”的顶点与坐标原点O重合，两边所在直线与“抛物菱形OABC”的边AB、BC交于E、F，△OEF的面积是否存在最小值，若存在，求出此时△OEF的面积；若不存在，说明理由．
3．如图，二次函数图象的顶点为坐标原点O，y轴为对称轴，且经过点A（3，3），
一次函数的图象经过点A和点B（6，0）． （1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）如果一次函数图象与y轴相交于点C，E是抛物线上OA段上一点，过点E作y轴平行的直线DE与直线AC交于点D，∠DOE=∠EDA，求点E的坐标； （3）点M是线段AC延长线上的一个动点，过点M作y轴的平行线交抛物线于F，以点O、C、M、F为顶点的四边形能否为菱形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由．
4．如图，在直角梯形AOCB中，AB∥OC，∠AOC=90°，AB=1，AO=2，OC=3，以O为原点，OC、OA所在直线为轴建立坐标系．抛物线顶点为A，且经过点C．点P在线段AO上由A向点O运动，点Q在线段OC上由C向点O运动，QD⊥OC交BC于点D，OD所在直线与抛物线在第一象限交于点E． （1）求抛物线的解析式；
（2）点E′是E关于y轴的对称点，点Q运动到何处时，四边形OEAE′是菱形？ （3）点P、Q分别以每秒2个单位和3个单位的速度同时出发，运动的时间为t秒，当t为何值时，PB∥OD？
5．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点A（﹣3，4）、B（﹣3，0）、C（﹣1，0）．以D为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点B．动点P从点D出
发，沿DC边向点C运动，同时动点Q从点B出发，沿BA边向点A运动，点P、Q运动的速度均为每秒1个单位，运动的时间为t秒．过点P作PE⊥CD交BD于点E，过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G． （1）求抛物线的解析式；
（2）当t为何值时，四边形BDGQ的面积最大？最大值为多少？
（3）动点P、Q运动过程中，在矩形ABCD内（包括其边界）是否存在点H，使以B，Q，E，H为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出此时菱形的周长；若不存在，请说明理由．
6．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a交x轴于A、B两点，交y的正半轴于点C，连接BC，且OB=OC． （1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点D为第一象限抛物线上一点，过点D作DE⊥BC于点E，设DE=d，点D的横坐标为t，求d与t的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，点F为抛物线的顶点，对称轴交x轴于点G，连接DF，过D作DH⊥DF交FG于点H，点M为对称轴左侧抛物线上一点，点N为平面上一点且tan∠HDN=
，当四边形DHMN为菱形时，求点N的坐标．
7．已知抛物线y=ax2+bx+8（a≥1）过点D（5，3），与x轴交于点B、C（点B、C均在y轴右侧）且BC=2，直线BD交y轴于点A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在坐标轴上是否存在一点N，使△ABN与△BCD相似？若存在，求出点A、N的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在直线BD上是否存在一点P和平面内一点Q，使以Q、P、B、C四点为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
8．已知，如图，在平面直角坐标系中，△ABC的边BC在x轴上，顶点A在y轴的正半轴上，OA=2，OB=1，OC=4．
（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）设点G是对称轴上一点，求当△GAB周长最小时，点G的坐标；
（3）若抛物线对称轴交x轴于点P，在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△PAQ是以PA为腰的等腰直角三角形？若存在，写出所有符合条件的点Q的坐标，并选择其中一个的加以说明；若不存在，说明理由；
（4）设点M是x轴上的动点，试问：在平面直角坐标系中，是否存在点N，使得以点A、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．
9．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知OB=OC=6． （1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）连接BD，F为抛物线上一动点，当∠FAB=∠EDB时，求点F的坐标； （3）平行于x轴的直线交抛物线于M、N两点，以线段MN为对角线作菱形MPNQ，当点P在x轴上，且PQ=MN时，求菱形对角线MN的长．
10．如图，抛物线y=ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A，B，C三点，已知点A（﹣2，0），点C（0，﹣8），点D是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）如图1，抛物线的对称轴与x轴交于点E，第四象限的抛物线上有一点P，将△EBP沿直线EP折叠，使点B的对应点B\'落在抛物线的对称轴上，求点P的坐标；
（3）如图2，设BC交抛物线的对称轴于点F，作直线CD，点M是直线CD上的动点，点N是平面内一点，当以点B，F，M，N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点M的坐标．
11．如图，▱ABCD的两个顶点B，D都在抛物线y=tan∠ACB=．
（1）求抛物线的解析式；
