问 题 情 境 的 设 置
——谈 初 中 数 学 解 题 课 教 学 广州七中
杜厚生 2001年5月
在数学教学的五种课型(概念课、命题课、解题课、复习课、测验讲评课)中，解题课的地位相当突出。广义地说，解题贯穿于数学教与学的全过程，狭义地说，凡是需要经过计算（代数计算、几何计算、三角计算等）的数学教学，全都属于数学解题课的教学。所以，应当重视解题课的研究，它是数学教研的重点。
老师怎样上好解题课？学生怎样掌握解题方法？早在二千多年前，柏拉图就提出了问-答教学法，通过问答或对话，引导学生思维向深层发展。当代美国数学教育家波利亚的著名著作《怎样解题》一书的中心是“怎样解题表”，表中提出了38个问题，指导解题的思维活动。1900年，在迎接新世纪的巴黎国际数学家大会上，希尔伯特用他著名的23个问题，展开了20世纪数学发展的前景。数学家哈尔莫斯说：“问题是数学的心脏”，至于课堂教学，更有人说：“一个好的、恰当的、尝试性的问题，几乎是一节课成功的一半。”教育部数学课程标准研制小组在《数学通报》99年第四期发表的《关于我国数学课程标准研制的初步设想》中提出了我国21世纪数学课程标准，提出“新的数学课程应力求形成‘问题情境-建立模型-解释、应用与拓展’的基本叙述模式，以大众化、生活化的方式反映重要的现代数学观念和数学的思想方法，使学生在朴实的问题情境中，通过观察、操作、思考、交流和运用，逐步形成良好的数学思维习惯，强化应用意识，感受数学创造的乐趣，增进学好数学的信心。”“学生勇于回答问题的行为是教师首先应予肯定的，至于回答的正确与否是第二位的，是可以经由学生集体讨论逐步澄清的。”这就是说，将要出台的数学课程标准中，把“问题情境”作为课堂教学的切入点，成为课堂教学的规定模式之一。(据2001年3月6日羊城晚报的报道, 教育部在武汉召开的国家课程标准改革征求意见会传出信息:国家课程标准框架已经基本确定。今后课程标准将代替教学大纲，预计明年九月，在各省市建立课程改革实验区，启动课程改革实验。2005年开始在全国逐步推行。)本文是对解题课中问题情境设置的一点探讨，内容只涉及现行初中数学教材。
一.“问题情境”教学方法的缘起
学科教学是一个大系统, 影响这个系统的因素很多, 相关的教育理论也层出不穷, “有多少个教育家, 就有多少种理论.”但对我国目前的教育影响最大的, 首先是夸美纽斯的班级教育制, 其次是苏联的凯洛夫教育学.1953年5月, 北师大教育系学生在实习期间举行了一次语文观摩课, 课文是初中语文课的《红领巾》, 按当时在京的苏联教育家普希金的指导, 实施了凯洛夫的“五环节教学法”，听课的人数是学生的三倍。在当时没有一种方法能象“红领巾教学法”那样广为流传，整整影响了几代人，学生看见老师这么教，自己当了老师也这么教。实际上，凯洛夫教学法仍是今天中国绝大多数学校的主要教学模式。凯洛夫强调以教师为中心，课堂教学为中心，教科书为中心，将学生放在被动受教的地位，忽视了学生智力与能力的发展。七十年代，苏联教师沙塔洛夫的《3分是怎样消灭的》一书中提到当时调查的一个事实：每个学生一天在学校的六节课中，平均只有两分钟的口头表达时间，每节课只有20秒钟！（如果统计一下我们今天的教学情况，恐怕也只有这个程度。）但在全世界，教育理论在七八十年代以来却精彩纷呈。1989年国际数学教育大会关于全球数学教育者共同关心的十七个问题中，排在第一位的就是“问题解决与高层次的思维应当成为数学教育最重要的目标。”替换了传统的数学教育目标：“把数学作为学科来学习。”这是一种教育价值观的转变。
与凯洛夫相反，美国的杜威提出教学以学生为中心，学生是“做”的主人，在课堂教学这条船上，
