AB
1、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°,
且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2.(1) 求证：DC=BC;
(2) E是梯形内一点，F是梯形外一点，且∠EDC=
∠FBC，DE=BF，试判断△ECF的形状，并证
明你的结论；
(3) 在（2）的条件下，当BE：CE=1：2，∠DCBEC=135°时，求sin∠BFE的值.
2、已知：如图，在□ABCD 中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若四边形 BEDF是菱形，则四边形AGBD
是什么特殊四边形？并证明你的结论．
F
3、如图13－1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转．
（1）如图13－2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测
量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；
（2）若三角尺GEF旋转到如图13－3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长
线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜
想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
A( B( E )图13－1 图13－
2图13－
31.[解析] （1）过A作DC的垂线AM交DC于M,
则AM=BC=2.又tan∠ADC=2,所以DM
(2)等腰三角形.
证明：因为DEDF,EDCFBC,DCBC.
所以，△DEC≌△BFC 21.即DC=BC.2
所以，CECF,ECDBCF.
所以，ECFBCFBCEECDBCEBCD90 即△ECF是等腰直角三角形.
（3）设BEk,则CECF
2k，所以EF.
因为BEC135，又CEF45，所以BEF90.
所以BF3k 所以sinBFEk1.3k3
2.[解析] （1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠1＝∠C，AD＝CB，AB＝CD ．
∵点E、F分别是AB、CD的中点，
∴AE＝11AB ，CF＝CD ． 22
∴AE＝CF
∴△ADE≌△CBF ．
（2）当四边形BEDF是菱形时，
四边形 AGBD是矩形．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC ．
∵AG∥BD ，
∴四边形 AGBD 是平行四边形．
∵四边形 BEDF 是菱形，
∴DE＝BE ．
∵AE＝BE ，
∴AE＝BE＝DE ．
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．
∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，
∴2∠2＋2∠3＝180°．
∴∠2＋∠3＝90°．
即∠ADB＝90°．
∴四边形AGBD是矩形 3[解析]（1）BM=FN．
证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，
∴ ∠ABD =∠F =45°，OB = OF．
又∵∠BOM=∠FON，∴ △OBM≌△OFN ． ∴ BM=FN．
（2） BM=FN仍然成立．
（3） 证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，
∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF．
∴∠MBO=∠NFO=135°．
又∵∠MOB=∠NOF，∴ △OBM≌△OFN ．∴ BM=FN．