x2+bx+c上，且OB=OC，AB=5，
（2）在抛物线上是否存在点E，使以A，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）动点P从点A出发向点D运动，同时动点Q从点C出发向点A运动，运动速度都是每秒1个单位长度，当一个点到达终点时另一个点也停止运动，运动时间为t（秒）．当t为何值时，△APQ是直角三角形？
12．如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），抛物线y=x2+bx+c经过B点，且顶点在直线x=上 （1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，若M点是CD所在指向下方该抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交CD于点N，设点M的横坐标为t，MN的长度为L，求l与t之间的函数关系式，并求l取最大值时，点M的坐标；
（3）△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，当四边形ABCD是菱形时，连接BD，点P在抛物线上，若△PBD是以BD为直角边的直角三角形，请求出此时P点的坐标．
13．如图，直线y=x+1与y轴交于A点，过点A的抛物线y=﹣x2+bx+c与直线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（3，0）．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围； （3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由．
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+
（其中a、b为常数，a≠0）经过点A（﹣1，0）和点B（3，0），且与y轴交于点C，点D为对称轴与直线BC的交点．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）抛物线上存在点P，使得△DPB∽△ACB，求点P的坐标；
（3）若点Q为点O关于直线BC的对称点，点M为直线BC上一点，点N为坐标平面内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以Q、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图，对称轴为直线x=的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．（1）求
抛物线解析式及顶点坐标；
（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）①当四边形OEAF的面积为24时，请判断OEAF是否为菱形？
②是否存在点E，使四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）在（3）①的条件下，当四边形OEAF为菱形时，设动点P在直线OE下方的抛物线上移动，则点P到直线OE的最大距离是
．
16．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，0），B（6，0）和C（0，4 ）三个点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点E（m，n）是抛物线上一个动点，且位于第四象限，四边形OEBF是以OB为对角线的平行四边形，求四边形OEBF的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）当四边形OEBF的面积为24时，请判断四边形OEBF是否为菱形？
17．如图，抛物线y=x2+bx+c与直线l：y=kx+m交于A（4，2）、B（0，﹣1）两点．
（1）求抛物线与直线的解析式；
（2）若点D是直线l下方抛物线上的一动点，过点D作DE∥y轴交直线l于点E，求DE的最大值，并求出此时D的坐标；
（3）在（2）的条件下，DE取最大值时，点P在直线AB上，平面内是否存在点Q，使得以点D、E、P、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
18．如图，抛物线y=﹣x2﹣
x+1与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）． （1）求直线AB的函数关系式；
（2）动点E在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点E作EG⊥x轴，交直线AB于点F，交抛物线于点G．设点E移动的时间为t秒，GF的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）设在（2）的条件下（不考虑点E与点O、C重合的情况），连接CF，BG，当t为何值时，四边形BCFG为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCFG是否菱形？请说明理由．
19．如图，已知抛物线y=ax2+c过点（﹣2，2），（4，5），过定点F（0，2）的直线l：y=kx+2与抛物线交于A、B两点，点B在点A的右侧，过点B作x轴的垂线，垂足为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点B在抛物线上运动时，判断线段BF与BC的数量关系（＞、＜、=），并证明你的判断；
（3）P为y轴上一点，以B、C、F、P为顶点的四边形是菱形，设点P（0，m），求自然数m的值；
（4）若k=1，在直线l下方的抛物线上是否存在点Q，使得△QBF的面积最大？若存在，求出点Q的坐标及△QBF的最大面积；若不存在，请说明理由．
2018年04月19日191****7496的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．解答题（共19小题）
1．如图，两个全等的△ABC和△DFE重叠在一起，固定△ABC，将△DEF进行如下变换：
