等腰三角形
一、目标认知 学习目标：
通过观察发现等腰三角形的性质；掌握等腰三角形的识别方法，会用等腰三角形的性质进行简单的计算和证明；理解等腰三角形与等边三角形的相互关系；能够利用等腰三角形的识别方法判断等腰三角形；掌握等边三角形的特征和识别方法；掌握一般文字命题的解题方法
重点：
等腰三角形的性质与判定。
难点：
比较复杂图形、题目的推理证明。
二、知识要点梳理
知识点一：等腰三角形、腰、底边
有两边相等的三角形叫等腰三角形，其中相等的两条边叫腰，第三条边叫底边，两腰的夹角叫顶角，底边和腰的夹角叫底角
如图所示，在△ABC中，AB=AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边，∠A是顶角，∠B、∠C是底角．
知识点二：等腰三角形的性质
1、性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．
2、这两个性质证明如下：
在△ABC中，AB=AC，如图所示．
作底边BC的高AD，则有
∴ Rt△ABD≌Rt△ACD．
∴ ∠B=∠C，∠1=∠2．BD=CD．
于是性质
1、性质2均得证．
3、说明：
（1）①等腰三角形的性质1用符号表示为：∵AB=AC，∴∠B=∠C；
②性质1是等腰三角形的一条重要（主要）性质，也是今后我们证明角相等的又一个重要依据．
（2）①性质2实质包含三条性质，符号表示为：∵ AB=AC，AD⊥BC，∠1=∠2，∴ BD=CD；
或∵ AB=AC，BD=CD，∠l=∠2，∴ AD⊥BC．
②性质2的用途更为广泛，可以用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．
（3）等腰三角形是轴对称图形，底边上高（顶角平分线或底边中线）所在直线是它的对称轴，通常情
况只有一条对称轴．
知识点三：等腰三角形的判定定理
1、定理内容及证明
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”），如图所示．
证明：在△ABC中，∠B=∠C，作AD⊥BC于D．则
所以△ABD≌△ACD（AAS）．
所以，AB=AC．
2、注意：
①本定理的符号表示为：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC．
②本定理可以判定一个三角形是等腰三角形，同时也是今后证明两条线段相等的重要依据．
另外，等腰三角形的性质和判定条件和结论正好相反，要注意区分，不要混淆． 知识点四：等边三角形
1、等边三角形定义：三边都相等的三角形叫等边三角形
如图所示．
2、注意：
①由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．
②等边三角形具有等腰三角形的一切性质．
知识点五：等边三角形的性质
1、等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°
2、理由如下：如上图所示，由AB=AC可得∠B=∠C，同样可得∠A=∠C，所以∠A=∠B=∠C．
而∠A+∠B+∠C=180°．则有∠A=∠B=∠C=60°．
注意：这条性质只有等边三角形具有．
知识点六：等边三角形的判定
1、等边三角形的判定：
（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
2、证明如下：
(1)如下图所示，若∠A=∠B=∠C，可由∠A=∠B得，AC=BC；由∠A=∠C得，AB=BC．所以AB=AC=BC．
于是判定（1）成立．
(2)如上图所示，在△ABC中，AB=AC，若∠A=60°，则有∠B=∠C=60°，于是∠A=∠B=∠C．
由判定（1）得△ABC是等边三角形；
若∠B=60°，则∠B=∠C=60°，于是∠A=60°，∠A=∠B=∠C．
由判定（1）得△ABC是等边三角形。 所以判定（2）成立．
知识点七：直角三角形性质定理
1、定理内容：在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
2、证明：如图所示，∠ACB=90°，∠A=30°．延长BC至垂直平分
使，则有AC，
故，
．又可得∠B=60°．于是△是等边三角形，故
