数学金融。我卷,第3号(1991年7月),我1 -29平衡模型与奇异 资产价格
IOANNISKARATZASI 部门统计 和经济学 哥伦比亚大学 纽约,纽约10027 约翰·p·LEHOCZKY 部门统计 卡内基梅隆大学
宾夕法尼亚州匹兹堡15213 Steven E。 sHREVE2 数学系 卡内基梅隆大学
宾夕法尼亚州匹兹堡15213 一般均衡模型中,经济主体已经从consump——边际效用有限 辐射在原点导致金融资产在持续的价格与单一组件。在
特定的,没有真正的“利率”在这样的模型,虽然可以阻止——资产价格 由平衡考虑(和独特,共同基金的形成)。罪, 咽喉的连续过程问题负责精确的时间点集的一些代理 经济“滴”,或“回来”,之间的时间间隔为零消费。不 令人惊讶的是,这些过程都是由当地时间。 关键词:平衡分析,金融经济学,随机微积分 我。介绍
基于消费的主要目标,资本资产定价理论模型 回报率和总消费之间的关系。在连续时间
模型,许多研究人员(如。默顿1973年,布里登1979年,1986年,考克斯Inger由美国国家科学基金会的工作支持格兰特dms22188。 *工作支持下由美国国家科学基金会资助dms02588。 手稿收到1991年2月,最终修订收到1991年4月。 11 12 IOANNIS KARATZAS约翰。P。LEHOCZKY N D STEVEN E。至 ,与资产的比例常数独立和相对平等 规避风险指数为代表的代理。
一些规律的条件下,包括严格的最佳consump——积极性 过程,连续时间资本资产定价模型的均衡价格
被证明能够享受这两个属性,但适当的均衡价格的存在
在可替换主体经济直到最近一直是一个悬而未决的问题。价格进程驻留 在一个华氏空间和一个方法证明均衡的存在
这样的空间是基于一个定点的结果Mas-Cole11(1986)(见,例如。达菲,1986)。 Mas-Colell定理假设“统一properne”的实用功能,在 time-additive案件需要在零消费水平有限的边际效用。在 另一方面,派生的语句(1.1)和(1.2)需要消费的积极性 ,情况是已知不占上风时,边际效用为零
消费是有限的。Araujo和蒙泰罗(1989 a,b)没有取得平衡 假设“统一properne”,但他们的结果的影响连续- 时间、资本资产定价理论还有待探索。 本文关注平衡的存在,(我的程度。1)和
(1.2)。的主要结果是,平衡存在,但我f一些代理jinite 边际效用为零而其他人不这样做,那么无风险资产未能huve率 o回归传统意义上的,即。可能没有流程r(t)pricef等 阿宝(t)的无风险资产满足 (1.3) 然而,(1.1)是在更一般的意义上,在备注8.2精确。同样的, 风险资产的价格过程可能没有传统意义上的回报。 然而,任何风险资产和无风险资产之间的差异将会有一个 传统的回报率,如果我们定义“超额回报率”的
这种差异,然后(1.2)。所有这些困难出现,因为一些代理可能会看到 他们的最优消费降至零。如果假设是用来防止这种情况,那么 过程r(t)能找到令人满意的(1.3),和特征(1.1)和(1.2)。 达菲和Zame(1989)是第一个证明一个平衡满足——的存在
荷兰国际集团(ing)(1.1)和(1.2)的连续系统,基于消费资本资产定价模型。 他们认为无限为每个代理和避免Mas-Coleli边际效用为零 通过功能分析参数统一properne条件。因此, 异常处理在这里并没有出现。达菲和Zame模型还包括现货价格 过程,计价单位消费的好”。“这样的
过程掩盖了困难我们这里地址denomi——因为回报率的资产 nat之后的计价单位可以存在,即使他们的利率计价的 消费存在的好失败。
Karatzas、Lehoczky施立夫(1990)建立了均衡的存在 减少问题的有限维定点问题。(的一些结果
Karatzas等人磨了达纳和Pontier 1990。)中的变量 有限维Karatzas等人的问题是形成所需的重量平均用力 私人代表代理,一个想法称为“根岸英一法”和借来的 EOUII ~ IBRIUMMODELS奇异资产价格 13 当前上下文从黄(1987)。该方法不需要任何条件3月- ginal公用事业为零,但存在均衡只有在获得模型包括 现货价格的过程。(这样的模型被称为Karatzas等的模型 艾尔。)在模型中没有现货价格(没钱的模型),获得平衡 Karatzas等人只有当所有代理都无限的边际效用为零。 在本文中,我们考虑一个可替换主体模型没有现货价格和条件 在边际效用为零。为了简单起见,我们建立了模型一个纯- 交换经济,不难与Karatzas结合本文,Lehoczky, 至(1990)对生产经济获得类似的结果。鞅方法 用于解决优化问题的个人代理,那么没有必要 引入状态向量或试图建立马尔可夫过程。这也是
