http://.cn
2012年全国各地中考数学压轴题精选讲座二
几何综合题
(浙江省象山天天培训学校方德懿)
【知识纵横】
几何综合题是中考试卷中常见的题型，大致可分为几何计算型综合题与几何论证型综合题，它主 要考查学生综合运用几何知识的能力，这类题往往图形较复杂，涉及的知识点较多，题设和结论之间的关系较隐蔽，常常需要添加辅助线来解答。解几何综合题，一要注意图形的直观提示；二要注意分析挖掘题目的隐含条件、发展条件，为解题创造条件打好基础；同时，也要由未知想需要，选择已知条件，转化结论来探求思路，找到解决问题的关键。
解几何综合题，还应注意以下几点：
⑴ 注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基本图形。
⑵ 掌握常规的证题方法和思路。
⑶ 运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题．还要灵活运用数学思想方法、数形结合、分类讨论等。
【选择填空】
1．（浙江宁波）勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为【】
A．90B．100C．110D．1
212.（浙江湖州）如图，将正△ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个黑色
菱形，这个黑色菱形可分割成n个边长为1的小三角形，若
的边长是
m47，则△ABCn2
53.（浙江宁波）如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB
，D是线段BC
上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长
度的最小值为．
【典型试题】
1、.（福建厦门）已知ABCD，对角线AC与BD相交于点O，点P在边AD上，过点P分 别作PE⊥AC、PF⊥BD，垂足分别为E、F，PE＝PF．
（1）如图，若PE3，EO＝1，求∠EPF的度数；
（2）若点P是AD的中点，点F是DO的中点，BF ＝BC＋
32－4，求BC的长．
【考点】平行四边形的性质，角平分线的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，锐角三角函数定义。
【分析】（1）连接PO，利用解直角三角形求出∠EPO=30°，再利用“HL”证明△PEO和△PFO全等，根据全等三角形对应角相等可得∠FPO=∠EPO，从而得解。
（2）根据条件证出 ABCD是正方形。根据正方形的对角线与边长的关系列式计算即可得解。
2.（浙江义乌）在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．
（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；
（2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；
（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．
【考点】旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）由旋转的性质可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，又由等腰三角形的性质，即可求得∠CC1A1的度数。
（2）由旋转的性质可得：△ABC≌△A1BC1，易证得△ABA1∽△CBC1，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△CBC1的面积。
（3）由①当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小；②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，即可求得线段EP1长度的最大值与最小值。
3.（浙江杭州）如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M，N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT于点B，已知∠EAT=30°，AE
，MN
（1）求∠COB的度数；
（2）求⊙O的半径R；
（3）点F在⊙O上（FME是劣弧），且EF=5，把△OBC经过平移、旋转和相似
变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合．在EF的同一侧，这样的三角形
共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗？请在图中画出
这个三角形，并求出这个三角形与△OBC的周长之比．
【考点】切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，锐角三角函数定义，勾股定理，垂径定理，平移、旋转的性质，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△AEC∽△OBC，根据相似三角形的对应角相等可得出所求的角与∠A相等，由∠A的度数即可求出所求角的度数。
（2）利用锐角三角函数定义求出CE的长，再由OB⊥MN，根据垂径定
理、勾股定理列出关于R的方程。
（3）把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与
点E，F重合．在EF的同一侧，这样的三角形共有6个。
顶点在圆上的三角形，延长EO与圆交于点D，连接DF，△FDE即为所
求。
利用锐角三角函数定义求出DF的长，表示出△EFD的周长，再由（2）求出的△OBC的三边表示出△BOC的周长，即可求出两三角形的周长之比。
4.（广东佛山）（1）按语句作图并回答：作线段AC（AC=4），以A为圆心a为半径作圆，再以C为圆心b为半径作圆（a＜4，b＜4，圆A与圆C交于B、D两点），连接AB、BC、CD、DA．
若能作出满足要求的四边形ABCD，则a、b应满足什么条件？
（2）若a=2，b=3，求四边形ABCD的面积．
【考点】作图（复杂作图），相交两圆的性质，勾股定理。
【分析】（1）根据题意画出图形，只有两圆相交，才能得出四
边形，即可得出答案；
（2）连接BD，根据相交两圆的性质得出DB⊥AC，BE=DE，
设CE= x，则AE=4－x，根据勾股定理得出关于x的方程，求出
x，根据三角形的面积公式求出即可。
5.（浙江嘉兴）将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n倍，得△AB′C′，即如图①，我们将这种变换记为[θ，n]．
（1）如图①，对△ABC作变换[60°
得△AB′C′，则S△AB′C′：S△ABC=BC与直线B′C′所夹的锐角为度；
（2）如图②，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，对△ABC 作变换[θ，n]得△AB\'C\'，使点B、C、C′在同一直线上，且四边形ABB\'C\'为矩形，求θ和n的值；
（4）如图③，△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=l，对△ABC作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B、C、B′在同一直线上，且四边形ABB\'C\'为平行四边形，求θ和n的值．
【考点】新定义，旋转的性质，矩形的性质，含30角直角三角形的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，公式法解一元二次方，。
【分析】（1）根据题意得：△ABC∽△AB′C′， 0
AB∴S△AB′C′：S△ABC
==AB223，∠B=∠B′。
∵∠ANB=∠B′NM，∴∠BMB′=∠BAB′=60°。
（2）由四边形 ABB′C′是矩形，可得∠BAC′=90°，然后由θ=∠CAC′=∠BAC′-∠BAC，即可求得θ的度数，又由含30°角的直角三角形的性质，即可求得n的值。
（3）由四边形ABB′C′是平行四边形，易求得θ=∠CAC′=∠ACB=72°，又由△ABC∽△B′BA，根据相似三角形的对应边成比例，易得AB=CB•BB′=CB（BC+CB′），继而求得答案。
【自主训练】
1.（广东汕头）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8．把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点G；E、F分别是C′D和BD上的点，线段EF交AD于点H，把△FDE沿EF折叠，使点D落在D′处，点D′恰好与点A重合．
（1）求证：△ABG≌△C′DG；
（2）求tan∠ABG的值；
（3）求EF的长．
2.（湖北宜昌）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．点E
为底AD上一点，将△ABE沿直线BE折叠，点A落在梯形对角线BD上的G处，EG的延长线交直线BC于点F．
（1）点E可以是AD的中点吗？为什么？
（2）求证：△ABG∽△BFE；
（3）设AD=a，AB=b，BC=c
①当四边形EFCD为平行四边形时，求a，b，c应满足的关系；
②在①的条件下，当b=2时，a的值是唯一的，求∠C的度数．
3.（广东珠海） 已知，AB是⊙O的直径，点P在弧AB上（不含点A、B），把△AOP沿OP对折，点A的对应点C恰好落在⊙O上．
（1）当P、C都在AB上方时（如图1），判断PO与BC的位置关系（只回答结果）；
（2）当P在AB上方而C在AB下方时（如图2），（1）中结论还成立吗？证明你的结论；
（3）当P、C都在AB上方时（如图3），过C点作CD⊥直线AP于D，且CD是⊙O的切线，证明：AB=4PD．
4.（湖北天门）△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B．
（1）如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形．
（2）如图（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论．
（3）在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF的面积等于△ABC的面积的
5.（四川乐山）如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．
（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．
①求证：BD⊥CF；
②当AB=4，AD
时，求线段BG的长．
1时，求线段EF的长． 4
