平面向量
●重难点突破
1.向量加法的运算及其几何意义。 2.对向量加法定义的理解。 3.向量的减法运算及其几何意义。 4.对向量减法定义的理解。 5.实数与向量积的意义。 6.实数与向量积的运算律。
7.两个向量共线的等价条件及其运用。 8.对向量共线的等价条件的理解运用。
●每课一记
一、求若干个向量的和的模(或最值)的问题通常按下列步骤进行： (1)寻找或构造平行四边形，找出所求向量的关系式；
(2)用已知长度的向量表示待求向量的模，有时还要利用模的重要性质。
二、1.向量的加法定义
向量加法的定义：如图3，已知非零向量A.b，在平面内任取一点A，作AB=a，BC=b，则向量AC叫做a与b的和，记作a+b，即a+b=AB+BC=AC。
求两个向量和的运算，叫做向量的加法。 2.向量加法的法则： （1）向量加法的三角形法则 在定义中所给出的求象量和的方法就是向量加法的三角形法则。运用这一法则时要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量。零位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型。 （2）平行四边形法则 向量加法的平行四边形法则
如图4，以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形，则以O为起点的对角线OC就是a与b的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。
3.向量a，b的加法也满足交换律和结合律： ①对于零向量与任一向量，我们规定a+0=0+a=a。
②两个数相加其结果是一个数，对应于数轴上的一个点；在数轴上的两个向量相加，它们的和仍是一个向量，对应于数轴上的一条有向线段。
③当a，b不共线时，|a+b|＜|a|+|b|(即三角形两边之和大于第三边)； 当a，b共线且方向相同时，|a+b|=|a|+|b|；
当a，b共线且方向相反时，|a+b|=|a|-|b|(或|b|-|a|)。其中当向量a的长度大于向量b的长度时，|a+b|=|a|-|b|；当向量a的长度小于向量b的长度时，|a+b|=|b|-|a|。
一般地，我们有|a+b|≤|a|+|b|。
④如图5，作AB=a，AD=b，以AB.AD为邻边作ABCD，则BC=b，DC=a。 因为AC=AB+AD=a+b，AC=AD+DC=b+a，所以a+b=b+a。 如图6，因为AD=AC+CD=(AB+BC)+CD=(a+b)+c，
AD=AB+BD=AB+(BC+CD)=a+(b+c)，所以(a+b)+c=a+(b+c)。
综上所述，向量的加法满足交换律和结合律。
特殊与一般，归纳与类比，数形结合，分类讨论，特别是通过知识迁移类比获得新知识的过程与方法。
三、用向量法解决物理问题的步骤为：先用向量表示物理量，再进行向量运算，最后回扣物理问题，解决问题。
四、向量也有减法运算。
由于方向反转两次仍回到原来的方向，因此a和-a互为相反向量。 于是-(-a)=a。
我们规定，零向量的相反向量仍是零向量.任一向量与其相反向量的和是零向量，即a+(-a)=(-a)+a=0。 所以，如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0。 1.平行四边形法则
图1
AC=a，如图1，设向量AB=b，则AD=-b，由向量减法的定义，知AE=a+(-b)=a-b。
又b+BC=a，所以BC=a-b。 由此，我们得到a-b的作图方法。
图2 2.三角形法则 如图2，已知a、b，在平面内任取一点O，作OA=a，OB=b，则BA=a-b，即a-b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量，这是向量减法的几何意义。 （1）定义向量减法运算之前，应先引进相反向量。
与数x的相反数是-x类似，我们规定，与a长度相等，方向相反的量，叫做a的相反向量，记作-a。
（2）向量减法的定义。我们定义a-b=a+(-b)， 即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。 规定：零向量的相反向量是零向量。
(3)向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则，这也正是向量的运算的几何意义所在，是数形结合思想的重要体现。
五、我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下： (1)|λa|=|λ||a|；
(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反。
由(1)可知，λ=0时，λa=0。
根据实数与向量的积的定义，我们可以验证下面的运算律。 实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，那么 (1)λ(μa)=(λμ)a; (2)(λ+μ)a=λa+μa; (3)λ(a+b)=λa+λb.特别地，我们有(-λ)a=-(λa)=λ(-a)，λ(a-b)=λa-λb。
向量共线的等价条件是：如果a(a≠0)与b共线，那么有且只有一个实数λ，使b=λa。共线向量可能有以下几种情况： (1)有一个为零向量； (2)两个都为零向量； (3)同向且模相等； (4)同向且模不等； (5)反向且模相等； (6)反向且模不等。
数与向量的积仍是一个向量，向量的方向由实数的正负及原向量的方向确定，大小由|λ|·|a|确定。它的几何意义是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩小。向量的平行与直线的平行是不同的，直线的平行是指两条直线在同一平面内没有公共点；而向量的平行既包含没有交点的情况，又包含两个向量在同一条直线上的情形。向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。对于任意向量a、b，以及任意实数λ、
1、2，恒有λ(1a±2b)=λ1a±λ2b。
●经典例题 例1 化简： (1)BC+AB (2)DB+CD+BC
(3)AB+DF+CD+BC+FA 解：
(1)BC+AB=AB+BC=AC
(2)DB+CD+BC=BC+CD+DB=(BC+CD)+DB=BD+DB=0 (3)AB+DF+CD+BC+ FA=AB+BC+CD+DF+FA =AC+CD+DF+FA=AD+DF+FA=AF+FA=0 解析：要善于运用向量的加法的运算法则及运算律来求和向量。 例2 若AC=a+b，DB=a-b ①当a.b满足什么条件时，a+b与a-b垂直？ ②当a.b满足什么条件时，|a+b|=|a-b|？
③当a.b满足什么条件时，a+b平分a与b所夹的角？ ④a+b与a-b可能是相等向量吗？
解析：如图6，用向量构建平行四边形，其中向量AC、DB恰为平行四边形的对角线。
由平行四边形法则，得
AC=a+b，DB=AB-AD=a-b。
由此问题就可转换为：
①当边AB、AD满足什么条件时，对角线互相垂直？(|a|=|b|) ②当边AB、AD满足什么条件时，对角线相等？(a.b互相垂直) ③当边AB、AD满足什么条件时，对角线平分内角？(a.b相等) ④a+b与a-b可能是相等向量吗？(不可能，因为对角线方向不同) 解析：灵活的构想，独特巧妙，数形结合思想得到充分体现。由此我们可以想到在解决向量问题时，可以利用向量的几何意义构造几何图形，转化为平面几何问题。