在达菲(1986),达菲和Zame(1989),和Karatzas Lehoczky,至 (1990),但不是在以前的平衡论文。
获得平衡,我们一开始就假设一个无风险资产(称为债券)的 价格连续有界变差,但不一定是绝对的 连续的。因此,没有“利率”,可以用来恢复价格
这个键的过程。风险资产的价格(称为股票)是连续的,及功率- 有效半。特别是,这些过程可能有界变差的部分 有个持续的组件。我们假设有界变差的部分 打折股票价格过程是绝对连续,打折是完成
通过部门的债券价格。我们11节中显示,这一假设的失败 将允许套利。后Karatzas Lehoczky,施立夫(1990),我们减少了平衡问题有限维定点问题,解决方案的
允许我们定义一个代表代理人效用函数。一些相关的事实 代理可以看到他们的最优消费降至零,这个代表代理工具
功能可能有不连续的一阶导数。对于这样一个funcdowmentproce E = { E(t);0 5 t 5 t }这是积极的和可衡量的 对过滤{ % }。我们假设在{ % r }的增大 空集的自然过滤 Gwr C类的, 严格增加并严格凹,满足UA(x)Alimc + z UA(c)= 0。从 严格的凹性,我们有你的(0)4 1 imcio U;,)(c)在(0,1存在。 独特的平衡,我们还需要条件 (3.1) c b = cUA(c)不减少的, 素食新闻 = 我,。,N。
这种情况意味着假设-铜:(c)/ UA(c),Arrow-Pratt衡量的 相对风险厌恶,是小于或等于团结。
我们通过我,表示函数的逆UA;这是一个严格减少映射 UA(0)(0)(0米),我们扩展它在所有的(0,通过设置Z,(y)= 0) y 2 UA(0)。
在这个模型中,代理获得实用程序通过使用部分的总商品 养老。因为这样的捐赠基金通常是随机、时变的 代理会发现它有用参与市场,允许他们两个对冲
风险和消除他们的消费。介绍了这样一个市场的一个模型 在下一节,将决定8节,其系数平衡考虑 ,在养老方面的流程和个人代理的实用函数。 资产价格均衡模型与奇异 15 4。金融市场与非凡的债券价格
金融市场与奇异债券价格d + 1资产;其中一个是纯粹的 贴现债券,与价格P O(在时间t(满足) 剩余资产有风险的股票,每股价格P;(t)给出的 (4.2) dP、(t)= P(t)[b,dt(t) + dA(r)+ J 维
你,(t)dW,(t)), 我 1 5 我5 d。
r的过程()。,一个()。,b;(。),我()。,我和g j(。)被称为集体意志 得到的模型。他们都是{ % },逐步可以衡量的。流程r(。) b;(+),亩(*)有界一致(r,w),矩阵m(t)= { uu(r)} 15我j5dandsatisfies 强烈的非退化条件 (4.3) z * u(r)m * 2 ~ J(t)z z /)~,Vt E--- 根据Girsanov定理, (5.3) 然后一个布朗运动在新的概率测度F()= EIZ(T)拉),E %助教吗 (cf Karatzas。至1988年,3.5节)。这种表示法,以(4.4) 帐户,(5.1)给出的解决方案 在哪里 (5.5) @(t)——exp = 阿宝(t) 一个 1 { 1:--- 我: Z(s)0”(s)dW(年代)。
分步积分法应用于P的产物X和Z产量,结合 (5.4)和(5.6), EQUILIBRIUMMODELS奇异资产价格 17 在这里
而且它很容易验证(5.7)实际上是相当于(5.4) 我们假设为当前进程((5.8)满足条件 (5.9) 0 0 6 > 0。这个假设是合理的 第七节的结束。
c)Dejnition 5.1。投资组合/消费过程对(T,第n个代理 称为容许如果相应的财富(5.4)满足的过程
或者,相当于(由于贝叶斯规则,p。193年Karatzas至1988), 几乎可以肯定。 0 特别是,它遵循从(5.7)、(5.10)和(2.2),容许两人 (T,?、procec), 是一种局部鞅有界。因此,同样的上鞅 初始值等于零,这意味着
命题。让C。是一个消费的过程,satisjes5.1 (5.12) E 物联网 ((s)C(s) ds = E ”,我
(年代)E,ds。 18 IOANNIS KARATZAS约翰。P。LEHOCZKY N D STEVEN E。S H R E V E 然后有一个投资组合过程3,这样两人 给出相应的财富过程X, (嗯,容许和theen) 证据。
