数列知识梳理

发布时间：2020-03-03 00:16:58 来源：范文大全收藏本文下载本文手机版

数列

一、数列

1、定义：按照一定顺序排列起来的一列数。

2、通项公式：

（1）定义：anf(n)

（2）求法：①观察法（注意观察项与项数、项与项、不变项与变项之间

的关系）

如：根据数列的前几项，写出下面各数列的一个通项公式：

101,7,13,19,

208,88,888,8888,

301,0,1,0,

① 累加法：如等差数列通项公式的推导

② 累乘法：如等比数列通项公式的推导。

③ 利用Sn与an的关系进行求解

如：已知数列{an}的前n项和为Sn，求{an}的通项公式

10Sn2n23n；20Sn3nb

④ 取倒数

如：数列{an}中，an1an，a12，求a4（提示：通过取倒数构造新数13an

列，判断新数列是特殊数列进而求解）

⑤ 迭代法

已知数列{an}满足a11,an12an1(nN*)，求an

法10通过添加项构造新数列：an112(an1)，得{an1}是以a112为首项，2为公比的等比数列。

20an12an12(2an11)122an12122(2an21)21=23an222212na12n12n221=

22nn12n212n

1212n11，∴an2n1 1

2⑥ 设{an}是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对于所有的nN，都

有8Sn(an2)2，求数列{an}的通项公式。

分析：当n2时8Sn1(an12)2，∴有8

（SnSn1)=8an(an2)2(an12)2，∴（a(nan1)(anan14)0又{an}是正数组成的数列，∴anan140，∴anan14，

∴{an}是以2为首项，4为公差的等差数列，所以an4n2

一、等差数列

1、定义：从第二项起，每一项与其前一项的差是同一个常数。

符号语言：①an1and(nN) ；②anan1d(n2,nN)； ③an1ananan1(n2,nN)

2、证明一数列是等差数列的方法：如证明数列{3n2}是等差数列。

3、通项公式：ana1(n1)d

①andn(a1d)，d0时表示n是自变量an是函数值的一次函数，点(n,an)(nn)在以d为斜率，a1d为y轴上的截距的直线上，该数列的图象是一群孤立的点组成。

②(n,an),(m,am)(nm)共线，所以danam，从而有anam(nm)d nm

③等差中项：如果三个数x,A,y成等差数列，则三个数的关系是。

4、前n项和

① 推导方法：倒序相加法

举例：

（1）设f(x)

为。 122x，则f(5)f(4)f(0)f(5)f(6)的值

（2）若函数f(x)对任意xR，都有f(x)f(1x)

212n1)f(1)，数列{an}是等差数列吗？试证10anf(0)f()f()f(nnn

明你的结论。

20若{1}的前n项和为Tn，Tnan1对一切nN都成立，求的取值范anan

1围。

（3）设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知S636，Sn324，若Sn4144(n6)，则n=.②Snna1n(a1an)n(n1)d 22

121dn(a1d)n 22变形：10Sn

d0时点(n,Sn)都在一个二次函数的图象上。

20Snddn(a1) n22

Sn)(nN)共线 n点(n,

思考：等差数列{an}的前m项和为20，前2m项和为100，求它的前3m项和。（用三种方法求解）

5、性质：

①如果m,n,s,tN且满足m+n=s+t，则am,an,as,at之间的关是。如果m,n,tN且满足m+n=2t，则am,an,at之间的关是 ② 若{an}是等差数列，ak,a2k,a3k,, 是否是等差数列？若是，公差是多少？

③ {an}是等差数列，若去掉前面几项，剩余的项组成的数列是否为等差数列？ ④ Sn是等差数列{an}的前n项和，Sk,S2kSk,S3kS2k,是否成等差数列？ ⑤ 前n项和公式SnAn2Bn（A、B为常数）{an}为等差数列

⑥ 三个数成等差数列该如何设最简单（前提知道该三数的和）？四个数成等差数列呢？

⑦ 若等差数列的项数为2n，则有：10S偶S奇S奇S偶。

若项数为2n+1，则有S奇S偶S奇S偶。

如：项数为奇数的等差数列{an}中，奇数项之和为80，偶数项之和为85，求此数列的中间项与项数。

另外常见题型：

1、在等差数列{an}中，已知a120，前n项和为Sn，且S10S15，求当n取何值时，Sn有最大值，并求出它的最大值。

2、数列{an}的数列{an}的前n项和为Sn=100n-n2，

（1）判断{an}是否是等差数列，若是，求其首项、公差；

（2）设bn|an|，求数列{bn}的前n项和。

（3）已知等差若m1,mN，且am1am1am0,S2m138，则m等

于。

（4）已知数列数列{an}的前n项和为Sn，且满足

an2SnSn10(n2),a1

10求证：{21 21}是等差数列； Sn

20求an的表达式。

等比数列

一、等比数列

1、定义：从第二项起，每一项与其前一项的比是同一个常数。符号语言：①an1aq(nN) ；②nq(n2,nN)； anan

1③an1an(n2,nN)anan1

2、证明一数列是等比数列的方法：

3、通项公式：ana1qn

1①anamqnm

③等比中项：如果三个数x,A,y成等比数列，则三个数的关系是。思考：是否是任意三个数都有等比中项？

是否是所有的常数数列都是等比数列？

4前n项和公式

① 推导方法：乘公比错位相减法（思考：该方法适用的范围） 123n举例：求和Sn23n aaaa

(q1)na1②Sna1(1qn) (q1)1q

3、性质：

①如果m,n,s,tN且满足m+n=s+t，则am,an,as,at之间的关是。如果m,n,tN且满足m+n=2t，则am,an,at之间的关是 ⑧ 若{an}是等比数列，ak,a2k,a3k,, 是否是等比数列？若是，公比是多少？ ⑨ {an}是等比数列，若去掉前面几项，剩余的项组成的数列是否为等比数列？ ⑩ Sn是等比数列{an}的前n项和，Sk,S2kSk,S3kS2k,是否成等比数列？ ⑪ 三个数成等比数列该如何设最简单（前提知道该三数的积）？四个数成等比数列呢？

另外常见题型：

练习：（1）等比数列{an}中，q2,S9977，求a1a6a99

（2）已知数列{an}是由正数组成的等比数列，且a2a42a3a5a4a625,则a3a5

（3）设等比数列{an}的公比为q(q0)，它的前n项和为40，前2n项为3280，且前n项和中数值最大项为27，求数列的第2n项。

数列求和

1、公式法

求和：Sn1111111111111(n个1)

2、错位相减法：

（09山东文）等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的nN，点(n,Sn)均在函数ybxr(b0,b1,b,r均为常数）的图象上；

（1）求r的值；

（2）当b2时，记bn

3、倒序相加法