（1）如图1，△DEF沿直线CB向右平移（即点F在线段CB上移动），连接AF、AD、BD．请直接写出S△ABC与S四边形AFBD的关系；
（2）如图2，当点F平移到线段BC的中点时，若四边形AFBD为正方形，那么△ABC应满足什么条件？请给出证明；
（3）在（2）的条件下，将△DEF沿DF折叠，点E落在FA的延长线上的点G处，连接CG，请你在图3的位置画出图形，并求出sin∠CGF的值．
【解答】解：（1）S△ABC=S四边形AFBD， 理由：由题意可得：AD∥EC， 则S△ADF=S△ABD， 故S△ACF=S△ADF=S△ABD， 则S△ABC=S四边形AFBD；
（2）△ABC为等腰直角三角形，即：AB=AC，∠BAC=90°， 理由如下：∵F为BC的中点， ∴CF=BF， ∵CF=AD， ∴AD=BF， 又∵AD∥BF，
∴四边形AFBD为平行四边形，
∵AB=AC，F为BC的中点， ∴AF⊥BC，
∴平行四边形AFBD为矩形， ∵∠BAC=90°，F为BC的中点， ∴AF=BC=BF，
∴四边形AFBD为正方形；
（3）如图3所示：
由（2）知，△ABC为等腰直角三角形，AF⊥BC， 设CF=k，则GF=EF=CB=2k， 由勾股定理得：CG=sin∠CGF===
k， ．
2．如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以这两个交点和该抛物线的顶点、对称轴上一点为顶点的菱形称为这条抛物线的“抛物菱形”． （1）若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点为（﹣1，0）、
（3，0），且这条抛物线的“抛物菱形”是正方形，求这条抛物线的函数解析式； （2）如图，四边形OABC是抛物线y=﹣x2+bx（b＞0）的“抛物菱形”，且∠OAB=60° ①求“抛物菱形OABC”的面积．
②将直角三角板中含有“60°角”的顶点与坐标原点O重合，两边所在直线与“抛物菱形OABC”的边AB、BC交于E、F，△OEF的面积是否存在最小值，若存在，求出此时△OEF的面积；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点为（﹣1，0）、（3，0），四边形OABC是正方形， ∴A（1，2）或（1，﹣2），
当A（1，2）时， 解得：
当A（1，﹣2）时解得
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+或y=x2﹣x﹣； （2）①∵由抛物线y=﹣x2+bx（b＞0）可知OB=b， ∵∠OAB=60°， ∴A（，b），
b=﹣（）2+b
，解得：b=
2， 代入y=﹣x2+bx得：∴OB=2，AC=6，
∴“抛物菱形OABC”的面积=OB•AC=6②存在；
；
当三角板的两边分别垂直与AB和BC时三角形OEF的面积最小， ∵OE⊥AB， ∴∠EOB==30°，
同理∠BOF=30°， ∵∠EOF=60°
∴OB垂直EF且平分EF， ∴三角形OEF是等边三角形， ∵OB=2∴OE=3， ∴OE=OF=EF=3， ∴△OEF的面积=
3．如图，二次函数图象的顶点为坐标原点O，y轴为对称轴，且经过点A（3，3），一次函数的图象经过点A和点B（6，0）． （1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）如果一次函数图象与y轴相交于点C，E是抛物线上OA段上一点，过点E作y轴平行的直线DE与直线AC交于点D，∠DOE=∠EDA，求点E的坐标； （3）点M是线段AC延长线上的一个动点，过点M作y轴的平行线交抛物线于F，以点O、C、M、F为顶点的四边形能否为菱形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由．
． ，
【解答】解：（1）设二次函数的解析式为y=ax2， 把点A（3，3）代入得3=a×32，解得a=； 设一次函数的解析式为y=kx+b， 把点A（3，3）、点B（6，0）代入得
，解得
，
所以二次函数与一次函数的解析式分别为y=x2，y=﹣x+6；
（2）C点坐标为（0，6）， ∵DE∥y轴，
∴∠ODE=∠COD，∠EDA=∠OCD， ∵∠DOE=∠EDA， ∴∠DOE=∠OCD， ∴△OCD∽△DOE，
∴OC：OD=OD：DE，即OD2=OC•DE，
设E点坐标为（a，a2），则D点坐标为（a，6﹣a）， OD2=a2+（6﹣a）2，=2a2﹣12a+36，OC=6，DE=6﹣a﹣a2， ∴2a2﹣12a+36=6（6﹣a﹣a2），解得a1=0，a2=， ∵E是抛物线上OA段上一点， ∴0＜a＜3， ∴a=，
∴点E坐标为（，）；
（3）以点O、C、M、F为顶点的四边形不能为菱形．理由如下：
如图，过O点作OF∥AC交抛物线于F，过F点作FM∥y轴交AC延长线于M点，交x轴于H点，
则四边形OCMF为平行四边形， ∵OC=OB=6，
∴△OCB为等腰直角三角形， ∴∠OBC=45°， ∴∠HOF=45°，
∴△OHF为等腰直角三角形， ∴HO=HF，
设F点坐标为（m，﹣m）（m＞0），
把F（m，﹣m）代入y=x2得﹣m=m2，解得m1=0，m2=﹣3， ∴m=﹣3， ∴HO=HF=3， ∴OF=OH=3，
而OC=6，
∴四边形OCMF不为菱形．
4．如图，在直角梯形AOCB中，AB∥OC，∠AOC=90°，AB=1，AO=2，OC=3，以O为原点，OC、OA所在直线为轴建立坐标系．抛物线顶点为A，且经过点C．点P在线段AO上由A向点O运动，点Q在线段OC上由C向点O运动，QD⊥OC交BC于点D，OD所在直线与抛物线在第一象限交于点E． （1）求抛物线的解析式；
（2）点E′是E关于y轴的对称点，点Q运动到何处时，四边形OEAE′是菱形？ （3）点P、Q分别以每秒2个单位和3个单位的速度同时出发，运动的时间为t秒，当t为何值时，PB∥OD？
【解答】解：（1）∵A（0，2）为抛物线的顶点， ∴设y=ax2+2，
∵点C（3，0），在抛物线上， ∴9a+2=0， 解得：a=﹣，
∴抛物线为；y=﹣x2+2；
（2）如果四边形OEAE′是菱形，则AO与EE′互相垂直平分， ∴EE′经过AO的中点，
∴点E纵坐标为1，代入抛物线解析式得： 1=﹣x2+2， 解得：x=±，
