2013年安徽省中考数学压轴题赏析
安徽省太湖县晋熙中学（246400）朱记松汪本若
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一、原题呈现
我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”。如图1，四边形ABCD即为“准等腰梯形”。其中∠B=∠C。
（1）在图1所示的“准等腰梯形”ABCD中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形（画出一种示意图即可）。
（2）如图2，在“准等腰梯形”ABCD中，∠B=∠C，E为边BC上一点，若AB∥DE，AE∥DC，求证：ABBE。
DCEC
（3）在由不平行于BC的直线截ΔPBC所得的四边形ABCD中，∠BAD与∠ADC的平分线交于点E，若EB=EC，请问当点E在四边形ABCD内部时（即图3所示情形），四边形ABCD是不是“准等腰梯形”，为什么？若点E不在四边形ABCD内部时，情况又将如何？写出你的结论（不必说明理由）
第23题图1第23题图2第23题图
3二、试题解答
（1）如图所示：（画出其中一种即可）
第23题（1）答案图
（2）证明：∵ AE∥CD， ∴∠AEB＝∠C ， 又∵AB∥ED， ∴∠B＝∠DEC，∴ △ABE∽△DCE。即：AEBE。 =CDEC
ABBE。 =CDEC又∠B=∠C，∴△ABE为等腰三角形，AB=AE。故
（3）解：过点分别作EF⊥AB，EG⊥AD，EH⊥CD，垂足分别为F，G，H（如图）
第23题（3）答案图
∵AE平分∠BAD，∴EF=EG。
又ED平分∠ADC，∴EG=EH，∴EF=EH，
又∵EB=EC，∴Rt△BFE≌Rt△CHE，∴∠3=∠4，
又∵EB=EC，∴∠1=∠2，∴∠1+∠3=∠4+∠2，即∠ABC=∠DCB。
又∵四边形ABCD为AD截某三角形所得，且AD不平行BC，
∴四边形ABCD为“准等腰梯形”。
当点E不在四边形ABCD内部时，有两种情况：
当E点在边BC上时，四边形ABCD是“准等腰梯形”，如下图（1）示：
EB =3 .0厘
2米
EC =3 .0厘2米
BAE =5 1.2°9
EAD =5 1.2°9
ADE =6 8.7°6
EDC =6 8.7°6
ABC =5 9.9°
4DCB =5 9.9°4
B
图（1）
当E点在四边形ABCD外时，四边形ABCD不一定是“准等腰梯形”，如图（2）（3）示，图（2）中的四边形ABCD不是“准等腰梯形”；图（3）中的四边形ABCD是“准等腰梯形”。
BAE = 53.96°
EAD = 53.96°
ADE = 68.98°
EDC = 68.98°
EC = 4.06厘米
BE = 4.06厘米
ABC = 55.52°
BCP = 58.59°
图（2）图（3）
三、深入研究
(一）规律探究
通过上述解析，我们发现，由于E点所处的位置在∠BPC的平分线上不能唯一确定，满足“在由不平行于BC的直线截ΔPBC所得的四边形ABCD中，∠BAD与∠ADC的平分线交于点E，若EB=EC”的条件下的四边形ABCD不一定是“准等腰梯形”。它何时为“准等
腰梯形”引发了笔者的思考。笔者经过探究发现：连接PE，无论E点在四边形ABCD内，或边BC上，或四边形ABCD外，若∠BPC的平分线PE⊥BC，则四边形ABCD是“准等腰梯形”。具体分析如下：
1、若PE⊥BC，无论E点在四边形ABCD内部，如图1—1；或 E点在边BC上，如图1—2所示；或E点在四边形ABCD外部，如图1—3所示。由∠BAD与∠ADC的平分线交于点E，则PE为∠BPC的平分线。因为PE为BC的垂直平分线，由轴对称可知∠ABC=∠DCB。又∵四边形ABCD为AD截某三角形所得，且AD不平行BC，∴四边形ABCD为“准等腰梯形”。
B
图1—1图1—
2B
图1—3图1—
42、若PE不与BC垂直，如图1—4所示，根据角的轴对称性可以作ΔPBM关于射线PM的对称图形ΔPNM，因∠NMC≠0，则NC≠0，即B、C不重合，∠ABC≠∠BCD。四边形ABCD不是“准等腰梯形”。
综上所述，在由不平行于BC的直线截ΔPBC所得的四边形ABCD中，∠BAD与∠ADC的平分线交于点E，EB=EC，若直线PE⊥BC，则四边形ABCD是“准等腰梯形”。
（二）追根溯源
掩卷长思，不禁想起安徽省2008年中考试题的第22题，它们竟然如此相似，其本质是一样的，为了便于比较，特将原题摘录如下：
（2008 安徽）已知：点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB=OC。
（1）如图1，若点O在边BC上，求证：AB=AC。
第22题图1第22题图
2（2）如图2，若点O在△ABC的内部，求证：AB=AC。
（3）若点O在△ABC的外部，AB=AC成立吗？请画图表示。
经过比较，发现这两道的本质是一致的，主要表现在：
1、已知的条件是一致的。
由（2008年第22题）的已知条件“O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等且OB=OC”，可以得到点O既在∠A（或∠A的邻补角）的平分线上，又在线段BC的垂直平分线上；由（2013年第23题）的已知条件“∠BAD与∠ADC的平分线交于点E， EB=EC”亦可得出E点在∠BPC的角平分线上，又在线段BC的垂直平分线上。
2、设置的问题是一致的。
（2008年第22题）设置了三个问题，根据O点的三种不同位置，探索AB、AC之间的数量关系；（2013年第23题）同样是根据E点的三种不同位置，探索∠ABC、∠BCD之间的数量关系，即转化成探索PA、PB之间的数量关系。
3、分析的思路是一致的。都要运用分类讨论的数学思想。
4、隐含的规律是一致的。（2008年第22题）无论O点是在三角形内，或BC边上，或三角形外，AB=AC成立的条件是“∠BAC平分线O A⊥BC”； （2013年第23题）无论E点在四边形ABCD内，或在边BC上，或在四边形ABCD外，四边形ABCD为“准等腰梯形”的条件是∠BPC的平分线PE⊥BC。
或许有老师说，前五年的中考题再次走进中考考场，这公平吗？
其实不然，这道题还确实体现了中考的公平。理由是：“准等腰梯形”是一个新的几何图形的定义，几乎所有的教辅资料上都没有见过，属于原创，且表述简洁，明了能较好地考察学生自主阅读、自主学习新知识、并运用新知识分析并解决一些简单问题的能力，这正是新课标所倡导的；考察了核心知识和基本的数学思想，关注了学生的基本经验，紧扣课程标准，试题不偏不难，也没有繁杂的推理和计算，尤其值得一提的是，该题第（1）、（2）小问比较基础，只要学生平时认真学了，绝大部分考生都可以得到一定的分数，从这个角度看，作为本卷的压轴题同样也体现了中考命题的公平公正。
四、几点启示
1、平时教学中，要引导学生用联系的观点看问题，尤其在复习的过程中，要将相关知识点进行有机整合，串联起来，建立知识网络，形成能力；
2、加强例习题的教学，挖掘出例习题所蕴含的基本数学思想和方法，引导学生进行解题后的反思。做到在解题中训练，在反思中欣赏，在欣赏中提升；
3、应加强对课标，考题的研究。教师研究的范围要广，不仅要研究它考查的内容，考察的深度，难度及解题思路，还应加强对考题的变式研究，提倡“陈题新编，陈题新做”，切忌“拿来主义”，用研究的成果来指导教学实践，使教学的针对性更强，训练的效果更好。