所以．即定理成立．
三、规律方法指导
1．等腰（边）三角形是一个特殊的三角形，具有较多的特殊性质，有时几何图形中不存在等腰（边）三角形，可根据已知条件和图形特征，适当添加辅助线，使之构成等腰（边）三角形，然后利用其定义和有关性质，快捷地证出结论。
2．常用的辅助线有：（1）作顶角的平分线、底边上的高线、中线。（2）在三角形的中线问题上，我们常将中线延长一倍，这样添辅助线有助于我们解决有关中线的问题。
经典例题透析
类型一：探究型题目
1．如图1，在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，请你设计三种不同的分法，把△ABC分割成两个三角形，且要求其中有一个是等腰三角形。（在等腰三角形的两个底角处标明度数）
思路点拨: 在三角形中，“等边对等角”与“等角对等边”，本题应从角度入手进行考虑。下面提供四种分割方法供大家参考。
解析：
总结升华：对图形进行分割是近年来新出现的一类新题型，主要考查对基础知识的掌握情况以及动手实践能力，本类题目的答案有时不唯一。
举一反三：
【变式1】如图3，D是△ABC中BC边上的一点，E是AD上的一点，EB=EC，∠1=∠2，求证：AD⊥BC。
请你先阅读下面的证明过程。
证明：在△AEB和△AEC中，
所以△ABE≌△AEC（第一步），
所以AB=AC，∠3=∠4（第二步），
所以AD⊥BC（等腰三角形的“三线合一”）。
上面的证明过程是否正确？如果正确，请写出每一步的推理依据；如果不正确，请指出关键错在哪一步，写出你认为正确的证明过程。
【答案】第一步错误。因为在△ABE和△AEC中有两边和其中一边的对角对应相等，不能判定它们全等。
正确的证明过程是：
因为EB=EC，
所以∠EBD=∠ECD，
所以∠EBD＋∠1=∠ECD＋∠2， 即：∠ABC=∠ACB， 所以AB=AC。
在△AEB和△AEC中，
所以△ABE≌△AEC，
所以∠3=∠4，
所以AD⊥BC（等腰三角形的“三线合一”）。
【变式2】已知△ABC为等边三角形，在图4中，点M是线段BC上任意一点，点N是线段CA上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于Q点。
（1）请猜一猜：图4中∠BQM等于多少度？
（2）若M、N两点分别在线段BC、CA的延长线上，其它条件下不变，如图5所示，（1）中的结论是否仍
然成立？如果成立，请加以证明；如果不成立，请说明理由。
【答案】（1）题通常猜想、测量或证明等方法不难发现∠BQM=60°，而且这一结论在图形发生变化后仍然成立。（2）题的证明过程如下：
因为△ABC为等边三角形，
所以AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，
所以∠ACM=∠BAN。
在△ACM和△BAN中，
所以ΔACM≌ΔBAN，
所以∠M=∠N，
所以∠BQM=∠N＋∠QAN=∠M＋∠CAM=∠ACB=60°。
类型二：与度数有关的计算
2．如图，在△ABC中，D在BC上，且AB=AC=BD，∠1=30°，求∠2的度数。
思路点拨: 解该题的关键是要找到∠2和∠1之间的关系，显然∠2=∠1+∠C，只要再找出∠C与∠2的关系问题就好解决了，而∠C=∠B，所以把问题转化为欲找出∠2与∠B之间有什么关系，变成△ABD的角之间的关系，问题就容易的多了。
解析：∵AB=AC
∴∠B =∠C
∵AB=BD
∴∠2=∠3
∵∠2=∠1+∠C
∴ ∠2=∠1+∠B
∵∠2+∠3+∠B=180°
∴∠B=180°－2∠2
∴∠2=∠1+180°－2∠2
∴3∠2=∠1+180°
∵∠1=30°
∴∠2=70°
总结升华：关于角度问题可以通过建立方程进行解决。
举一反三：
【变式1】如图，D、E在△ABC的边BC上，且BE=BA，CD=CA，若∠BAC=122°，求∠DAE的度数。
【答案】∵BE=BA
∴∠2=∠BAE
∵CD=CA
∴∠1=∠CAD
∵∠1+∠CAD+∠C=180°
∴∠1=
∵∠2+∠BAE+∠B=180°
∴∠2=
∴∠1+∠2=∵∠B+∠C=180°－∠BAC
∴∠1+∠2=
∵∠DAE=180°－（∠1+∠2）
∴∠DAE=90°－=90°－61°=29°。
