第二章 实数平方根
若一个正数x的平方等于a，即x2=a，则这个正数x就叫做a的算术平方根.记为“读作“根号a”.这就是算术平方根的定义.特别地规定0的算术平方根是0，即［例1］求下列各数的算术平方根：
49a”
0=0.(1)900；(2)1；(3)64；(4)14.
解：(1)因为302=900，所以900的算术平方根是30，即(2)因为12=1，所以1的算术平方根是1，即(),864(3)因为所以6472900=30；
1=1；
49647849497的算术平方根是8，即14；
(4)14的算术平方根是.？
［例2］自由下落的物体的高度h(米)与下落时间t(秒)的关系为h=4.9t2.有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？ 解：将h=19.6代入公式h=4.9t2得 t2=4,所以t=4=2(秒) 即铁球到达地面需要2秒.
算术平方根的性质.定义中的a和x都为正数，即算术平方根是非负数，负数没有算术平方根.用式子表示为a(a≥0)为非负数，Ⅲ.课堂练习
5一、填空题1.若一个数的算术平方根是4，则这个数是_________.2.9的算术平方根是_________.1443.正数_________的平方为25,179的算术平方根为_________.4.(－1.44)2的算术平方根为_________.5.81的算术平方根为_________，
0.04=_________.
二、求下列各数的算术平方根，用符号表示出来：
1(1)(7.4)2；
(2)(－3.9)2；
(3)2.25；
(4)24.21254答案：
一、1.5 2.
33.
二、(1)7.42
34.1.44 5.3 0.2.
27.2;(2)(3.9)23.93.9;(3)2.251.5;(4)
21432.1.一个正方形的面积变为原来的n倍时，它的边长变为原来的多少倍？ 2.一个正方形的面积为原来的100倍时，它的边长变为原来的多少倍？ 解：设原来的正方形边长为a，面积为S1，后来的正方形面积为S2.1.S1=a2，S2=na2(∴后来的边长(nna)2
na)为原来边长的
倍.2.S1=a2，S2=100a2=(10a)2 ∴后来的边长10a为原来边长的10倍.1.平方根、开平方的概念 先思考两个问题.(1)9的算术平方根是3，也就是说，3的平方是9，还有其他的数，它的平方也是9吗？
4(2)平方等于25的数有几个？平方等于0.64的数呢？
24243是9的算术平方根，5是25的算术平方根，那么－3，－5叫
9、25的什么根呢 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个x就叫a的平方根(square root)，也叫二次方根，3和－3的平方都等于9，由定义可知3和－3都是9的平方根，即9的平方根有两个3和－3，9的算术平方根只有一个是3.［生］平方根的定义中是有一个数x的平方等于a，则x叫a的平方根，x没有肯定是正数还是负数或零；而算术平方根的定义中是有一个正数x的平方等于a，则x叫a的算术平方根，这里的x只能是正数.由此看来都有x2=a，这是它们的相同之处，而x的要求不同，这是它们的不同之处.平方根与算术平方根的联系与区别 联系：
(1)具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.(2)存在条件相同：平方根和算术平方根都是只有非负数才有（根号下的数大于等于0）.(3)0的平方根，算术平方根都是0.区别：
(1)定义不同：“如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根”；“非负数a的非负平方根叫a的算术平方根”.(2)个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个.(3)表示法不同：正数a的平方根表示为±
a，正数a的算术平方根表示为
a.(4)取值范围不同：正数的平方根一正一负，互为相反数；正数的算术平方根只有一个.开平方
求一个数a的平方根的运算，叫开平方，其中a叫被开方数.2.平方根的性质 0有一个平方根是零.负数没有平方根，例如－3没有平方根.一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；0有一个平方根是0，负数没有平方根.3.讲解例题