∵点E在第一象限， ∴点E为（，1），
设直线BC的解析式为y=kx+b，把B（1，2），C（3，0），代入得：
，
解得：，
∴BC的解析式为：y=﹣x+3，
将E点代入y=ax，可得出EO的解析式为：y=由，
x，
得：，
∴Q点坐标为：（∴当Q点坐标为（
，0），
，0）时，四边形OEAE′是菱形；
（3）法一：设t为m秒时，PB∥DO，又QD∥y轴，则有∠APB=∠AOE=∠ODQ， 又∵∠BAP=∠DQO，则有△APB∽△QDO， ∴=，
由题意得：AB=1，AP=2m，QO=3﹣3m， 又∵点D在直线y=﹣x+3上，∴DQ=3m， 因此：=，解得：m=，
经检验：m=是原分式方程的解， ∴当t=秒时，PB∥OD．
法二：作BH⊥OC于H，则BH=AO=2，OH=AB=1，HC=OC﹣OH=2， ∴BH=HC，∴∠BCH=∠CBH=45°， 易知DQ=CQ，
设t为m秒时PB∥OE，则△ABP∽△QOD， ∴∴==，易知AP=2m，DQ=CQ=3m，QO=3﹣3m， ，
解得m=，经检验m=是方程的解， ∴当t为秒时，PB∥OD．
5．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点A（﹣3，4）、B（﹣3，0）、C（﹣1，0）．以D为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点B．动点P从点D出发，沿DC边向点C运动，同时动点Q从点B出发，沿BA边向点A运动，点P、Q运动的速度均为每秒1个单位，运动的时间为t秒．过点P作PE⊥CD交BD于点E，过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G． （1）求抛物线的解析式；
（2）当t为何值时，四边形BDGQ的面积最大？最大值为多少？
（3）动点P、Q运动过程中，在矩形ABCD内（包括其边界）是否存在点H，使以B，Q，E，H为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出此时菱形的周长；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意得，顶点D点的坐标为（﹣1，4）． 设抛物线的解析式为y=a （x+1）2+4（a≠0）， ∵抛物线经过点B（﹣3，0），代入y=a （x+1）2+4 可求得a=﹣1
∴抛物线的解析式为y=﹣（x+1）2+4，即y=﹣x2﹣2x+3．
（2）由题意知，DP=BQ=t，
∵PE∥BC， ∴△DPE∽△DBC． ∴==2，
∴PE=DP=t．
∴点E的横坐标为﹣1﹣t，AF=2﹣t．
将x=﹣1﹣t代入y=﹣（x+1）2+4，得y=﹣t2+4． ∴点G的纵坐标为﹣t2+4， ∴GE=﹣t2+4﹣（4﹣t）=﹣t2+t． 如图1所示：连接BG．
S四边形BDGQ=S△BQG+S△BEG+S△DEG，即S四边形BDGQ=BQ•AF+EG•（AF+DF） =t（2﹣t）﹣t2+t． =﹣t2+2t=﹣（t﹣2）2+2．
∴当t=2时，四边形BDGQ的面积最大，最大值为2． （3）存在． ∵CD=4，BC=2， ∴tan∠BDC=，BD=2∴cos∠BDC=∵BQ=DP=t， ∴DE=t． ．
．
如图2所示：当BE和BQ为菱形的邻边时，BE=QB．
∵BE=BD﹣DE， ∴BQ=BD﹣DE，即t=
2﹣
t，解得t=20﹣8．
．
∴菱形BQEH的周长=80﹣32如图3所示：当BE为菱形的对角时，则BQ=QE，过点Q作QM⊥BE，则BM=EM．
∵MB=cos∠QBM•BQ， ∴MB=∴BE=t． t．
∵BE+DE=BD， ∴t+t=2，解得：t=
．
或80﹣32
．
．
∴菱形BQEH的周长为综上所述，菱形BQEH的周长为
6．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a交x轴于A、B两点，
交y的正半轴于点C，连接BC，且OB=OC． （1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点D为第一象限抛物线上一点，过点D作DE⊥BC于点E，设DE=d，点D的横坐标为t，求d与t的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，点F为抛物线的顶点，对称轴交x轴于点G，连接DF，过D作DH⊥DF交FG于点H，点M为对称轴左侧抛物线上一点，点N为平面上一点且tan∠HDN=
，当四边形DHMN为菱形时，求点N的坐标．
【解答】解：（1）对于抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a，令y=0，得到ax2﹣2ax﹣3a=0，解得x=﹣1或3，
∴A（﹣1，0），B（3，0）， ∴OA=1，OB=OC=3， ∴C（0，3）， ∴﹣3a=3， ∴a=﹣1，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．
（2）如图2中，作DT⊥AB于T，交BC于R．设D（t，﹣t2+2t+3）．
∵OB=OC，∠BOC=∠RTB=90°，
∴∠OBC=∠TRB=∠DRE=45°， ∵DE⊥BC， ∴∠DER=90°，
∴△DER是等腰直角三角形， ∵直线BC的解析式为y=﹣x+3， ∴R（t，﹣t+3），
∴DR=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t， ∴DE=DR•cos45°=﹣
t2+
t．
（3）如图3中，
∵四边形DHMN是菱形，点H在对称轴上， ∴D、M关于对称轴对称，点N在对称轴上， 设DM交FH于Q，作HK⊥DN于K． ∵tan∠HDK==，设HK=12k，DK=5k，则DH=
=13k，
∴DN=DH=13k，NK=DN﹣DK=8k， 在Rt△NHK中，NH=∴QN=QH=2k，
=
=
4k，
∵S△DNH=•NH•DQ=•DN•HK， ∴DQ=3，
=， ∴tan∠QDH=
∵DF⊥DH，
∴∠QDH+∠FDQ=90°，∵∠QFD+∠FDQ=90°， ∴∠DFQ=∠QDH， ∴tan∠DFQ==，