【变式2】在△ABC中，AB=AC，D在BC上，E在AC上，且AD=AE，∠BAD=30°，求∠EDC的度数。
【答案】∵ AB=AC，AD=AE
∴∠B=∠C，∠ADE=∠AED
∵∠ADE+∠EDC=∠ADC=∠B+∠BAD
∴∠AED+∠EDC=∠C+∠BAD
∵∠AED=∠C+∠EDC
∴∠C+2∠EDC=∠C+∠BAD
∴∠EDC=∠BAD=15°。
类型三：等腰三角形中的分类讨论
3．当腰长或底边长不能确定时，必须进行分类讨论
（1）已知等腰三角形的两边长分别为8cm和10cm，求周长。
（2）等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，求周长。
思路点拨: 由等腰三角形的性质可知我们在解此题前，必须明确所给的边的定义，在这里哪条边是“腰”，哪条边是“底”不明确，而且还要考虑到三条线段能够构成三角形的前提，因此必须进行分类讨论。
解析：（1）因为8+8＞10，10+10＞8，则在这两种情况下都能构成三角形；
当腰长为8时，周长为8+8+10=26；
当腰长为10时，周长为10+10+8=28；
故这个三角形的周长为26cm或28cm。
（2）当腰长为3时，因为3+3＜7，所以此时不能构成三角形；
当腰长为7时，因为7+7＞3，所以此时能构成三角形，因此三角形的周长为：7+7+3=17；
故这个三角形的周长为17cm。
总结升华：对于此类题目在进行分类讨论时，必须运用三角形的三边关系来验证是否能构成三角形
举一反三：
【变式1】当顶角或底角不能确定时，必须进行分类讨论
等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，求它的各个内角的度数
【答案】（1）当底角是顶角的4倍时，设顶角为x，则底角为4x，
∴ 4x+4x+x=180°， ∴ x=20°， ∴ 4x=80°，
于是三角形的各个内角的度数为：20°，80°，80°。
（2）当顶角是底角的4倍时，设底角为x，则顶角为4x，
∴ x+x+4x=180°， ∴ x=30°， ∴ 4x=120°，
于是三角形的各个内角的度数为：30°，30°，120°。
故三角形各个内角的度数为20°，80°，80°或30°，30°，120°。
【变式2】当高的位置关系不确定时，必须分类讨论
等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°，求这个三角形的各个内角的度数。
【答案】设AB=AC，BD⊥AC；
（1）高与底边的夹角为25°时，高一定在△ABC的内部，
如右图，∵∠DBC=25°，∴∠C=90°-∠DBC=90°-25°=65°，
∴ ∠ABC=∠C=65°，∠A=180°-2×65°=50°。
图1
（2）当高与另一腰的夹角为250时，
①如图2，高在△ABC内部时，
当∠ABD=25°时，∠A=90°-∠ABD=65°，
∴ ∠C=∠ABC=（180°-∠A）÷2=57.5°；
②如图3，高在△ABC外部时，∠ABD=25°，
图2
∴ ∠BAD=90°-∠ABD=90°-25°=65°，∴ ∠BAC=180°-65°=115°，
∴∠ABC=∠C=（180°-115°）÷2=32.5°
故三角形各内角为：65°，65°，50°或
65°，57.5°，57.5°或115°，32.5°，32.5°。
图3
【变式3】由腰的垂直平分线所引起的分类讨论
在三角形ABC中，AB=AC，AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40°，求底角B的度数。
分析：题目中AB边上的垂直平分线与直线AC
相交有两种情形；
解：（1）如图，AB边的垂直平分线与AC边交于点D，
∠ADE=40°，
则∠A=900-∠ADE=50°，
∵AB=AC， ∴∠B=（180°-50°）÷2=65°。
（2）如图，AB边的垂直平分线与直线AC的反向
延长线交于点D，∠ADE=40°，则∠DAE=50°
∴∠BAC=130°，∵AB=AC，∴∠B=（180°-130°）÷2=25°，
故∠B的大小为65°或25°。 【变式4】由腰上的中线引起的分类讨论
等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，求腰长。