［例］求下列各数的平方根.49(1)64；(2)121；(3)0.0004；(4)(－25)2；(5)11.解：(1)因为(±8)2=64，所以64的平方根是±8，即±764=±8；
74949749121(2)因为(±11)2=121，所以121的平方根是±11，即±=±11；
0.0004(3)因为(±0.02)2=0.0004，所以0.0004的平方根是±0.02，即±=±0.02； (4)因为(±25)2=(－25)2，所以(－25)2的平方根是±25，即±(5)11的平方根是±4.想一想
49(25)2=±25；
11.(1)((2)(647.2)2等于多少？()2等于多少？
a121)2等于多少？
(3)对于正数a，(解：(1)( 64)2等于多少？
4949)2=64； (121)2=121；
(2)(
7.2)2=7.2；
(3)(
a)2=a(a＞0) (一)随堂练习1.求下列各数的平方根
1001.44，0，8，49，441，196，10－4
1.44解：因为(±1.2)2=1.44，所以1.44的平方根是±1.2，即±因为02=0，所以0的平方根是0.即±0=±1.2；
=0；
8因为(±因为(107)2=8.所以8的平方根是±100491008；
10)210049，所以49的平方根是±7，即±
107；
因为(±21)2=441，所以441的平方根是±21，即±因为(±14)2=196，所以196的平方根是±14，即±114441196=±21； =±14；
112141214因为110－4=10，(±10)=10，所以104的平方根是±10，即±
104=±
10=±10=
2±100.2.填空
(1)25的平方根是_________；
(3)(5 (2)
(5)2 =_________；
)2=_________.解：(1)±5；(2)5；(3)5.(二)补充练习投影片：(§2.2.2 B) 1.判断下列各数是否有平方根？并说明理由.(1)(－3)2；(2)0；(3)－0.01；(4)－52；(5)－a2；(6)a2－2a+2 2.求下列各数的平方根.7(1)121；(2)0.01；(3)29；(4)(－13)2；(5)－(－4)3.1.分析：一个数有没有平方根，就看它是不是负数，是负数就没有平方根；不是负数就有平方根.解：(1)∵(－3)2=9＞0∴(－3)2有平方根 (2)∵0的平方根是它本身∴0有平方根 (3)∵－0.01＜0∴－0.01没有平方根 (4)∵－52=－25＜0∴－52没有平方根 (5)当a=0时，－a2=0，有平方根 当a≠0时，－a2＜0，没有平方根.(6)∵a2－2a+2=(a－1)2+1，无论a取何有理数，(a－1)2+1＞0 ∴a2－2a+2有平方根.说明：(1)负数没有平方根
(2)第(4)小题容易犯错误，－52=25＞0.2.分析：根据平方与开平方互为逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根，其中729259，(－13)2=169，－(－4)3=64，把带分数化为假分数，含有乘方运算先求出它的幂.
∴121的平方根是±11
即±
0.01解：(1)∵(±11)2=121 (2)∵(±0.1)2=0.01
7121=±11；
259∴0.01的平方根是±0.1
75即±
=±0.1；
2795(3)∵292595，(±3)2= ∴29的平方根是±3
即±=±3；
(13)2(4)∵(－13)2=169，(±13)2=169 ∴(－13)2的平方根是±13 即±=±13； (5)∵－(－4)3=64，(±8)2=64 Ⅵ.活动与探究 1.对于任意数a，解：不一定 当a=2时，1∴－(－4)3的平方根是±8 即±
(4)3=±8.a2一定等于a吗？
a21422124=2 当a=2时，当a=0时，a2
a2a20=0 (2)2当a=－2时，14=2
1当a－2时，a2(12)2142=2.综上所述，当a≥0时，当a＜0时，2.aa2a=a =－a
a中的被开方数a在什么情况下有意义，(
)2等于什么？
解：因为任意数的平方都是非负数，也就是非负数才有平方根，所以被开方数a必须是正数或零，即非负数时有意义.当a=1时，(当a=4时，(1141)2=12=1 )2=22=4 当a=4时，1(1212)()424当a=9时，(11212)()9390当a=0时，(所以(
a)2=0.)2=a(a≥0)