∵抛物线的顶点F（1，4），Q（1，﹣t2+2t+3）， ∴FQ=4﹣（﹣t2+2t+3）， ∴解得t=， ∴D（，）， ∴DQ=﹣1=， ∵=， =，
∴QN=1， ∴N（1，
7．已知抛物线y=ax2+bx+8（a≥1）过点D（5，3），与x轴交于点B、C（点B、C均在y轴右侧）且BC=2，直线BD交y轴于点A． （1）求抛物线的解析式；
（2）在坐标轴上是否存在一点N，使△ABN与△BCD相似？若存在，求出点A、N的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在直线BD上是否存在一点P和平面内一点Q，使以Q、P、B、C四点为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． ）．
【解答】解：
（1）设B点坐标为（x1，0），C点坐标为（x2，0）， 则x
1、x2是方程ax2+bx+8=0的两根， ∴x1+x2=﹣，x1x2=， ∵BC=|x1﹣x2|=2，
∴（x1﹣x2）2=4，即（x1+x2）2﹣4x1x2=4， ∴﹣=4①，
把D点坐标代入抛物线解析式可得25a+5b+8=3②，
由①②可解得或（舍去），
∴抛物线解析式为y=x2﹣6x+8；
（2）在y=x2﹣6x+8中，令y=0可得x2﹣6x+8=0，解得x=2或x=4， ∴B（2，0），C（4，0）， 设直线BD解析式为y=kx+s， 把B、D坐标代入可得∴直线BD解析式为y=x﹣2， ∴A（0，﹣2），
①当点N在x轴上时，设N（x，0），则点N应在点B左侧， ∴BN=2﹣x，
∵A（0，﹣2），B（2，0），D（5，3）， ∴AB=2，BD=3
，解得，
∵∠ABN=∠DBC，
∴有△BCD∽△BNA或△BCD∽△BAN， 当△BCD∽△BNA时，则有（，0）；
=
，即
=
，解得x=，此时N点坐标为
当△BCD∽△BAN时，则有为（﹣4，0）；
=，即=，解得x=﹣4，此时N点坐标②当点N在y轴上时，设N（0，y），则点N应在A点上方， ∴AN=y+2，
由上可知有△BCD∽△ABN或△BCD∽△ANB， 当△BCD∽△ABN时，则有（0，4）；
当△BCD∽△ANB时，则有为（0，）；
综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（，0）或（﹣4，0）或（0，4）或（0，）；
=，即=，解得y=4，此时N点坐标为
=，即=，解得y=﹣，此时N点坐标（3）∵点P在直线BD上， ∴可设P（t，t﹣2）， ∴BP=
=
|t﹣2|，PC=
=
，
∵以Q、P、B、C四点为顶点的四边形为菱形， ∴有BC为边或BC为对角线， 当BC为边时，则有BP=BC，即坐标为（2+，）或（2﹣
|t﹣2|=2，解得t=2+，
）； |t﹣2|=
，解得t=3，此时P或t=2﹣
，此时P点当BC为对角线时，则有BP=PC，即点坐标为（3，1）；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（2+1）．
，）或（2﹣，）或（3，8．已知，如图，在平面直角坐标系中，△ABC的边BC在x轴上，顶点A在y轴的正半轴上，OA=2，OB=1，OC=4．
（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）设点G是对称轴上一点，求当△GAB周长最小时，点G的坐标；
（3）若抛物线对称轴交x轴于点P，在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△PAQ是以PA为腰的等腰直角三角形？若存在，写出所有符合条件的点Q的坐标，并选择其中一个的加以说明；若不存在，说明理由；
（4）设点M是x轴上的动点，试问：在平面直角坐标系中，是否存在点N，使得以点A、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）由题意可求，A（0，2），B（﹣1，0），点C的坐标为（4，0）． 设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=a（x﹣4）（x+1）， 把点A（0，2）代入，解得：a=﹣，
所以抛物线的解析式为：y=﹣（x﹣4）（x+1）=（2）如图1
，
物线y=的对称轴为：x=，
由点C是点B关于直线：x=的对称点，所以直线AC和直线x=的交点即为△GAB周长最小时的点G，
设直线AC的解析式为：y=mx+n，把A（0，2），点C（4，0）代入得：．
，
解得：所以：y=， x+2，
当x=时，y=， 所以此时点G（，）； （3）如图2
使△PAQ是以PA为腰的等腰直角三角形的所有符合条件的点Q的坐标：Q1（，），Q2（，﹣），Q3（2，），Q4（﹣2，），
证明Q1：过点Q1作Q1M⊥x轴，垂足为M， 由题意：∠APQ1=90°，AP=PQ1， ∴∠APO+∠MPQ1=90°， ∵∠APO+∠PAO=90°， ∴∠PAO=∠MPQ1， 在△AOP和△MPQ1中，
，
∴△AOP≌△MPQ1， ∴PM=AO=2，Q1M=OP=， ∴OM=，
此时点Q的坐标为：（，）； （4）存在
点N的坐标为：（0，﹣2），（
9．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知OB=OC=6． （1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）连接BD，F为抛物线上一动点，当∠FAB=∠EDB时，求点F的坐标； （3）平行于x轴的直线交抛物线于M、N两点，以线段MN为对角线作菱形MPNQ，当点P在x轴上，且PQ=MN时，求菱形对角线MN的长．
，2），（﹣
，2），（
，2）．
【解答】解： （1）∵OB=OC=6，
∴B（6，0），C（0，﹣6）， ∴，解得
，
∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣6， ∵y=x2﹣2x﹣6=（x﹣2）2﹣8， ∴点D的坐标为（2，﹣8）；
（2）如图1，过F作FG⊥x轴于点G，
设F（x，x2﹣2x﹣6），则FG=|x2﹣2x﹣6|，
在y=x2﹣2x﹣6中，令y=0可得x2﹣2x﹣6=0，解得x=﹣2或x=6， ∴A（﹣2，0）， ∴OA=2，则AG=x+2， ∵B（6，0），D（2，﹣8）， ∴BE=6﹣2=4，DE=8，