1 教师是舵手，由学生们努力把船划向前。他首先提出了学习过程中思维的五个步骤：1.疑难的情境；2.提出问题； 3.提出假设； 4.推理； 5.验证。在这里，问题情境是思维的第一步。1977年，上海青浦县顾泠沅数学教改试验小组提出了全程为十年的教改计划：尝试回授-反馈调节教学模式，模式中的第一个程序，就是“启发诱导，创设问题情境。”此外，江苏省南通师范第二附属小学特级教师李吉林提出了情境教学模式。
思维由问题开始。有需要解决的问题，才有思维的积极活动，而一个问题有两个以上的选择，就产生了情境。 所以，问题情境教学法是数学教育中启发数学思维活动的有效方法。这种教学方法，日益为越来越多的教师所掌握，在强调以学生为学习主体的教育活动中，产生了良好的效果，以至写进了21世纪的我国数学课程标准。今天，我们应当认真地检讨自己，是否还热衷于滔滔不绝的讲授？正象上海复旦大学附中的语文教师黄玉峰所说：“我上《阿房宫赋》时，讲得慷慨激昂，眉飞色舞，同行都说好。”唯独该校的数学特级教师曾容却批评道：“到底你是演员，还是学生是演员？到底是你的话精彩，还是杜牧的文章精彩？45分钟，学生记住了几句文章？”真是一针见血。我们不妨问问自己，在我们的数学课上到底谁是主体？一节课上，学生尝到了多少成功的喜悦？
二.什么是恰当的问题
针对一种情境，可以提出不止一个问题，有些问题是恰当的，有些问题是不恰当的。福尔摩斯面对一个犯罪嫌疑人，他可以问自己：“他是罪犯吗？”，也可以问：“他有不在现场的证据吗？”第一个问题是不恰当的，它不具备可操作性。第二个问题是恰当的，它为下一步行动指出了方向。解题课教学过程中，下列问题是恰当的。
1.符合思维规律的问题是恰当的。在数学学习中，迁移理论、信息理论、认知理论、建构主义等关于思维规律的理论，是每一个教师都应当认真学习和努力掌握的。其中“建构主义的崛起是
八、九十年代最引人注目的事件”，1989年国际数学教育大会文献中，关于全球数学教育界最关心的十七个问题中，第三个问题指出：“刚诞生的认识建构主义对数学教师很有用”，建构主义的核心便是：“知识是由认识主体自己建构的。”建构主义认为，学习应在与现实情境相类似的情境中发生，教学目标是解决学生在现实生活中遇到的问题，学习内容要选择真实性任务，并且不能对其作简单化处理。而认知理论认为，新知识被纳入原有的认知结构，从而扩大了它的内容，这一过程称为同化。当新知识在原有的认知结构中没有适当的知识与之联系，就要对原有的认知结构进行改组，形成新的认知结构，这个过程叫做顺应。初中学生开始学习代数，基本上是通过顺应来学习的。
在数学解题课中，运用思维规律，结合初中学生已有的知识结构而提出的问题是恰当的。例如初中几何讲角度的四则运算时，无论学生还是老师，都会立即联想起时分秒的运算，应先问对时分秒怎么做加减乘除，再问对度分秒怎么做加减乘除，这个顺序不应该颠倒，否则就不符合认知理论。又如几何入门难的问题，历来没有很好解决，其源盖在于教材的安排。根据记忆理论，人的短期记忆的容量是5-7个信息块，超过了就造成记忆的困难，电话号码升为八位后，大部分人都不能听一次就准确复述，而七位号码时复述没有困难。翻开初一几何课本，头三周的教材中，几乎每一节课的概念、定义、规定等信息块都超过七个，学生普遍记不住，对信息的敏感度降低，同时，枯燥的内容也使学生失去了学习的兴趣。
2.符合学生实际的问题是恰当的。这里指的是过深的问题不恰当，学生不熟悉的问题不恰当。初中生的知识面不广，逻辑思维能力不强，且小学阶段的学习主要通过模仿和反复训练、机械记忆完成，对初中的学习要求还不适应，因此，教学中不宜提出过深的问题。如几何课本中勾股定理的证明通过拚图来完成，教材的立意是好的，既有爱国主义教育，又能动手试做，但实际上这种证明方法并不成功。思路是怎么来的？为什么要这样证？试试看将几块板子交给学生，没有几个人能将所需图形拚出来。别说学生记不住，老师都难以独立地重新完成整个证明过程。其实在学习了相似形后，用射影定理证明勾股定理是轻松自然，水到渠成的。又如实际情境的引进，实际问题的提出，教材很注意这一点。但中国地大物博，各地学生之间差距极大，某些看似实际的问题，对一些学生并不实际。初一讲方程时用天平来