【答案】如图， ∵BD为AC边上的中线，∴AD=CD，
（1）当（AB+AD）-（BC+CD）=3时，则AB-BC=3，
∵BC=5 ∴AB=BC+3=8；
（2）当（BC+CD）-（AB+AD）=3时，则BC-AB=3，
∵BC=5 ∴AB=BC-3=2；
但是当AB=2时，三边长为2，2，5；
而2+2＜5，不合题意，舍去；
故腰长为8。
类型四：证明题
4．已知：如图，∠ABC，∠ACB的平分线交于F，过F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E。
求证：BD＋EC＝DE。
思路点拨: 因为DE＝DF＋FE，即结论为BD＋EC＝DF＋FE，分别证明BD＝DF，CE＝FE即可，于是运用“在同一三角形中，等角对等边”易证结论成立。
解析：∵DE∥BC，
∴∠3＝∠2（两直线平行，内错角相等）
又∵BF平分∠ABC
∴∠1＝∠2
∴∠1＝∠3
∴DB＝DF（等角对等边）
同理：EF＝CE，
∴BD＋EC＝DF＋EF
即BD＋EC＝DE。
总结升华：在三角形中，利用“等角对等边”证明线段相等，是一种常用的方法。
举一反三：
【变式1】如图，C是线段AB上的一点，△ACD和△BCE是等边三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AE于O。
求证：（1）∠AOB＝120°；
（2）CM＝CN；
（3）MN∥AB。 【答案】（1）∵∠ACE＝∠ACD＋∠DCE
∠BCD＝∠BCE＋∠DCE
且∠ACD＝∠BCE＝60°
∴∠ACE＝∠BCD
在△ACE和△BCD中
∴△ACE≌△DCB（SAS）
∴∠3＝∠2
∵∠1＋∠3＝60°，∴∠1＋∠2＝60°
∴∠AOB＝∠1＋∠ADC＋∠2＝60°＋60°＝120° （2）∵∠ACD＝∠BCE＝60°
∴∠MCN＝60°
在△CMA和△CND中
∴△CMA≌△CND（ASA）
∴CM＝CN
（3）∵CM＝CN且∠MCN＝60°
∴△CMN是等边三角形
∴∠NMC＝60°
又∵∠DCA＝60°
∴∠NMC＝∠DCA
∴MN∥AB
【变式2】已知，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD，CE三等分∠ACB，CD⊥AB（如图所示）。
求证：（1）AB＝2BC；
（2）CE＝AE＝EB。 【答案】（1）∵CE、CD三等分∠ACB
∴∠1＝∠2＝∠3＝30°
又∵CD⊥AB，∴∠B＝60°，∠A＝30°
在Rt△ABC中，∠A＝30°，∴AB＝2BC
（2）∵∠A＝∠1＝30°
∴CE＝EA
又∵∠B＝∠BCE＝60°
∴△BCE是等边三角形，∴EC＝EB
∴CE＝EA＝EB 学习成果测评 基础达标：
一、填空：
1、等腰三角形的的两边长为2cm和5cm，则该等腰三角形的周长为______cm。
2、等腰三角形的的两边长为3cm和5cm，则该等腰三角形的周长为______cm。
3、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则顶角为_____。
4、在△ABC中，AC＝BC，且∠B＝∠C，则△ABC是____________三角形。
5、若直角三角形斜边上的中线垂直于斜边，则它的两个锐角的度数是____________。
6、等腰三角形的一个角是80°，则其他两个角的度数是____________。
二、选择题
1.若一个三角形的三个外角度数比为2：3：3，则这个三角形是（ ）
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
2.将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼成如图1所示形状，两条长直角边在同一条直线上，则
图中等腰三角形的个数是（ ）
图1
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
3.在以①30°，120°；②25°，75°；③38°，52°；④55°，70°；⑤42°，96°；⑥28°，
62°；⑦56°，68°；⑧45°，45°；⑨60°，60°为两内角可以构成的三角形中，有等腰三角