当∠FAB=∠EDB时，且∠FGA=∠BED， ∴△FAG∽△BDE， ∴=，即
==，
当点F在x轴上方时，则有点坐标为（7，）；
=，解得x=﹣2（舍去）或x=7，此进F当点F在x轴下方时，则有F点坐标为（5，﹣）；
=﹣，解得x=﹣2（舍去）或x=5，此进综上可知F点的坐标为（7，）或（5，﹣）；
（3）∵点P在x轴上，
∴由菱形的对称性可知P（2，0），
如图2，当MN在x轴上方时，设T为菱形对角线的交点，
∵PQ=MN， ∴MT=2PT，
设PT=n，则MT=2n， ∴M（2+2n，n）， ∵M在抛物线上，
∴n=（2+2n）2﹣2（2+2n）﹣6，解得n=∴MN=2MT=4n=+1；
或n=
（舍去），
当MN在x轴下方时，同理可设PT=n，则M（2+2n，﹣n）， ∴﹣n=（2+2n）2﹣2（2+2n）﹣6，解得n=∴MN=2MT=4n=﹣1；
+1或
﹣1．
或n=
（舍去），
综上可知菱形对角线MN的长为
10．如图，抛物线y=ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A，B，C三点，已知点A（﹣2，0），点C（0，﹣8），点D是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）如图1，抛物线的对称轴与x轴交于点E，第四象限的抛物线上有一点P，将△EBP沿直线EP折叠，使点B的对应点B\'落在抛物线的对称轴上，求点P的坐标；
（3）如图2，设BC交抛物线的对称轴于点F，作直线CD，点M是直线CD上的动点，点N是平面内一点，当以点B，F，M，N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点M的坐标．
【解答】解：（1）将点A、点C的坐标代入抛物线的解析式得：解得：a=1，c=﹣8．
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣8． ∵y=（x﹣1）2﹣9， ∴D（1，﹣9）．
（2）将y=0代入抛物线的解析式得：x2﹣2x﹣8=0，解得x=4或x=﹣2， ∴B（4，0）． ∵y=（x﹣1）2﹣9， ∴抛物线的对称轴为x=1， ∴E（1，0）．
∵将△EBP沿直线EP折叠，使点B的对应点B\'落在抛物线的对称轴上， ∴EP为∠BEF的角平分线． ∴∠BEP=45°．
设直线EP的解析式为y=﹣x+b，将点E的坐标代入得：﹣1+b=0，解得b=1， ∴直线EP的解析式为y=﹣x+1．
将y=﹣x+1代入抛物线的解析式得：﹣x+1=x2﹣2x﹣8，解得：x=x=．
或，
∵点P在第四象限， ∴x=∴y=． ．
∴P（，）．
（3）设CD的解析式为y=kx﹣8，将点D的坐标代入得：k﹣8=﹣9，解得k=﹣1， ∴直线CD的解析式为y=﹣x﹣8．
设直线CB的解析式为y=k2x﹣8，将点B的坐标代入得：4k2﹣8=0，解得：k2=2． ∴直线BC的解析式为y=2x﹣8．
将x=1代入直线BC的解析式得：y=﹣6， ∴F（1，﹣6）．
设点M的坐标为（a，﹣a﹣8）．
当MF=MB时，（a﹣4）2+（a+8）2=（a﹣1）2+（a+2）2，整理得：6a=﹣75，解得：a=﹣．
，）． ∴点M的坐标为（﹣当FM=FB时，（a﹣1）2+（a+2）2=（4﹣1）2+（﹣6﹣0）2，整理得：a2+a﹣20=0，解得：a=4或a=﹣5．
∴点M的坐标为（4，﹣12）或（﹣5，﹣3）． 综上所述，点M的坐标为（﹣
11．如图，▱ABCD的两个顶点B，D都在抛物线y=tan∠ACB=．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点E，使以A，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）动点P从点A出发向点D运动，同时动点Q从点C出发向点A运动，运动速度都是每秒1个单位长度，当一个点到达终点时另一个点也停止运动，运动时间为t（秒）．当t为何值时，△APQ是直角三角形？
x2+bx+c上，且OB=OC，AB=5，
，）或（4，﹣12）或（﹣5，﹣3）．
【解答】解：（1）∵OB=OC，OA⊥BC，AB=5， ∴AB=AC=5． ∴tan∠ACB=∴． =，
由勾股定理，得OA2+OC2=AC2， ∴（∴）2+OC2=52，解得OC=±4（负值舍去）．
，OB=OC=4，AD=BC=8．
∴A（0，3），B（﹣4，0），C（4，0），D（8，3）．
∴
解之得，
x2+x+5； ∴抛物线的解析式为y=
（2）存在．
∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AC=AB=CD． 又∵AD≠CD，
∴当以A，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，AC=CD=DE=AE． 由对称性可得，此时点E的坐标为（4，6） 当x=4时，y=x2+x+5=6，所以点（4，6）在抛物线y=
x2+x+5上．
∴存在点E的坐标为（4，6）；
（3）∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB＜90°．
∴当△APQ是直角三角形时，∠APQ=90°或∠AQP=90°． ∵∴． ，
由题意可知AP=t，AQ=5﹣t，0≤t≤5． 当∠APQ=90°时，∴解得， ．
，
．
，
当∠AQP=90°时，∴∵∴或，解得，．
12．如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），抛物线y=x2+bx+c经过B点，且顶点在直线x=上 （1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，若M点是CD所在指向下方该抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交CD于点N，设点M的横坐标为t，MN的长度为L，求l与t之间的函数关系式，并求l取最大值时，点
M的坐标；