2 讲等量关系，别说农村的孩子，就是城市的孩子，又有几个见过天平？谁又知道砝码是什么东西？讲统计时，举的例子常提科学实验，学生们有几个做过系统的科学实验？农村讲稻谷，城市讲购物，引进的情境应从学生感兴趣的、有经历的事物出发，比如讲等式性质的时候，不讲天平，可以这样讲：“刘国樑和孔令辉有同样多的钱，但刘国樑买了三个乒乓球后，剩下两元，而孔令辉买了两个乒乓球后，剩下三元，问一个乒乓球多少钱，他们原有多少钱？你能列出方程吗？”然后用两边同减两个乒乓球，再同减两元的方法讲等式性质，学生听了亲切得多。
3.没有歧义的问题是恰当的。教学中最不恰当的问题是：“对不对？”“是不是？”，成了口头禅更是教师的大忌。回答这样的问题，初一学生一般会吵吵嚷嚷，两方互不相让，还要老师费神维持纪律。数学解题课时间有限，每节课有规定的学习任务，由不得师生间天马行空地自由讨论，数学解题通常有明确的思路和步骤，提问时，应紧扣基本技能和基础知识，明确地发问。但“这道题怎么解？”“有没有更好的解法？”这类问题指向性不强，可改为：“根据已知条件，观察一下已知数的特点，能不能找到更好的解法？”“解二元一次方程组有哪几种解法？这道题用什么方法解最合理？”
几何第一册第1.3节练习中有一道作业题：“什么是两角的和、差？什么是一个角的两倍？什么是一个角的二分之一？”这也是一个指向不明确的问题。对这个问题的回答，学生作业有三种不同的答案。第一种，照抄上百字的课文，从图形叠合的角度说明；第二种，用“两个角的度数的和，叫做两个角的和。”从度量的角度说明；第三种：∠1+∠2叫做两个角的和，从符号使用的角度说明。那么，教材的本意是什么呢？如果是第一种，可以改为：“你能画一个图说明什么是两个角的和吗？”如果要求不止一种回答，可以改为：“用两种方法说明什么是两个角的和。”
4.顺理成章、不失时机的问题是恰当的。解题课教学过程中，要给学生探索的机会和时间，当学生遇到困难时，教师要提出适当的问题加以引导。美国林格伦著的《课堂教育学》被誉为“第一流的教科书”而被众多院校所采用。书中有一段描写很细致：老师要求学生布雷德阅读一篇文章，并指出故事发生在什么时间。布雷德说文章中没有写出来。另一个女孩玛丽安娜要求告诉他答案，老师说只可以提示。于是玛丽安娜说，你可以找到线索。布雷德不明白，玛丽安娜又说，比如一年中什么季节会发生什么？布雷德还是有困难。玛丽安娜又说：比如冬天会出现什么？布雷德说：会有雪和雪橇，但这里并没有写雪，啊，我想我明白了，叶子从树上长出来，小鸟从南方飞回来了，这是春天！这是一个逐步引导的例子。波利亚在《怎样解题》中描述了一个坏问题：将“你知道一个与此有关的问题吗？”改为“你能用勾股定理吗？”对此，波利亚说：“我们的动机可能是极好的，但是这种提问大概是极坏的”然后他列举了三大理由去反对这种极坏的提问。而我们的老师却经常在课堂上大量提出这种强制性的问题，象一个汽车教练员，总忍不住在复杂路段伸出手去控制方向盘，代替学员的驾驶。