根据(5.12),P-martingale 期望为零;从鞅表示定理的基本,它承认吗 随机积分表示 (5)。15) 对于一些投资组合过程中n -(cf Karatzas。至1988年,3.4.16问题和证据 命题5.8.6)。然后,从(5.4),(5.14)和(5.13,财富 X,过程,对应于(我t)是由(5.13)和满足admiibilityi,, 定义5的要求。我。0 6。的 nlH 代理的优化问题
每个代理的目标是最大化预期贴现效用的消费 (6.1) 对所有容许对(c n -,,,,?)而满足
p:[0,TIJb p(s)ds }和集成dt x dP, = c n(t)),之后 乘以
但这最后一学期非负,由于(5.11)和(5.12),以及最优(翅片, en)。(通过c(t)是一个合适的常数在上面的论证,我们看到, en(.)满足要求(6.2))。 7。平衡,“代理”
我们说第四节结果的金融市场处于均衡状态,如果的符号 第五节,我们有以下条件: (我)商品市场的结算: (7.1) (2)股票市场的结算: N (7.2) Cfi,我(t)=啊, t1 = 我= 1,O S t S t。维, 1 (3)债券市场的结算: N (7.3) n =我 C X n(t)= 0, 05年tc ~ 在这种背景下,t,鳍,X,,表示第n个代理的优化过程。 20 IOANNIS KARATZAS,JOHN p .LEHOCZKY N D STEVEN e .施立夫 命题的条件(7.1)-(7.3)导致a.s.identity7.1。 (7.4) y,,由(6.3)dejned n = 1,。,N。
相反,假设存在一个jinuncial市场的过程5(5.8) sutisjies(7.4)和(6.3)适合积极的数字易建联,。、yN。然后thisjinancial 在均衡市场的结果。
证据。第一,简单地观察到(7.4)之前(7。我)和(6.4)。为 反过来,金融市场的注意,问题最优消费支持 后产生{ en } f_再次由(6.4),和相应的财富过程{ Xi,}; 由(5.13)。条件(7.1)之前从(7.4)和(6.4)和直接领导,在一起 (5.13)和(5.14),(7.3)和Xf =我,,分别(r)0。现在这最后赖斯- = 一起,(5.15)和非退化(T *,给(7.2)。0 为了便于寻找一个平衡的金融市场,让我们介绍每一个 矢量E(0,”)N的函数
它可以被视为在Karatzas,Lehoczky施立夫最大(1990年10节) 实现在
H(。;)是连续的逆,递减函数 N 我 \ (7.7) 因此, 和此前表示,U(*,是连续和连续differ-A) entiable(0,”)与你的(c;)= H(c;)和c类3离集 (7.8) 问{,,。~ },,,2我(阿奴,l(0);a)。=我 资产价格均衡模型与奇异 21 我们解释函数U(——;)(7.5)为代表的效用函数 代理,分配权重,,。经济,个人代理。平衡的问题可以扮演确定“正确”的方法
这些权重分配。事实上,与识别=(A1,。。)=(1 1。~ 1。,。。, 我y / N)、(7.4)和(6.3)可以写成 (7.9) E (7.10) 1 1;” exp { = p(s)ds }美国(s(t);A)我,, E IoTexp {1.8)和1.9(1)Karatzas,Lehoczky,施立夫(1990)。在这种情况下, r的过程(8.4)和(4.1)是一个真正的利率。
另一方面,如果UA(0)
我们现在这种情况的一个例子,与N = 2,你我(0)= X,你我(0)
- p(t))dt-- k)&(t)。
这些选择,(7.9)和(7.10) (9.8) {(t)= U ' t(4);一个), 资产价格均衡模型与奇异 25 (9.9) XIT = 柯/ oT {(t)E(t), (9.10) E 物联网 马克斯(h2--- k)E ”,我 t(t)&(dt)。
根据定理8.1,存在一个独特的E(0,x)*满足(9.8)-(9.10) 和U(1;A)= 2。我们从今以后处理这个,表示相应的(R)= 我/ A2只需一个。
假设5 s(t)、Vt E[0,TI几乎肯定。然后从(9.3)和(9.8)我们((t) = l / &(t)和(9.9)给出了k =我,一个矛盾。另一方面,假设~(t3,) V t E[0,t]几乎肯定;因为E(*)达到任意值接近1和积极的 概率,我们必须有一个我。此外,((r)=(*)/(我+ s(t)),(9.8)andand (9.9)给 + 结合(9.6),收益率的矛盾习近平/ * = > 1。它的发展 从这个分析过程E(。)穿过水平在区间[0,T我, 积极的概率。