（3）△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，当四边形ABCD是菱形时，连接BD，点P在抛物线上，若△PBD是以BD为直角边的直角三角形，请求出此时P点的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线顶点在直线x=上， ∴﹣=，
， 解得b=﹣∵抛物线y=x2+bx+c经过点B（0，4）， ∴c=4，
∴抛物线对应的函数关系式为y=x2﹣
x+4；
（2）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0）， 则 解得 ， ，
所以，直线AB的解析式为y=x+4，
当过点M平行于AB的直线与抛物线只有一个交点时，点M到CD的距离最大，此时MN的值最大，
此时，设过点M的直线解析式为y=x+m，
联立 ，
消掉y得，x2﹣x+4=x+m，
整理得，2x2﹣14x+12﹣3m=0，
△=b2﹣4ac=（﹣14）2﹣4×2×（12﹣3m）=0， 解得m=﹣此时，x=﹣y=×﹣，
=， =，
，）使MN的值最大． 所以，点M（
（3）四边形ABCD是菱形时，点C、D在该抛物线上． 理由如下：∵A（﹣3，0），B（0，4）， ∴OA=3，OB=4， ∴AB==5，
∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=AD=5， ∴D（2，0），
∴直线BD的解析式为y=﹣2x+4，
①当B为Rt△PBD 直角顶点时，直线PB的解析式为y=x+4，
由解得或，
∴P（，）．
②当D为Rt△PBD 直角顶点时，直线PD的解析式为y=x﹣1，
由解得或，
∴P（，），
，
）或（
，）． 综上所述，满足条件的点P坐标为（
13．如图，直线y=x+1与y轴交于A点，过点A的抛物线y=﹣x2+bx+c与直线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（3，0）． （1）直接写出抛物线的解析式；
（2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围； （3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由．
【解答】解：（1）∵BC⊥x轴，垂足为点C，C（3，0）， ∴B的横坐标为3．
将x=3代入y=x+1得：y=． ∴B（3，）．
将x=0代入y=x+1得：y=1． ∴A（0，1）．
将点A和点B的坐标代入得：∴抛物线的解析式为y=﹣x2+
，解得：b=
x+1．
，c=1．
（2）设点P的坐标为（t，0），则N（t，﹣t2+∴S=（﹣t2+
t+1），M（t，t+1）．
t+1）﹣（t+1）=﹣t2+
t．（0＜t＜3）．
（3）∵MN∥BC，
∴当MN=NB时，四边形BCMN为平行四边形． ∴﹣t2+t=，解得t=1或t=2．
∴当t=1或t=2时，四边形BCMN为平行四边形． 当t=1时，M（1，）．
依据两点间的距离公式可知：MC=∴MN=MC．
∴四边形BCMN为菱形． 当t=2时，M（2，2），则MC=∴MC≠MN．
∴此时四边形BCMN不是菱形．
综上所述，当t=1时，四边形BCMN为菱形．
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+
（其中a、b为常数，a≠
=
． =．
0）经过点A（﹣1，0）和点B（3，0），且与y轴交于点C，点D为对称轴与直线BC的交点．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）抛物线上存在点P，使得△DPB∽△ACB，求点P的坐标；
（3）若点Q为点O关于直线BC的对称点，点M为直线BC上一点，点N为坐标平面内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以Q、B、M、N为顶点的四
边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=ax2+bx+
中，
得：，解得：，
∴该抛物线的表达式为y=﹣
x2+
x+．
（2）当x=0时，y=∴C（0，），
．
∵A（﹣1，0）、B（3，0）， ∴AB=4，AC=2，BC=2∵AB2=AC2+BC2， ∴∠ACB=90°，
∴△ABC为直角三角形．且∠ABC=30°， 设直线BC的解析式为y=kx+将点B（3，0）代入y=kx+得：0=3k+，解得：k=﹣
， 中， ， x+
．
，
∴直线BC的解析式为y=﹣当x=1时，y=∴D（1，）． ，
设点P的坐标为（m，﹣
m2+
m+），
如图1，过点P作PE⊥OB于点E，
则BE=3﹣m，PE=﹣在Rt△ABC中， ∵△DPB∽△ACB， ∴∠ABC=∠DBP=30°， ∴∠PBE=60°， 则tan∠PBE=，即
m2+
m+，
=，
解得：m=2或m=3（舍）， ∴点P的坐标为（2，
）．
（3）根据题意，如图2，直线BC垂直平分OQ，且kBC=﹣，
∴kOQ=，
x，点Q的坐标为（a，
a），
a）， 设直线OQ解析式为y=则OQ的中点F坐标为（a，
将点Q代入直线BC的解析式为y=﹣解得：a=， ∴Q（，则BQ=），
=3，
x+，得：﹣a+=a，
①当BQ是四边形BQNM的边时， ∵四边形BQNM是菱形， ∴NQ∥BC，且NQ=BQ， ∴kNQ=kBC=﹣，
（x﹣）+
，即y=﹣
x+
2， ∴直线NQ解析式为y=﹣设N（m，﹣m+2
），
由NQ=BQ，即NQ2=BQ2可得（m﹣）2+（﹣解得：m=，
，
）、（
m+2﹣
）2=9，
此时点N的坐标为（若MQ∥BN，且BN=BQ，
，）；
根据菱形的性质可知BM垂直平分NQ， ∴点N与点O重合，即N（0，0）； ②当BQ为四边形BMQN的对角线时， ∵四边形BMQN是菱形， ∴BQ、MN互相垂直平分， 由B（3，0）、Q（，∴kMN=则yMN=，
（x﹣）+
=
x， ）可得yBQ=﹣
x+
3，BQ中点H（，
），
由可得点M（，），
设点N坐标为（m，n）， 由M、N的中点H（，
）可得：
，解得：，
即点N的坐标为（3，综上，点N的坐标为（（3， ）．
），
，
）或（
，