5.风趣的问题是恰当的。风趣幽默的教师特别受学生的欢迎，而风趣的问题，一下子就把学生的情绪调动起来了，他给枯燥的课堂气氛带来了一些轻松。在科学史上、数学史上既有教育意义又轻松幽默故事、言论比比皆是。如中国的“白马非马”、“百尺之棰，日取其半，万世不竭”、“历物十事”、“辩者二十一事”、“勾三股四弦五黄方二”，国外的芝洛三辩、无理数的发现、笛卡尔发明直角坐标系、高斯的故事、数学的三次危机、理发师悖论、非欧几何的发现等等，这些材料不仅在调动课堂气氛，激发好奇心时立竿见影，而且也是素质教育的极好题材。这方面运用得非常成功的一个典型就是史蒂芬·霍金写的《时间简史》，一本叙述相对论、量子力学、和当代天文学最新成就的著作。由一个困在轮椅上多年、全身萎缩、生活不能自理、不会说话的伟大科学家写出来而成为畅销书。他在写这本书的时候说：“现代科学变得如此之技术化，以至于只有极少数专家掌握解释这些问题所用到的数学。不过关于宇宙的起源和命运的基本概念则可以离开数学，以一种没有受过训练的人也能理解的形式来加以陈述。为此我决定一个方程也不用。然而，在最后我确实用了一个方程，即著名的爱因斯坦方程E=mc2, 我希望这个方程不会吓跑一半我的潜在读者。”就是这样一本通俗易懂的书，让霍金学说的读者群扩大了上万倍，也让霍金得到了足够的版税，供他女儿上大学。我们的教科书则以大量的科学的、严谨的表达式催眠了我们的学生。我有时想，如果我们的几何教材换一种形式，用欧几里德和芝洛辩论与对话的形式来写，恐怕学生学起来要有趣得多。在学习完几何第一册第一章上复习课的时候，需要对“基本元素、基本概念、公
3 理、定理”这几个概念作一个说明，我用一个故事引入：“国王知道阿凡提很有智慧，决定考一考他。阿凡提去见国王，国王正在吃面包，于是国王问：什么是面包？阿凡提回答：面包是粮食。问：什么是粮食？答：粮食是人的食物。问：什么是食物？答：食物是可以吃的东西？再问：什么是东西？阿凡提想了半天，只好说：没有什么东西不是东西？就连不是东西也是东西。”这个故事里，就包含了分类、基本概念、派生概念、内涵与外延等逻辑学的概念。再来问学生，我们学过的知识中，哪些是“东西”，那些不是“东西”，学生兴致勃勃。
三.怎样提出问题情境？
1．善用教材。现行中学数学教材与问题情境教学法是有矛盾的。现行教材基本是叙述式、演绎式、学科式的。与之对应的，是问题情境式、归纳式、实用式的。许多数学家、数学教育家指出，数学具有两重性：数学内容的形式性和数学发现的经验性。波利亚说：“数学有两个侧面，一方面它是欧几里德式的严谨科学，但另一方面，创造过程中的数学，看起来却象一门实验性的归纳科学。”北京有的老师指出：“当前我国的数学教育现状令人担忧，数学教学活动中，往往只强调形式化的逻辑推导，重视数学的形式化的结果，对数学发现过程的展示和直观性数学背景注意较少。于是，在学生的眼里，数学成了枯燥无味的公式和结论的堆积，充满灵感和生机勃勃的数学丧失了它的本来面目。特别是在各种考试的压力之下，这种对数学的人为扭曲达到了空前的地步。”作为教师，我们不能无视教材的权威性，但作为第一线的教师，我们有权在不改变教学要求的前提下，使课堂增加一点活泼和趣味 ，把学生充分调动起来。其实，教材也很重视情境设置，在每个新知识引进时，都会用一些生活中的例子提出问题，我们应当重视这些实例，不该跳过去。当然，如果有更好的例子也不妨作些替换。至于课文中大量的结论、方法、步骤、课堂练习、习题，决不是一个教师可以轻易替换的，有心也无力，我们没有这么多的精力和时间，但将叙述性稍作变通，改为提问式，将教师主讲的时间减少些，使学生议论的时间增加些，鼓励学生的创造性，将成功的喜悦留给学生，这是完全可以做到的，只需要我们改变教育观念和习惯做法。如果有人按照问题情境教学法将教材做一个大改革，那将是学生的福音，也是教师的福音。
