数学学科试题
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题。每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项。
(1)已知集合A{1,2,3,4},B{x|xn,nA},则AB()
(A){1,4}(B){2,3}(C){9,16}(D){1, 2}
2(2)a为正实数,i为虚数单位,ai2,则a() i
(A)2(B
(C
(D)
1(3)函数f(x)2sin(x)(0,
别是()
22)的部分图象如图所示,则,的值分
A.2,
3B.2,
6C.4,
6D.4,
3a(4)下面是关于公差d0的等差数列n的四个命题:
p1:数列an是递增数列;p2:数列nan是递增数列;
ap3:数列n是递增数列;p:数列an3nd是递增数列;n
4其中的真命题为()
A.p1,p2 B.p3,p4 C.p2,p3 D.p1,p4
xy2(5)若变量x,y满足约束条件x1,则z2xy的最大值和最小值分别为()
y0
A.4和3B.4和2C.3和2D.2和0
(6)一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到正视图
可以为()
(A)(B)(C)(D)
(7)右图是用模拟方法估计圆周率的程序框图,P表示估计结果,则图中空白框内应填入
()
N
10004N
B.P
1000M
C.P
10004M
D.P
1000
A. P
x2y2
(8)从椭圆221(ab0)上一点P向
ab
x轴
作垂线,垂足恰为左焦点F1,A是椭圆与x轴正半轴的交点,B是椭圆与y轴正半轴的交点,且AB//OP(O是坐标原点),则该椭圆的离心率是() A
.
B.C
.D
. 4222
(9)函数y
x
sinx的图象大致是
(10)已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P,使△APB的最大边是AB”发生的概
率为.,则
12
AD
=() AB
A.
11
B.C
D
24
(11)若曲线
C1
22
xy2x0与曲线C2:y(ymxm)
0有四个不同的交点,则:
实数m的取值范围是 A.
(
,)B.
(,0)∪(0
,) 3333
C.
[
]D.(
,
,+) (12)函数yf(x)的图像如图所示,在区间a,b上可找到n(n2)个不同的数
x1,x2,,xn,使得
f(xn)f(x1)f(x2)
,则n的取值范围为()
x1x2xn
A.2,3B.2,3,4C.3,4D.3,4,
5
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两个部分。第(13)题-第(21)题为必考题,每个考生都必须作
答。第(22)题-第(24)题为选考题,考生根据要求作答。 二.填空题:本大题共四小题,每小题5分。
(13)若等比数列an满足a2a420,a3a540,则Sn
(14)关于x的不等式x22ax8a20(a0)的解集为(x1,x2),且:x2x115,则
a
(15)向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若cab(,R),则
(16)设函数f(x)x
.对任意x1,,x
f(mx)mf(x)0恒成立,则实数m的取值范围
是.
三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17(本小题满分12分) 叙述并证明余弦定理。
18(本小题满分12分)
近年来,某市为了促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾
三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨):
(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率; (2)试估计生活垃圾投放错误的概率;
(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a,b,c,其中a0,abc600.当数据a,b,c的方差S最大时,写出a,b,c的值(结论不要求证明),并求此时S的值.(注:方差s2[(x1x)2(x2x)2
(xnx)2],其中x为x1,x2,xn的平均数)
n
19(本小题满分12分)
已知ABCDA1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱,O1是A1C1和B1D1的交点。 (1)设AB1与底面A1B1C1D1所成的角的大小为,二面角AB1D1
A1的大小为。 求证:tan
;
(2)若点C到平面AB1D1的距离为
,求正四棱柱ABCDA1B1C1D1的高。 3DB
B
1D1
20 (本小题满分12分)
已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线 C
(1)求C的方程;
(2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求AB.
21(本小题满分12分)
已知a∈R,函数f(x)=x−3x+3ax−3a+3. (1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)当x∈[0,2]时,求|f(x)|的最大值.
(本小题满分10分)
请考生在第
22、
23、24三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按所做的第一个题目计分。
22选修4—1几何证明选讲:如图,CD为△ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于
点D,E,F分别为弦AB与弦AC上的点,且BCAEDCAF,B,E,F,C四点共圆.
(1)证明:CA是△ABC外接圆的直径;
(2)若DBBEEA,求过B,E,F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.
23选修4—4;坐标系与参数方程
已知动点P,Q都在曲线C:
x2cos
(为参数)上,对应参数分别为与
y2sin
2(02),M为PQ的中点.
(1)求M的轨迹的参数方程;
(2)将M到坐标原点的距离d表示为的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.
24选修4—5;不等式选讲
设a,b,c均为正数,且abc1,证明:
1a2b2c2
(1)abbcca;(2)1.
3bca