）或（0，0）或15．如图，对称轴为直线x=的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）①当四边形OEAF的面积为24时，请判断OEAF是否为菱形？
②是否存在点E，使四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）在（3）①的条件下，当四边形OEAF为菱形时，设动点P在直线OE下方的抛物线上移动，则点P到直线OE的最大距离是 0.1 ．
【解答】解：（1）由题可设抛物线的解析式为y=a（x﹣）2+k，
∵抛物线经过点A（6，0）和B（0，4），
∴．
解得；．
∴抛物线的解析式为y=（x﹣）2﹣
，此时顶点坐标为（，﹣）．
（2）过点E作EH⊥OA，垂足为H，如图1， 由（x﹣）2﹣=0得x1=1，x2=6．
∵点E（x，y）是抛物线上位于第四象限一动点， ∴1＜x＜6，﹣≤y＜0．
∵四边形OEAF是平行四边形， ∴△OAE≌△AOF．
∴S=2S△OAE=2×OA•EH=OA•EH =﹣6y
=﹣6×[（x﹣）2﹣=﹣4（x﹣）2+25．
∴四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式为S=﹣4（x﹣）2+25，其中1＜x＜6．
]
（3）①当S=24时，﹣4（x﹣）2+25=24，解得x1=4，x2=3． Ⅰ．当x=4时，y=×（4﹣）2﹣
=﹣4，则点E（4，﹣4）．
过点E作EH⊥x轴，垂足为H，如图2， 则有OH=4，EH=4，AH=2． ∵EH⊥x轴，
∴OE=4，AE=2．
∴OE≠AE．
∴平行四边形OEAF不是菱形． Ⅱ．当x=3时，y=×（3﹣）2﹣
=﹣4，则点E（3，﹣4）．
过点E作EH⊥x轴，垂足为H，如图3， 则有OH=3，EH=4，AH=3． ∵EH⊥x轴， ∴OE=5，AE=5． ∴OE=AE．
∴平行四边形OEAF是菱形．
综上所述；当点E为（4，﹣4）时，平行四边形OEAF不是菱形；当点E为（3，﹣4）时，平行四边形OEAF是菱形． ②不存在点E，使四边形OEAF为正方形． 理由如下：
当点E在线段OA的垂直平分线上时，EO=EA，则平行四边形OEAF是菱形，如图4， 此时，xE==3，yE=﹣4，点E为（3，﹣4）．
则有OA=6，EF=8． ∵OA≠EF，
∴菱形OEAF不是正方形．
∴不存在点E，使四边形OEAF为正方形．
（4）在（3）①的条件下，当四边形OEAF为菱形时，点E的坐标为（3，﹣4）． 设直线OE的解析式为y=mx，则有3m=﹣4，解得m=﹣． ∴直线OE的解析式为y=﹣x．
设与直线OE平行且与抛物线y=（x﹣）2﹣x+n，
相切的直线l的解析式为y=﹣
∴方程（x﹣）2﹣=﹣x+n即2x2﹣10x+12﹣3n=0有两个相等的实数根．
∴（﹣10）2﹣4×2×（12﹣3n）=0． 解得：n=﹣．
∴直线l的解析式为y=﹣x﹣．
设直线l与x轴、y轴分别相交于点M、N，过点O作OG⊥MN．垂足为G，如图5，
由﹣x﹣=0得x=﹣，则点M（﹣，0）；由x=0得y=﹣，则点N（0，﹣）． 在Rt△MON中， ∵OM=，ON=， ∴MN=∴OG===0.1．
．
∴直线OA与直线l之间的距离是0.1． ∴点P到直线OE的最大距离是0.1． 故答案为：0.1．
16．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，0），B（6，0）和C（0，4 ）三个点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点E（m，n）是抛物线上一个动点，且位于第四象限，四边形OEBF是以OB为对角线的平行四边形，求四边形OEBF的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）当四边形OEBF的面积为24时，请判断四边形OEBF是否为菱形？
【解答】（1）解：∵把A（1，0），B（6，0），C（0，4 ）代入y=ax2+bx+c得：解得：a=，b=﹣，c=4，
x+4．
，
∴抛物线的解析式是y=x2﹣
（2）解：∵E在抛物线y=x2﹣
x+4上，E（m，n），
∴E的坐标是（m，m2﹣
m+4），
∵E在第四象限，且四边形OEBF是平行四边形，OB为对角线， ∴平行四边形OEBF的面积等于2S△OBE， 即S=2××OB×（﹣n）， ∴S=2××6×（﹣m2+∵A（1，0），B（6，0）， ∴m的范围是1＜m＜6，
答：四边形OEBF的面积S与m之间的函数关系式是S=﹣4m2+28m﹣24，自变量m的取值范围是1＜m＜6．
m﹣4）=﹣4m2+28m﹣24，
（3）解：根据题意得：S=﹣4m2+28m﹣24=24， 即m2﹣7m+12=0， 解得：m=3，m=4， 当m=3时，y=x2﹣当m=4时，y=x2﹣
x+4=﹣4， x+4=﹣4，
=5，∵当O（0，0），E（3，﹣4），B（6，0）时，由勾股定理得：OE=BE=即OE=BE，
∴此时四边形OEBF是菱形；
∵当O（0，0），E（4，﹣4），B（6，0）时，由勾股定理得：OE=BE==
2，
=4=5，
，即OE和BE不相等，
∴此时四边形OEBF不是菱形；
综合上述，当四边形OEBF的面积为24时，四边形OEBF不是菱形．
17．如图，抛物线y=x2+bx+c与直线l：y=kx+m交于A（4，2）、B（0，﹣1）
两点．
（1）求抛物线与直线的解析式；
（2）若点D是直线l下方抛物线上的一动点，过点D作DE∥y轴交直线l于点E，求DE的最大值，并求出此时D的坐标；
（3）在（2）的条件下，DE取最大值时，点P在直线AB上，平面内是否存在点Q，使得以点D、E、P、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c与直线l：y=kx+m交于A（4，2）、B（0，﹣1）两点， ∴，
，λ
解得：，．
∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣1，直线的解析式为：y=x﹣1；
（2）设点D的坐标为：（x，x2﹣x﹣1），则点E的坐标为：（x，x﹣1）， ∴ED=（x﹣1）﹣（x2﹣x﹣1）=﹣x2+2x=﹣（x﹣2）2+2， ∴DE的最大值为：2，
∴此时D的坐标为：（2，﹣）；
（3）当DE取最大值时，E的坐标为：（2，）， ∴DE=2，