2．解题阶段的激趣与钩沉。进入新单元的第一课往往不好讲。对新知识的学习，学生经常处于被动接受的状态，或漫不经心，或分心走神。能不能把“要我学”变成“我要学”，关键之处在于能否调动学生的兴趣。例如在讲合并同类项的时候，教材用了一个买本子多少钱的例，画了一个线段示意图引进，对学生的刺激实在太弱。我把引进问题改成：“三只猫加两只狗等于多少？”，学生笑了，说：“加不起来。”我再问：“那么三只狗加两只狗等于多少？”学生说：“等于五只狗。”这里就包含了不是同类项不能相加，同类项相加只要把系数相加两个概念。但刺激还不够，在写下了3c+2d（其中c是cat，d是dog ）后，我又说：“可是我昨天问一个幼儿园的小朋友，三只猫加两只狗等于多少，她说你这都不懂？等于5只猫！我问为什么不是5只狗？她说她怕狗。”学生大笑。我问学生：“我说加不起来，她说，你太笨，还是去问我们幼儿园的老师吧。你们能不能帮我说服她，为什么三只猫加两只狗加不起来？”在这节课的末尾，我又问：“三只苹果加两个男孩（3a+2b）等于多少？”有些学生说：“等于2b”，“为什么？”“因为男孩把苹果吃掉了。”在笑声中下课。
3．自上而下的指导和循序渐进的启发。与传统教学常采取“自下而上”的教学设计不同，建构主义教学观提出了“自上而下”的教学设计，即教师首先提出整体性的教学任务，选择与学生生活有关的真实问题，并提供理解和解决问题的相关工具；学生则要自己尝试着将整体任务分解成子任务，自己发现完成各级任务所需的相应知识技能并通过自己的思考或小组讨论，使问题得到解决，完成学习任务。例如解二元一次方程祖，教材是按小步子分解、从简单到复杂来介绍代入消元法的，即分两种情况介绍：①有一个未知数的系数是正负1；②没有一个未知数的系数是正负1，分两节课学习代入消元法。按照自上而下的观点，是可以反过来做的，即先讨论3x2y12xy1这类方程的解法，再将这类方
2x3y53x2y54 程作为特例处理。甚至，只学习加减消元法，将代入消元法作为附带方法来介绍也未尝不可，因为两种方法本质是一样的，而加减法更简便且不容易出错。又如一元一次不等式，从探讨与方程的区别入手，寻找不等式的解法，然后再建立不等式的性质，这样的教法也自有它的合理性，即重现了数学问题发生与解决的真实情境，让学生体验数学过程，体味自己发现的乐趣。但无论采取什么教法，都应当循序渐
xy3①进地提出问题，不要超越学生的思维进程。例如在学习三元一次方程组yz5② 时，学生找
zx4③到了两种不同的解法后，老师都会介绍（①+②+③）÷2得：
xyz6 ④，
然后用④分别减去各方程的简便解法。但这个方程怎么来的？学生除了惊讶之外还能学到什么？在课堂上，我是这样问的：“这个方程看起来这么简单，是不是有更简单的方法呢？”学生考虑后说：“如果能一次消掉两个元就好了。”顺着这条思路，学生提出来的解法出乎我的意外，用①-②-③立即得到-2z=-6，即z=3，这比我希望学生得到的结果还要好。同时，又有学生提出，课本26页的例题xyz26①②也可以用③-②-①立即得到-y=-9，即y=9比课本使用的方法简便的多了！这就是xy12xzy18③一个合理的问题的例子。又如解完二元一次方程组xy7时，应该再问学生：你能一眼看出它的结
xy12果吗？学生很容易看出x=3且y=4，和x=4且y=3两组解，但有些老师不同意这样看，他们说：“不能没有过程，考试要扣分的。”但在“我国数学课程标准的初步设想”中，已经明确提出：“进一步培养数感，减少繁杂的计算，加强估算，强调算法多样化。”不久的将来，老师可以理直气壮地告诉学生：“即使高考，也允许观察出来的结果！”荷兰数学教育家、国际数学教育委员会主席弗兰登塔尔认为：“学数学需要独立思考，而思考需要实践的辅助。数学课程应当首先让学生知道他们面对的内容是什么，给学生留出可以思考和可以动手操作的空间。如果内容象天外来客般无法琢磨，学生不知道该怎么做和怎样思考，就会感到茫然和无能为力。”
数学解题课中，好的问题情境是激发学生兴趣的兴奋剂，也是促进数学能力发展的催化剂。只有学生真正学会了学习，素质教育才不是一句空话。但提出好的问题情境，是对每一个教师的考验，什么时候感到困难了，翻一翻波利亚的《怎样解题》吧，那里有最好的示范，能给我们许多启示。
