外国语中学中考数学压轴题专集
1.在平面直角坐标系中,矩形OACB的顶点O在坐标原点,顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上,OA=3,OB=4,D为边OB的中点.
(Ⅰ)若E为边OA上的一个动点,当△CDE的周长最小时,求点E的坐标;
(Ⅱ)若E、F为边OA上的两个动点,且EF=2,当四边形CDEF的周长最小时,求点E、F的坐标.
2.如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,半径为1的圆A与边AB相交于点D,与边AC相交于点E,连结DE并延长,与线段BC的延长线交于点P.
(1)当∠B=30°时,连结AP,若△AEP与△BDP相似,求CE的长;
(2)若CE=2,BD=BC,求∠BPD的正切值;
1(3)若tan∠BPD=,设CE=x,△ABC的周长为y,求y关于x的函数关系式.
3B C P B C P B C
图
1图2(备用) 图3(备用)
3.已知:如图①,在平面直角坐标系xOy中,边长为2的等边△OAB的顶点B在第一象限,顶点A在x轴的正半轴上.另一等腰△OCA的顶点C在第四象限,OC=AC,∠C=120°.现有两动点P,Q分别从A,O两点同时出发,点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动,点P以每秒3个单位的速度沿A→O→B运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随即停止.(1)求在运动过程中形成的△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系,并写出自变量t的取值范围;
(2)在等边△OAB的边上(点A除外)存在点D,使得△OCD为等腰三角形,请直接写出所有符合条件的点D的坐标;
(3)如图②,现有∠MCN=60°,其两边分别与OB,AB交于点M,N,连接MN.将∠MCN绕着C点旋转(0°<旋转角<60°),使得M,N始终在边OB和边AB上.试判断在这一过程中,△BMN的周长是否发生变化?若没变化,请求出其周长;若发生变化,请说明理由.
P
5.如图,已知△ABC∽△A1B1C1,相似比为k(k>1),且△ABC的三边长分别为a、b、c(a>b>c),△A1B1C1的三边长分别为a
1、b
1、c1.
(1)若c=a1,求证:a=kc;
(2)若c=a1,试给出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1,使得a、b、c和a
1、b
1、c1都是正整数,并加以说明;
(3)若b=a1,c=b1,是否存在△ABC和△A1B1C1,使得k=2?请说明理由.
A
c
1C B1C11
6.如图1,在△ABC中,AB=BC,且BC≠AC,在△ABC上画一条直线,若这条直线既平..分△ABC的面积,又平分△ABC的周长,我们称这条线为△ABC的“等分积周线”.
(1)请你在图1中用尺规作图作出一条△ABC的“等分积周线”;
(2)在图1中过点C能否画出一条“等分积周线”?若能,说出确定的方法;若不能,请说明理由;
(3)如图2,若AB=BC=5cm,AC=6cm,请你找出△ABC的所有“等分积周线”,并简要说明确定的方法.
C图2 图1
7.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,点P以一定的速度沿AC边由A向C运动,点Q以1cm/s的速度沿CB边由C向B运动,设P、Q同时运动,且当一点运动到终点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为t(s).
(1)若点P以3cm/s的速度运动
4①当PQ∥AB时,求t的值;
②在①的条件下,试判断以PQ为直径的圆与直线AB的位置关系,并说明理由.
(2)若点P以1cm/s的速度运动,在整个运动过程中,以PQ为直径的圆能否与直线AB
相切?若能,请求出运动时间t;若不能,请说明理由.
A
备用B
8.如图
1、2是两个相似比为1 :2的等腰直角三角形,将两个三角形如图3放置,小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合.
(1)在图3中,绕点D旋转小直角三角形,使两直角边分别与AC、BC交于点E、F,如图4.
求证:AE +BF =EF ;
(2)若在图3中,绕点C旋转小直角三角形,使它的斜边和CD延长线分别与AB交于点E、F,如图5,此时结论AE +BF =EF 是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请
说明理由;
D A B A D
图2 图3 图
1A D B A F
图4 图
5(3)如图,在正方形ABCD中,E、F分别是边BC、CD上的点,满足△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半,AE、AF分别与对角线BD交于M、N,试问线段BM、MN、DN能否构成三角形的三边长?若能,指出三角形的形状,并给出证明;若不能,请说明理由. D ;
F
C
9.(河南省) 222222B B
(1)操作发现·
如图,矩形ABCD中,E是AD的中点,将△ABE沿BE折叠后得到△GBE,且点G在矩形ABCD内部.小明将BG延长交DC于点F,认为GF=DF,你同意吗?说明理由.
(2)问题解决 保持(1)中的条件不变,若DC=2DF,求
(3)类比探究
保持(1)中的条件不变,若DC=n·DF,求
AD的值. ABAD的值; AB