形（ ）
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
4.具有下列条件的两个等腰三角形，不能判断它们全等的是（ ）
A.顶角、一腰对应相等
B.底边、一腰对应相等
C.两腰对应相等
D.一底角、底边对应相等
三、解答题
1、等腰三角形的周长为12，且其各边长均为整数，求各边长。
2、（1）等腰三角形的一个角为50°，求另外两个角的度数。
（2）等腰三角形的一个外角为100°，求该等腰三角形的顶角。
3、等腰三角形一腰上的中线将等腰三角形的周长分成8cm和10cm的两部分，求该等腰三角形的各边长。
4、如图2所示，△ABC和△BDE都是等边三角形。
图2
求证：AE＝CD。
5、如图3所示，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是点E、F，且BF＝CE。判断△ABC的形状并证明。
图
36、“有两边相等的两个直角三角形全等”这个命题对与否，甲、乙、丙三位同学给出了如下论断：
甲：正确。因为若两边都是直角边，则用（SAS）全等识别法就可以证它们全等。
乙：正确。因为若其中一边是直角边，另一边是斜边，则可用（HL）定理证全等。
丙：不正确。若一个三角形较长的直角边与另一三角形斜边相等，较短的直角边与另一三角形较长的直角边相等，则显而易见两个三角形不全等。
请你就这三个同学的见解发表自己的意见。
7、如图所示，是城市部分街道示意图，AB＝BC＝AC，CD＝CE＝DE，A、B、C、D、E、F、G为“公共汽车”停靠点，“甲公共汽车”从A站出发，按照A、H、G、D、E、C、F的顺序到达F站，“乙公共汽车”从B站出发，沿B、F、H、E、D、C、G的顺序到达G站。如果甲、乙分别同时从A、B站出发，在各站耽误的时间相同，两车速度也一样，试问哪一辆公共汽车先到达指定站？为什么？
答案与解析：
一、填空题
1。12 （2cm不能为腰长，只能为底边长（2+2＜5），所以周长为2+5+5=12（cm）。）
2。13或11 （3cm既能为腰长，又能为底边长(5+5＞
3、3+3＞5)，
∴周长为3+5+5=13（cm）或3+3+5=11（cm）。）
3。50°或130°（等腰三角形一腰上的高可能是在三角形内，也可能在三角形外，因此要分类讨论。）
4。等边
5。45°；45°
点拨：等腰三角形三线合一。
6。80°，20°或50°，50°
点拨：80°是锐角，即可以是顶角，也可以是底角。
二、选择题
1.D
点拨：三个外角度数分别为
360°×
＝90°，360°×＝135°，135°，
∴三角形为等腰直角三角形。 2.B 3.D
点拨：根据三角形内角和定理及等腰三角形性质定理，排除②③⑥。 4.C
点拨：本题综合考查三角形全等识别法和等腰三角形性质定理。
A（SAS），B（SSS），D（ASA）。
三、解答题
1、设其腰长为x，则底边长为（12－2x），由题意得：
解得3＜x＜6 ∵x为整数
∴x=4或5 ∴该等腰三角形的三边长分别为：
4、
4、4或
5、
5、2。
2、(1)分两种情况：
①若已知的角为顶角，则另外两个角均为底角，设其度数为x,则2x+50=180,
解得：x=65；
②若已知的角为底角，可设顶角为y，则50×2+y=180, 解得：y=80
综上所述：另两个角分别为65°、65°或50°、80°。
注意该题的变式：题中有可能把问题变成要求顶角的度数，也要注意分类讨论。
(2)分两种情况：
①若已知的角为顶角的外角，则顶角=180°－100°=80°；
②若已知的角为底角的外角，则底角=180°－100°=80°，
所以顶角=180°－80°×2=20°。
综上所述：该等腰三角形的顶角=80°或20°。
3、解：设腰长为xcm，底边长为ycm,则：
或解得或
∵，
∴以上两解均合乎题意。
∴该等腰三角形的各边长分别为cm、cm、cm或cm、cm、cm。
4.证明：∵△ABC是等边三角形
∴AB＝BC，∠ABC＝60°
∵△BDE是等边三角形
∴BE＝BD，∠DBC＝60°
由（SAS）全等识别法可知△ABE≌△CBD，
∴AE＝CD（全等三角形对应边相等）
5．解：△ABC是等腰三角形
证明：∵DF⊥AB，DE⊥AC
∴∠BFD＝∠CED＝90°