从(8.4)(8.6),我们可以得出结论:金融市场的平衡系数 给出了由 (9.11) (9.12) (9.13) 在这种情况下。从前面分析,开发过程(9.13)是重要的。 根据(6.4)和(9.2),给出了最优消费过程 (9.14) (9.15) REMARK9.1。注意,{ t 2 0;E(t)= },的时间点集的指控 (9.13)的过程,伴随着一系列开关从一个时间点 政权到另一个发生在(9.14)和(9.15)。 这实际上是在某些普遍性;= 0,(8.6)指控的处理 26 IOANNIS KARATZAS J O H N P。LEHOCZKY N D STEVEN e .施立夫 设置该= 1 { t 2 0;~(t =,},是平的。现在对于任何固定n E(1。N }) UA(0)
第n个代理人的最优消费过程”,从正面切换到零值, ,反之亦然”(或等价的时间点集的第n个代理“退出” 或“进入”经济)。正是在这些实例的出口或入口 异常持续的过程中也能感觉到。(当然,whenhas非零 扩散系数p,这些开关不干净;每一个点的集合{ t 2 0; e(t)= }是一个聚点,和一般是不可能的,在任何其中之一 点,代理是否退出或进入经济。) &() 10。附录
在本节中,我们表明,(4.4),或者等价于 (10.1) Gi Ai——几乎所有路径绝对连续 关于勒贝格测度,V i = 1,。维, 有必要排除第四节Jinancial市场的套利机会。 (10.1)在这方面的充分遵循从(5.11)。 让我们开始写作(5.1)的解决方案: (10.2) + j -;p(e).rr;(e)U(O) dW(O), T 2 0。
对于任何给定的函数F:[0,m)+[w有界变差,让我们通过F(t)表示 变化区间[0,t]。我们定义 LEMMA10.1。 (我)everyjxed年代 霁Ltration 2 0,T(s)是{ 91 }的停车时间;resuttingthe satisJies通常条件(Karatzas施立夫(1988),p。10)。 资产价格均衡模型与奇异 27日
过程(ii)几乎每个路径o(T(年代);1 0)绝对是continu-f 我们的勒贝格测度和严格增加。 (3)对每一个我= 1,。d,几乎每一个流程的路径{ Fi(s)4 F;(T(s));2 0)是绝对连续的对勒贝格 措施。
证据。(我),cf,Karatzas施立夫3.4.5)(1988年,锻炼3.4.4和问题。 (2)和(3)我们已经从(10.3)几乎肯定,C(t 2)- C(tl)1马克斯(t2P;(t l)),哟5 t l 5 t 2。因此,对于给定的0 5 s1
另一方面,过程p(s)4 p(T(s)),X X(s),(T(s)),E c(s),(T(s)), P c(S),(~(S))7 ?(S)4 .,(~(S))、b(S)2 b(~(S)),我(S)4 r(T(S))&(S)c r(~(S)), 和倪W(T(s)){ % },逐步可以衡量的。就他们而言,我们有 下面的时间改变的版本(10.2): 过程{ b ?(s),% s,s 1 0)是一个鞅on9,与二次variationP) T(年代);因此,存在一个布朗运动(可能延长,在这个空间 容纳一个独立、一维布朗运动过程)等 (10.8) (Karatzas和施立夫(1988),定理3.4.2)。
现在让我们以P(s)5 0,+;(s)k胡志明市(Fi(s)).l(T '(s)= o),2 0,一些有限 常数k > 0。这一过程6;有界和{ %,} -progreivelymeasurable thusis 流程一事,iri;(t)2(C(t))有界和{ %,} -progreivelymeasurable。如果X是赛思 财富过程对应于消费c = 0和投资组合。=(~ ~。。,。,n1 T、d)*如上所述,时间改变X(年代)= X版本,(T(s)),(10.7)和感谢 (10.8) (一个 28日 我O N N S KAKATZAS,J O H N P。LEHOCZKY N D STEVEN E。SHKEVE 现在假设我们有,对于一些我= 1,。、d量{年代2 0;F /(w),# 0和 T(年代,w)= 0 } > 0每w在某些事件积极的概率(这里和下面, “量”代表“勒贝格测度”)。然后通过选择k > 0足够大,我们 可以使X(。)a.s.非负和任意大积极的概率。排除 这种“套利的可能性,“我们必须有 (10.10) 量{年代 大众E 2 *, 0;F(w),# 0和T '(w), 我= 1,。维, = 0 } = 0, 对于一些事件 * P(*)1 = LEMMA10.2。方程(10.10)意味着(10.1)。
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