∵D是BC边上的中点，∴BD＝CD
又∵BF＝CE，
由（HL）全等识别法可知△BFD≌△CED。
∴∠B＝∠C，即△ABC是等腰三角形。
6.解：甲、乙两同学的回答都是片面的。他们都想当然地理解成两边是对应的。
恰恰原命题中丢掉了“对应”二字，丙同学的论断是正确的。
所以我们一定要重视全等三角形中的“对应”二字。
点拨：本题恰又是一个易错题，甲、乙两同学的错误常出现在日常学习中，需引起注意。
7.答：同时到达。理由如下：
∵AB＝BC＝AC，CD＝CE＝DE
∴△ABC和△ECD都是正三角形
∴∠ACB＝∠ECD＝60°
∴∠ACE＝60°
∴∠BCE＝∠ACD＝120°
∴△BCE≌△ACD（SAS）
∴BE＝AD。∠CBE＝∠CAD
在△BCF与△ACG中，∠CBF＝∠CAG
BC＝AC，∠BCA＝∠ACE＝60°
∴△BCF≌△ACG（ASA）
∴CF＝CG
又甲公共汽车的路程和为AD＋DE＋EC＋CF
乙公共汽车的路程和为BE＋ED＋DC＋CG，
∴两车同时到达指定站。
能力提升：
1.已知C、D两点在线段AB的中垂线上，且∠ACB=50°，∠ADB=80°，求∠CAD的度数。
2.如图，已知△ABC中，BC＞AB＞AC，∠ACB=40°，如果D、E是直线
AB上的两点，且AD=AC，BE=BC，
求∠DCE的度数。
3.已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB，AC，BC的距离分别为，△ABC的高为h。 “若点P在一边BC上（如图（1）），此时结论：”。
，可得
（1）请直接应用上述信息解决下列问题：
当点P在△ABC内（如图（2））、点P在△ABC外（如图（3））这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明。
与h之间又有怎样的关系？ 16
（2）若不用上述信息，你能用其他方法证明猜想结论吗？
答案与解析：
1．（1）如图，当C、D两点在线段AB的同侧时，
∵C、D两点在线段AB的垂直平分线上，
∴CA=CB，△CAB是等腰三角形，又CE⊥AB，
∴CE是∠ACB的角平分线，∴∠ACE=∠BCE，
而∠ACB=50°，∴∠ACE=25°，同理可得∠ADE=40°，
∴∠CAD=∠ADE-∠ACE=40°-25°=15°。
（2）如图，当C、D两点在线段AB的两侧时，
同（1）的方法可得∠ACE=25°，∠ADE=40°，
于是∠CAD=180°-（∠ADE+∠ACE）
=180°-（40°+25°）=180°-65°=115°。
故∠CAD的度数为15°或115°。
2.（1）当点D、E在点A的同侧，且都在BA的延长线上时，如图1，
图
1图2
∵BE=BC， ∴∠BEC=（180°-∠ABC）÷2，
∵AD=AC， ∴∠ADC=（180°-∠DAC）÷2=∠BAC÷2，
∵∠DCE=∠BEC-∠ADC，
∴∠DCE=（180°-∠ABC）÷2-∠BAC÷2=（180°-∠ABC-∠BAC）÷2
=∠ACB÷2=40°÷2=20°。
（2）当点D、E在点A的同侧，且点D在D’的位置，E在E’的位置时，如图2，
＝∠ACB÷2=20°。
与（1）类似地也可以求得
（3）当点D、E在点A的两侧，且E点在E’的位置时，如图3，
图
3 图4
∵BE’=BC，∴
∵AD=AC， ∴∠ADC=（180°-∠DAC）÷2=∠BAC÷2，
又∵
∴
，
=180°-（180°-∠ACB）÷2
，
=90°+∠ACB÷2=90°+40°÷2=110°。 （4）当点D、E在点A的两侧，且点D在D’的位置时，如图4，
∵AD’=AC，∴
∵BE=BC，∴∠BEC=（180°-∠ABC）÷2，
∴
=180°-〔（180°-∠ABC）÷2+（180°-∠BAC）÷2〕
=（∠BAC+∠ABC）÷2=（180°-∠ACB）÷2
=（180°-40°）÷2=70°， 故∠DCE的度数为20°或110°或70°。
，
3.
（1）如图（2），当P在△ABC内时，结论
仍成立，
过P作NQ∥BC分别交AB、AC、AM于N、Q、K。
依题意，有
∴
当P在△ABC外时，结论
（2）如图（3），连接PA、PB、PC
，易知KM＝PF＝
不成立，它们的关系是
又
，由AB＝BC＝AC得，
